2022年2022年函数的基本性质 .pdf

专题 05 函数的基本性质【名师预测】函数的奇偶性、单调性、周期性及最值问题是江苏高考考试中的重点考点，经常是以综合性考题出现，近几年出现在填空题9-11 题，难度中等，对于考生来说，属易错题型，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，需细心谨慎。【知识精讲】一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单调增函数当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的设12, , xxa b，12xx.若有1212()0 xxfxfx或1212()()0f xf xxx，则( )f x在闭区间,a b上是增函数；若有1212()0 xxfxfx或1212()()0f xf xxx，则( )f x在闭区间,a b上是减函数 .此为函数单调性定义的等价形式. 2单调区间的定义如果函数yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的 )单调性，区间 D 叫做函数y f(x)的单调区间注意：（1）单调性是与 “ 区间 ” 紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用 “ 和” 或“ ，” 连接，不能用 “ ” 连接名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域（3）“ 函数的单调区间是A” 与“ 函数在区间B上单调 ” 是两个不同的概念，注意区分，显然BA. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数1yx分别在 ( ， 0)，(0， ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(，0)(0， ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0， ) 3函数单调性的常用结论（1）若,fxg x均为区间 A 上的增 (减)函数，则fxg x也是区间A 上的增 (减)函数；（2）若0k，则kfx与fx的单调性相同；若0k，则kfx与fx的单调性相反；（3）函数0yfxfx在公共定义域内与yfx，1( )yf x的单调性相反；（4）函数0yfxfx在公共定义域内与( )yf x的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）对勾函数的单调性：byaxx（0a，0b）的单调性：在,ba和,ba上单调递增，在,0ba和0,ba上单调递减二函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件对于任意的xI，都有 f(x) M；存在0 xI，使得0fxM对于任意xI，都有 f(x) M；存在0 xI，使得0fxM结论M 为函数 yf(x)的最大值M 为函数 yf(x)的最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三函数的奇偶性1函数奇偶性的定义及图象特点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称判断()fx与fx的关系时，也可以使用如下结论：如果0()fxfx或()1( )0)( )fxf xf x，则函数fx为偶函数；如果0()fxfx或()1( ( )0)( )fxf xf x，则函数fx为奇函数注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）2函数奇偶性的几个重要结论（ 1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（ 2）( )f x，( )g x在它们的公共定义域上有下面的结论：( )fx( )g x( )( )f xg x( )( )f xg x( ) ( )f x g x( )f g x偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（ 3）若奇函数的定义域包括0，则00f（ 4）若函数fx是偶函数，则fxfxfx（ 5）定义在,上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和（ 6）若函数yfx的定义域关于原点对称，则fxfx为偶函数，fxfx为奇函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - fxfx为偶函数（ 7）掌握一些重要类型的奇偶函数：函数xxfxaa为偶函数，函数xxfxaa为奇函数函数2211xxxxxxaaafxaaa（0a且1a）为奇函数函数1log1axfxx（0a且1a）为奇函数函数2log1afxxx（0a且1a）为奇函数四函数的周期性1周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期注意：若不特别说明，T一般都是指最小正周期，且并不是所有周期函数都有最小正周期. 3函数周期性的常用结论设函数yfx，0 xaR，. （ 1）若()()f xaf xa，则函数的周期为2a；（ 2）若()f xafx，则函数的周期为2a；（ 3）若1()( )axf xf，则函数的周期为2a；（ 4）若1()( )faxxf，则函数的周期为2a；（ 5）函数fx关于直线xa与xb对称，那么函数fx的周期为2 |ba；（ 6）若函数fx关于点,0a对称，又关于点,0b对称，则函数fx的周期是2|ba；（ 7）若函数fx关于直线xa对称，又关于点,0b对称，则函数fx的周期是4|ba；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - （ 8）若函数fx是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；（ 9）若函数fx是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a. 五函数的图象（ 1）描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；列表 (注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)；描点，连线（ 2）图象变换平移变换yf(x)的图象 a0，右移 a个单位a0，左移 |a|个单位yf(xa)的图象；yf(x)的图象 b0，上移 b个单位b0，下移 |b|个单位yf(x)b 的图象对称变换yf(x)的图象 关于 x轴对称y f(x)的图象；yf(x)的图象 关于y轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象 关于原点对称y f(x)的图象；yax(a0 且 a1) 的图象 关于直线 yx对称ylogax(a0 且 a1) 的图象伸缩变换yf(x)的图象yf(x)的图象a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变yaf(x)的图象翻转变换yf(x)的图象 x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - yf(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象2函数图象的应用函数图象应用的常见题型及求解策略（1）利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系（2）利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围（3）利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解（4）利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)0 的根就是函数f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与 g(x)图象交点的横坐标. 【典例精练】考点一函数单调性的判断例 1 讨论函数f (x)xx21在 x( 1,1)上的单调性例 2已知函数f (x)a22x1(aR)，判断函数f (x)的单调性，并用单调性的定义证明考点二求函数的单调区间例 3函数 f (x)log2(x24)的单调递增区间为_例 4函数 f (x) x22|x|1 的单调区间为 _考点三函数单调性的应用例 5函数21( )log (2)3xf xx在区间 1,1上的最大值为_例 6设函数f (x)定义在实数集R 上，它的图象关于直线x1 对称，且当x1时， f (x)3x1，则f 13，f 32，f 23的大小关系为 _( 用“ ” 号表示 )例 7函数 f (x)2x，x2，x2，x2.若 f (a1) f (2a1)，则实数a 的取值范围是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 例 8已知函数(2)11( )1xa xxf xax，满足对任意x1x2，都有 f (x1)f (x2)成立，那么实数a 的取值范围是 _考点四函数奇偶性的判断例 9判断下列函数的奇偶性：（1） f (x)1x2x21；（2） f (x)32x2x3；（3） f (x) 3x3x；（4） f (x)4x2|x3|3；（5） f (x)x2x，x0，x2x，x0.考点五函数的周期性例 10已知 f (x)是定义在R 上周期为 4 的函数，且f (x)f (x)0，当 0 x2 时， f (x) 2x1，则f ( 21)f (16)_. 例 11已知 f (x)是 R 上最小正周期为2 的周期函数，且当0 x2 时， f (x)x3x，则函数yf (x)的图象在区间 0,6上与 x 轴的交点个数为_考点六函数性质的综合应用例 12函数 f (x)在 R 上为奇函数，且x0 时， f (x)x1，则当 x0 时， f (x)_. 例 13 已知函数 f (x)在定义域 2a,3上是偶函数，在0,3上单调递减，且22225afmfmm，则实数 m 的取值范围是_例 14设 f (x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，,20( )1,02axbxf xaxx，则 f (2 018)_. 【名校新题】一、填空题1（ 2019 徐州考前模拟）已知函数xxaxfxxee（其中e为自然对数的底数）为偶函数，则实数a的值为 _2（2019南通 3 月联考） 已知函数( )f x 是 R 上的奇函数， 当 x0 时，f(x)2xm(m 为常数 )，则2( log 3 )f的值为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3（ 2019 江苏如皋期中）已知函数tansin1fxaxbx，且74f，则4f_ 4（ 2019 苏北四市2 月模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则实数 a 的值为 _5（ 2019 海安月考）若函数是奇函数，则实数的值为 _6（ 2019 南通期末）已知函数( )f x 的周期为 4，且当(0,4x时，2cos,022( )3log,242xxf xxx，则12ff的值为 _. 7（ 2019 仪征模拟考试）定义在上的函数满足:,当时，,则=_8（ 2019 苏北一模）已知,a bR，函数( )(2)()f xxaxb 为偶函数，且在(0,)上是减函数，则关于x的不等式(2)0fx的解集为 _9（ 2019 苏北三模）已知函数则不等式的解集为 _10（ 2019苏锡常第二次学情调查）已知偶函数( )f x 的定义域为R，且在 0，)上为增函数，则不等式2(3 )(2)fxf x的解集为_11（ 2019海安 4 月模拟考试）已知fx是定义在区间1,1上的奇函数，当0 x时，1fxx x 则关于m的不等式2110fmfm的解集为 _12（ 2019南师大附中期中）已知函数，则 t 的取值范围是_13（ 2019 苏北第三次调研测试）已知函数，若对任意，总名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 存在，使得成立，则实数的值为 _14（ 2019扬州中学4 月月考）设21,0( )1,0 xxf xxx，0.50.50.70.7,log0.7,log5abc，则比较( ),( ),( )f af bf c的大小关系 _. 15（ 2019南通模拟）已知定义在R 上的奇函数yf (x)满足 f (2x)f (2x)，当 2 x0 时， f (x)2x，若 anf (n)(nN*)，则 a2 018_. 16（ 2019 如东中学期中）对于任意实数,a b，定义,min,a aba bb ab.设函数3fxx，2logg xx，则函数nmih xfxg x，的最大值是 _二、解答题17（ 2019 金陵中学 10 月月考）已知定义域为R的函数1212xxfxm是奇函数 . （1）求实数m的值；（2）解不等式10fxfx18（ 2019 姜堰中学期中）已知函数1fxax，定义域为0,（1）证明：1xxfeef；（2）若yfx在,m n上的值域为2 ,2()mnmn，求实数a的取值范围19（ 2019 镇江期中）已知函数（1）若函数为奇函数，求实数a 的值；（2）若对任意的1，1，不等式在1，1恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若在处取得极小值，且(0，3)，求实数a的取值范围20（ 2019 金陵中学 10 月月考）已知函数f (x)和 g(x)的图象关于原点对称，且f (x)x22x. （1）求函数g(x)的解析式；（2）解不等式g(x) f (x)|x1|；（3）若 h(x)g(x) f (x)1 在1,1上是增函数，求实数 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -