2022年排列组合学案 .pdf

高二数学集体备课学案与教学设计章节标题选修 2-3 排列组合专题计划学时1 学案作者杨得生学案审核张爱敏高考目标掌握排列、组合问题的解题策略三维目标一、知识与技能1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 二、过程与方法通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法三、情感态度与价值观通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。教学重点教学难点及解决措施重点：排列、组合综合题的解法难点：正确的分类、分步教学要点经典例一、邮信问题：把 4 封信投入 3 个邮箱有多少种方法。解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即指数形式，有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3 种， 3 种， 3 种， 3 种。共43种。题练习：若A= a,b,c,B=1 、2、3、4、5 ，则从集合A 到集合 B 一共可以有多少个不同的映射；从集合B 到集合 A 一共可以有多少个不同的映射？125、 243二排序问题：1. 优限 (先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。例： 4 名男生和 4 名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：先排男生6624AA或 先排女生4446AA2. 捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。例：6 人站成一排， 其中甲， 乙、丙 3 人站在一起的所有排列的种数为：4433AA3. 插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。例： 7 人站成一排，其中甲，乙、丙3 人不在一起的所有排列的种数为：（有序）先排其余4 人，产生 5 个空，再排3 人：3544AA（2）不同元素与相同元素间的不相邻。例：3 个人坐在 8 个座位上， 若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多少种？解析：可以看作先将5 个座位放好，三个人带着各自的座位坐在中间的4个空隙中的三个位置上有34A24 种 （座位无序不排） （半有序）（3）相同元素与相同元素间的不相邻。例:一排路灯有10 盏，为了节约用电，灭掉3 盏，要求不能灭两边的且灭灯不相连，有多少种方法？（无序）36C4留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进入即可。例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻 )的站法种数为5521A或35A解:方法 1.留位法：在5 个位置上先排3 人，其余两人站入即可。35A方法 2：因两人可交换顺序,则有 2 种排法 ,顺序固定时 ,则排法少了一半.故选名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5521A。变式：若把英语单词“look ” 的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_11_种。解析：同本例即oo 无序不排，在四个位置上排l,k 即可24A，或去序2244AA都111 练习：四名男生和三名女生排成一排，（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？5522AA=240 （2）甲乙二人不能站在两端的排法有多少种？5525AA=2400 （3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？方 法1： 直 接 。 甲 排 尾 ，66A 甲 不 排 尾 ，15A5515AA共 有 ：66A+15A5515AA=3720 方法 2：间接。77A-266A+55A=3720 （4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法）男生先排44A共产生5 个空位，插入3 个女生35A。共有：44A35A=1440种（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？先从 5 人 （除甲乙） 中，选二人排到甲乙中间有25A种排法，再排甲乙22A，此 4 人视为一体与另3 人排列有44A种。所以共有25A22A44A=960 种（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法）57A或7721A=2520种三、排数字：例：用 0、1、2、3、4、5 这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。末位13A，首位14A，中间24A。故共在：13A14A24A（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。 0 在末位35A。 0 不在末位：先排末位12A，再首位14A，中间24A。即12A14A24A共有：35A+12A14A24A156 （ 3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。 没 0 ：先排后两位且不排列25C，再排前两位23A故2325AC=60 有 0：在末位时，35A=120。不在末位时，0 只能在第二位，1325AC=30 共有2325AC+35A+1325AC150 （ 4）能组成多少个无重复且大于345012 的数字。（排大小：从高位到低位逐位排） 269 练习：用数字1,2,3,4,5 可以组成 _个没有重复数字且比13000 大的正整数 . 114 解 :分两类 : 第一类 ,万位比1 大,有 4 种不同的选法,其余任意排列,有96444A个, 第二类，万位为1,则千位有 3,4,5 三种选法 ,其余任意排列 ,有18333A个; 共有 18+96=114 个. 四、隔（档）板法 ：处理无序分组问题要点：元素相同。有两类，空与不空把 n 个小球放入不同编号的m 个盒子中 , （1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。解析： （1）每个盒子至少放一个直接用档板法：把n 个小球排成一排，中间产生 n1 个空，插入 m-1 个档板， (分成 m 份)放入盒中即可。故11mnC种例 1：10 个相同的小球放入编号为1、2、3 的三个盒子中， 每盒中至少有1个，有多少种放法。解：把 10 个小球排成一排， 中间产生 9 个空，插入两个档板， (分成 3 份) 即可，故有29C36 （2）盒子容量不限，即盒子可以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻烦，故此题的处理方法是：将n 个球和 m1 个档板（分成m 份用 m1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 个档板）全放在一起。共需要n+m1 个位置，在这些位置上任意放n 个球（或 m1 个档板）有nmnC1种（或11mmnC） 。这样可以保证隔板在一起，即可空盒。例 2：10 个相同的小球放入编号为1、2、 3 的三个盒子中，有多少种放法。（可空）解： 10 个球和 2 个板共用 12 个位置，看板212C变式 1：把 10 个苹果分给3 个人，每人至少两个苹果有多少种分法。解析： 10转化成例 1：先每人分1 个，把余下的7 个苹果再分给3 人，隔板法，产生6 个空插入2 个板，26C15 种。 20转化成例2：先每人分两个再用例2 方法26C变式 2：把 10 个相同的小球放入编号为1、 2、3 的三个盒子中，要求每个盒子放球的个数不小于基编号，有多少种放法。解析： 10转化成例 1：先放球， 1 号不放， 2 号放 1 个， 3 号放 2 个，变成例 1，即变成每盒至少1 个. 26C15。20转化成例 2：1 号盒放 1 个， 2号盒放 2 个， 3 号盒入 3 个，利用例2 的方法，再26C变式 3：A=a1，a2， a60 ，B=b1，b2b25 ，每个象都有原象，且 f(a1) f( a2) f( a60), 这样的映射有多少个？解：此题相当于把60 个小球放入25 个盒子中（不空）则有2459C种。五能人问题：方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定要明确，可以按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也可按能人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一般哪个情况少以哪个分类。例. 车间有 11 名工人 ,其中 5名是钳工 ,4名是车工 ,另外 2名老师傅即能当车工,又能当钳工 ,现在要在这11 名工人里选派4 名钳工、 4 名车工修理一台机床,问有多少种选派方法? 解析 : 按钳工的参与情况分类。5 名钳工有4 名被选上的方法有754645CC种; 5 名钳工有 3 名被选上的方法有100451235CCC种; 5 名钳工有 2 名被选上的方法有10442225CCC种. 共有 75+100+10=185 种. 练习：有11 名划船运动员 ,其中有 5 人会左浆 ,4 人会右浆 ,还有甲、乙两人即会左浆 ,又会右浆,现要派出 4名左浆手 ,4 名右浆手 ,组成划船队 ,有多少种选派方案? 解:5 名左浆手有4 名被选上的方法有754645CC种; 5 名左浆手有3 名被选上的方法有100451235CCC种; 5 名左浆手有2 名被选上的方法有10442225CCC种. 共有 75+100+10=185 种.六、分组问题、分配问题：它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序1、平均分组 /配问题：对于km 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不 同 的 分 配 种 数 是mmkmkmCC)1(mmC（ 有 序 ） 平 均 分 组 的 种 数 是kkmmmmkmkmACCC)1(（无序）2、混合分配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配的成分，注意平均分成k 组的部分要除以kkA，只后再排列。如： 10 个人分成三组，人数分别为2、4、4，参加 3 种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC例：有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。（1）分成 1 本， 2本， 3 本三组。（2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1 本，一个人2 本，一个人3 本。（3）分成每组都是2 本的三个组。（4）分给甲，乙，丙三人，每人2 本。解析： （1）分三步， 先选一本有16C种选法， 再从余下的5 本书中选两本25C种选法， 最后余下的三本全选有33C种选法。 故共有：16C25C33C60 种（分堆）（2）由于甲，乙，丙是不同的三个人，在（1）的基础上再分配。所以共有16C25C33C33A360 种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - （3）先26C24C22C，但这里面出现了重复，（其实这就已经分配了，有序）要想分组无序就要除以33A，所以有33222426ACCC15 种 （可用 4 个元素举例好说一些）（4）在（3）的基础上再分配即可，共有33222426ACCC33A90 或直接26C24C22C90练习 1：3 名医生和6 名护士，被分配到3 所学校为学生体检，每校分配1名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有_ 种。33A26C24C22C=540练习 2：4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4 所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多少种（答： 37440） ；解析：先排4 名医生排列数为44A。再排护士，由题知有两种情况：分配人数为3、1、1、1。其中 3 人36C，其余三个1人 可 平 均 分 组 也 可 不 分 直 接 排44A所 以36C44A=480 （ 分 组443311121336AACCCC）分配人数为2、2、1、1 的， 2、2 行平均分组222426ACC其余两个1 人可直接排（或221112ACC） ，故有222426ACC44A=1080（或222426ACC.221112ACC.44A=1080） 。所以护士分配方法有36C44A+222426ACC44A=1560 所以共有排列方法： （36C44A+222426ACC44A）44A=37440 七、环状排列问题：从 n 个不同元素中取出m 个元素的环状排列的种数有mAmn种；特殊的n 个不同元素的环状全排列的种数为nAnn（ n-1）!(由于环状有重复一样的) 例：由 a、b、c、d 四个元素组成的环状排列有多少个？分析： 由 a、b、c、d 组成的全排列有44A24 个。其中 4 个全排列 abcd bcda cdab dabc 在环状排列中只算作1 个排列，故由4 个不同元素组成的环状排列有：44 ！3！ 6种八涂色问题：1、区域涂色问题：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例 1.用 5 种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给号区域涂色有5 种方法， 再给号涂色有 4 种方法，接着给号涂色方法有3 种，由于号与、不相邻，因 此 号 有4 种 涂 法 ， 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 不 同 的 涂 色 方 法 有5 434240练习：用 4 种不同的颜色去涂矩形的四个区域（如图），要求相邻两个区域颜色不同，个区域只涂一种颜色，则一共有多少种涂法。解析：注意讨论 2 与 4 的同色与不同色两种情况。84 种（ 1）2 与 4 同色时， 1 有 4 种， 2 有 3 种， 3 有 3 种 4 与 2 同 色不排，所以， 4*3*3 36 （ 2）2 与 4不同色时， 1 有 4 种， 2 有 3 种，3 有 2种， 4 有 2 种。4*3*2*2 48 故共有： 36+4884 种1 4 3 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2、点的涂色问题：方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一：设想染色按SABCD 的顺序进行，对S、A、B 染色，有54360种染色方法。（讨论 c）由于 C 点的颜色可能与A 同色或不同色，影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与 A 同色时（此时 C 对颜色的选取方法唯一），D 应与 A（C） 、S 不同色，有 3 种选择；故： 5433=180 C 与 A 不同色时， C 有 2 种选择的颜色， D 也有 2 种颜色可供选择，故：543 22=240。所以共有180+240=420 种方法。解法二：（麻烦，用第一种方法好）满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D 四点，此时只能A 与 C、B 与 D 分别同色，故有125460C A种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或 C，而 D 与 C，而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有55120A种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420 种。课堂小结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -