2022年导数题型归纳总结 .pdf

导数题型归纳总结高三导数题型总结导数五大题型导数定义题型总结讲解高考数学导数题型篇一：导数题型归纳总结导数题型归纳总结函数f(x)在x0处的导数：f?(x0) =lim?x?0f(x0?x)?f(x0)?y=lim ?x?x?0?x 函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即 k?f?(x0) 求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上注： (x1,y1)要先设切点(x0,f(x0)，用k=f?(x0)?y1?f(x0) x1?x0 21、 若 曲线y?x?ax?b 在 点(0,b) 处 的 切 线 方 程 是x?y?1?0， 则a?b?232 、若存在过点 (1,0)的直线与曲线 y?x 和 y?ax?15x?9都相切，则a=4 3、已知 y?x?2x，则过原点 (0,0)的切线方程是32 34、已知f(x)?x?3x，过点 A(1,m)(m?2)可作 y?f(x)的三条切线，则m的范围是， ?1)的 切 线 方 程 5、 （ 曲 线 上 一 点 ） 求 过曲 线y?x3?2x 上的点 (1 注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点6、【2012 辽宁】已知P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，?2，过 P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C) ?4 (D) ? 8 y?0 单调递增； y?0 单调递减极值问题：左升右降有极大值；左降右升有极小值；极值点的左右两侧f?(x)的符号相反；f?(x)=0 的点 不 一 定 是 极 值 点 ， 但 极 值 点 一 定 满 足f?(x)=0 ；求函数极值的步骤：确定函数的定义域；求导数，令f?(x)=0，找出所有的驻点；检查驻点左右的符号，左正右负有极大值，左负右正有极小值；函数 f(x)在?a,b? 上连续，则 f(x)在极值点或端点处取得最值1、函数f(x)?(x?3)e的单 调递增区 间是x ( ) A. (?,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,?) 2、要使函数 f(x)?x2?3(a?1)x?2在区间(?,3上是减函数，求实数a 的取值范围。2f(x)?lnx?a(1?a)x?2(1?a)x 的单调性a?03 、【 2011 广东】设 ,讨论函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页4、【2012辽宁】函数y= A(?1,1 12x? x 的单调递减区间为（） 2B(0,1 C1,+ ) D(0,+ ) 基础题：1、求f?x?13x?4x?4在?0,3? 3 综合题1、设函数f(x)?x3?ax2?a2x?m (a?0) （I）若a?1 时函数f(x) 有三个互不相同的零点，求m 的范围；（ II ） 若 函 数f(x) 在 ?1,1?内 没 有 极 值 点 ， 求a 的 范 围 ；（III ）若对任意的a?3,6? ，不等式 f(x)?1 在 x?2,2? 上恒成立，求实数m的取值范围. 2、设函数f(x)?13x?2ax2?3a2x?b ，(0?a?1,b?R) 3 4 若 当x?a?1,a?2? 时 ， 恒 有f?(x)?a ， 试 确 定aa<1）5 323 、 【 2009浙 江 】 已 知 函 数f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)（I）若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值；（ II ） 若 函 数f(x) 在 区 间 (?1,1)上 不 单 调 ， 求a 的 取 值 范围4、已知函数f(x)=ax? 若在区间? 5 、 【 2011 湖 北 】 设 函 数f ， gx ， 其 中x?R ， a 、b()x?x?2ax?bx?a()?x?3x?2 为常数，已知曲线y?f(x)与 y?g(x)在点（ 2,0）处有相同的切线l。(I) 求a 、b的 值， 并写 出切 线l的 方 程 ；(II) 若方程 f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中 x1?x2，且对任意的 x?g()x?mx322332x?1(x?R) ，其中 a?0. 2?11?,? 上，f(x)?0 恒成立， 求 a 的 取值 范 围 .（a 的取 值 范 围为 0<a<5 ）22? x?x 恒成立，求实数m 的取值范围。()?g()x?m(x?1)1,x2?，fx 326、已知函数 f(x)?x?ax?x?1，a?R 设函数 f(x)在区间 ?，?内是减函数，?2 ?31?3? 求a的取值范围（a 7）4 1、当x?0，求证：e?1?x （(ex)?ex）x 2、设函数f(x)?x?(x?1)ln(x?1)(x?1). （ ） 求f(x) 的 单 调 区 间 ； （ ） 证 明 ： 当n?m?0 时 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页(1?n)m?(1?m)n 本类问题主要是命题人经常考查的一类如nam?b（m?n），一般两边同时取自然对数， mlna?nlnb，再利用函数单调性，可能还需要构造函数函数图像1、【2012 重庆】设函数 f(x) 在 R 上可导 ,其导函数 f?(x),且函数 f(x)在x?2处取得极小值,则函数y?xf?(x)的图象可能是篇 二 ： 强 大导 数 知 识 点 各 种 题 型 归 纳 方 法 总 结导数的基础知识一导数的定义：1.(1). 函 数y?f(x) 在x?x0 处 的 导 数 :f'(x0)?y'|x?x?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?x?0 (2).函数y?f(x)的导数:f'(x)?y'?lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x ?y?x 2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量： ?y?f(x0?x)?f(x0)；求平均变化率：取极限得导数：f'(x0)?lim（下面内容必记）?y?x ? f(x0?x)?f(x0) ?x ；?x?0 二、导数的运算：（ 1） 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 常 用 导 数 运 算 公 式 ：C'?0(C为常数)；(x)'?nx n n?1 ；( 1x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页n m )'?(x x ?n )'? nx x ?n?1 ；'?(x)'? x n mn m x n ?1 (sinx)'?cosx ； (cosx)'?sinx (e)'?e (a)'?alna(a?0,且a?1)；(lnx)'? 1 xxlna 法则 1：f(x)?g(x)'?f'(x)?g'(x) ；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). x ；(logax)'? 1 (a?0,且a?1) 法则 2：f(x)?g(x)'?f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x)(口诀：前导后 不 导 相 乘 ， 后 导 前 不 导 相 乘 ， 中 间 是 正 号 ) 法 则3 ： f(x)g(x) '? f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x) g(x) 2 (g(x)?0) (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是 负 号 ) （ 2 ） 复 合 函 数y?f(g(x) 的 导 数 求 法 ： 换 元 ， 令u?g(x) ， 则y?f(u) 分 别 求 导 再 相 乘y'?g(x)?'?f(u)?'回代 u?g(x) 题型一、导数定义的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页理解题型二：导数运算1、已知f ?x? x x?2x?sin?，则f 2' ?0? 2、若f?x? 10 esinx ，则f 13 ' ?x?C.163 D.193 3.f(x)=ax3+3x2+2 ，f?(?1)?4，则a=（）33 三导数的物理意义A. B. 1.求瞬时速度：物体在时刻t0 时的瞬时速度V0 就是物体运动规律S?f?t? 在t?t0 时 的 导 数f?t0? ，即 有V0?f?t0? 。/ 2.V s(t) 表 示 即 时 速 度 。 a=v(t) 表 示 加 速 度 。四导数的几何意义：函数 f?x?在 x0 处导数的几何意义，曲线y?f?x?在点 P?x0,f?x0? 处切线 的 斜 率 是k?f?x0? 。 于 是 相 应 的 切 线 方 程 是 ：y?y0?f?x0?x?x0? 。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线 y?f?x?在点 P?x0,f?x0? 处切线：性质： k 切线?f?x0?。相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0? （2）曲线 y?f?x?过点 P?x0,y0?处切线：先设切点，切点为Q(a,b) ,则斜率 k=f'(a) ，切点 Q(a,b) 在曲线y?f?x?上，切点Q(a,b)在切线y?y0?f?a?x?x0? 上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=f'(a)，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（ 1）k?y'|x?x?3x02?6x0?6?3(x0?1)2?3当 x0=-1 时，k 有最小值 3， 此时 P 的坐标为（ -1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五 函 数 的 单 调 性 ： 设 函 数y?f(x) 在 某 个 区 间 内 可 导 ，（1）f'(x)?0?f(x) 该区间内为增函数；（2）f'(x)?0?f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页该区间内为减函数；注意：当f'(x) 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， f(x)在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）f(x)在该区间内单调递增 ?f'(x)?0 在该区间内恒成立；（4）f(x)在该区间内单调递减 ?f'(x)?0 在该区间内恒成立；题型一、利用导 数 证 明 （ 或 判 断 ） 函 数f(x) 在 某 一 区 间 上 单 调 性 ：步骤：（1）求导数y?f?(x) (2) 判 断 导 函 数y?f?(x) 在 区 间 上 的 符 号(3) 下 结 论f'(x)?0?f(x) 该区间内为增函数；f'(x)?0?f(x) 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数y?f(x)单调区间的步骤为：（1）分析 y?f(x)的定义域；（2）求导数y?f?(x) （3）解不等式 f?(x)?0， 解 集 在定 义 域 内的 部 分 为增 区间（ 4） 解 不等 式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一 .（1）f(x) 在该区间内单调递增?f'(x)?0 在该区间内恒成立；（2）f(x) 在该区间内单调递减?f'(x)?0 在该区间内恒成立；思路二 .先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单 调 增 或 减 区 间 是 定 义 域 上 的 单 调 增 或 减 区 间 的 子集。注意：若函数f（x）在（ a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则 x=c 两侧使函数 f?（x）变号，即 x=c 为函数的一个极值点，所以f'(c)?0 例题若函数f(x)? lnxx ，若a?f(3),b?f(4),c?f(5)则( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c 六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数f(x)在点 x0 附近有定义，且若对x0 附近的所有的点都有 f(x)?f(x0) （或 f(x)?f(x0) ，则称 f(x0)为函数的一个极大（或小）值， x0 为极大（或极小）值点。可导数f(x)在极值点（即 f'(x0)?0），但函数f(x)在某点 x0 处的导数为0，并不一定函数f(x)在x0处的导数为0 3 该处取得极值（如f(x)?x 在 x0?0 处的导数为0，但 f(x) 没有极值）。求极值的步骤：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页第一步：求导数f'(x)；第二步：求方程f'(x)?0的所有实根；第三步：列表考察在每个根x0 附近，从左到右，导数f'(x) 的符号如何变化，若 f'(x) 的符号由正变负，则f(x0)是极大值；若f'(x)的 符 号 由 负 变 正 ， 则f(x0) 是 极 小 值 ；若 f'(x) 的符号不变，则f(x0)不是极值， x0 不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D 内存 x0，使得对任意的x?D，都有 f(x)?f(x0) ，（或 f(x)?f(x0) ）则称 f(x0)为函数的最大（小）值，记作ymax?f(x0)（或ymin?f(x0)）如果函数 y?f(x)在闭区间 a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则 该 函 数 在 闭 区 间 a,b 上 必 有 最 大 值 和 最 小 值 。求可导函数f(x)在闭区间 a,b上的最值方法：第一步；求f(x)在区间a,b内的极值；第二步：比较f(x) 的极值与f(a)、f(b)的大小：第三步：下结论 :最大的为最大值，最小的为最小值。注意： 1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数 值 得 出 的 ， 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 点 可 以 在 极 值点、不可导点、区间的端点处取得。极值 最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3 、 注 意 ： 极 大 值 不 一 定 比 极 小 值 大 。 如f(x)?x? / / 1x 的极大值为?2，极小值为2。注意：当 x=x0 时，函数有极值 ? f(x0)0。但是， f(x0)0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数f'(x) 的符号f(x)单调性f'(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号f(x) 极值f'(x) 的增减性f(x) 的每一点的切线斜率的变化趋势（ f(x) 的 图 象 的 增 减 幅 度 ）f'(x)的 增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页f(x) 的 每 一 点 的 切 线 斜 率 增 大 （ f(x) 的 图 象 的 变 化 幅 度 快 ）f'(x) 减f(x)的每一点的切线斜率减小（f(x)的 图 象 的 变 化 幅 度 慢 ）例1. 已 知f(x)=e-ax-1.（1）求 f(x)的单调增区间；（2）若 f(x）在定义域R 内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在 a,使 f(x)在（- ，0上单调递减，在 0，+）上单调递 增？ 若 存 在， 求 出 a 的 值 ；若 不 存在， 说 明 理由 . 解 ：f?(x) x =e-a.（1）若a0，x x x f?(x) =e-a0恒成立，即f(x)在R上递增.x 若 a>0,e-a0, ea,x lna. f(x) 的 单 调 递增 区 间 为 (lna,+ ).（2）f（x）在R内单调递增，x x f?(x) 0在R上恒成立.x x e-a0 ，即 ae 在 R 上恒成立 .a （e）min，又 e>0，a0.（ 3 ）由 题 意 知 ， x=0为f(x) 的 极 小 值 点 . 3 2 f?(0) =0,即e-a=0,a=1. 23 例 2. 已知函数f(x)=x+ax+bx+c, 曲线 y=f(x）在点x=1 处的切线为l:3x-y+1=0，若 x=时，y=f(x）有极值 .（1）求 a,b,c 的值；（2）求y=f(x ） 在 -3， 1 上 的 最 大 值 和 最 小 值 . 解（ 1） 由f(x)=x+ax+bx+c,得3 2 f?(x) =3x+2ax+b,2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页当x=1时 ， 切 线l的 斜 率 为3 ， 可 得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则32 ?2?f?3? =0, 可 得4a+3b+4=0 由 解 得a=2,b=-4. 由 于 切 点 的 横 坐 标 为x=1, f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（ 1）可得f(x)=x+2x-4x+5,3 2 f?(x) =3x+4x-4,令2 f?(x) =0,得x=-2,x=.3 2 当x变化时，y,y 的取值及变化如下表：x -3 (-3,-2) + 单调递增-2 0 13 2? ?2,? 3? 23 ?2? ?,1?3? 1 4 y y 8 - 单调递减9527 + 单调递增9527 . y=f （ x ） 在 -3 ， 1 上 的 最 大 值 为13 ， 最 小 值 为例3. 当x?0 ，证明不等式证明：f(x)?ln(x?1)? x1?x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页?ln(1?x)?x. x(1?x) 2 x1?x ，g(x)?ln(x?1)?x，则f?(x)?，x1?x ?0，当 x?0 时。 ?f(x)在 ?0,? 内是增函数，?f(x)?f(0) ，即ln(1?x)?又g?(x)? ?x1?x ，当 x?0 时，g?(x)?0，?g(x)在?0,? 内是减函数，?g(x)?g(0)，即ln(1?x)?x?0，因x1?x ?ln(1?x)?x成立. x1?x 此，当x?0时，不等式点 评 ： 由 题 意 构 造 出 两 个 函 数f(x)?ln(x?1)? ， g(x)?ln(x?1)?x. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键. 七定积分求值1定积分的概念设函数f(x)在区间 a,b上连续，则 ?f(x)dx?lim ab n n? ?f? i i?1 b?an n n 等分区间 ?a,b? ；2.用定义求定积分的一般方法是：分割：近似代替：取点?i?xi?1,xi?；求和：? i?1 b?an f(?i)；取极限：?f(x)dx?lim a b n n? ? i?1 f?i? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页b?an 0,S? ba 3.曲边图形面积：f?x?0,S? t2t1 ? ba f ?x?dx；f?x? f ?x?dx 在 x 轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程S? 4定积分的性质性 质1 ?kf(x)dx?k?f(x)dx （ 其 中k是 不 为0的 常 数 ）a a b b ? v(t)dt ；变 力 做 功HaiDa. 海达 范文 网 :导 数 题 型 归纳 总结) ?g(0) ?0? 0?30 ?g(3) ?m3?3?0 m?2 ?9 解法二：分离变量法：当x?0时, ?g(x)?x2 ?mx?3?3?0 恒 成 立 , 当0?x?3 时 , g(x)?x2?mx?3?0恒成立2 等价于m? x?3x ?x? 3x 的最大值（0?x?3）恒成立，而h(x)?x? 3x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2 ?m?2 (2) 当m?2时f(x) 在 区 间 ?a,b? 上 都 为 “凸 函 数 ” 则等价于当m?2时g(x)?x2 ?mx?3?0 恒成立变更主元法再等价于F(m)?mx?x2 ?3?0在m?2恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）2 ?F(?2)? 0?x2?x?3? ?0?F(2)?0 ?1?x?1 ?2x?x2 ?3?0 ?b?a?2 例2：设函数f(x)? 13 2 3 x?2ax 2 ?3ax?b(0?a?1,b?R) （ ） 求 函数f （ x ） 的 单 调 区 间 和 极 值 ；（）若对任意的x?a?1,a?2, 不等式 f?(x)?a 恒成立，求 a 的取值范围. （二次函数区间最值的例子）解：（）f?(x)?x2?4ax?3a2 ?x?3a?x?a? ?0?a?1篇三：高考导数压轴题型归类总结导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1） 二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（ 一 ） 恒成 立 之 最 值 的 直 接 应 用（ 二 ） 恒 成 立 之 分 离常 数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70） 六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于1. ex?x?1 x?ln(x?1) lnx?x?ex,x?0. sinx ?1 ， 其 几 何 意 义 为y?sinx,x?(0,?) 上 的 的 点 与 原x 1 一、 导数单调性 、极 值、最 值的 直接应 用1. （切线）设函数f(x)?x2?a. （ 1） 当 a?1 时 ， 求 函 数 g(x)?xf(x) 在 区间 0,1 上 的 最 小值 ；（2）当 a?0时，曲线 y?f(x)在点 P(x1,f(x1)(x1?a)处的切线为 l，l 与x轴交于点A(x2,0)求证：x1?x2?a. 解 ： (1)a?1时 ， g(x)?x3?x ， 由g?(x)?3x2?1?0 ，解 得x?3 . 3 32时，g(x)有最小值g()?. 339 (2)证明：曲线y?f(x)在点P(x1,2x12?a)处的切线斜率k?f?(x1)?2x1 所以当x? 曲 线y?f(x) 在 点P处 的 切 线 方 程 为y?(2x12?a)?2x1(x?x1). x?ax?aa?x1 ?x1? 令y?0， 得x2?1， x2?x1?1 2x12x12x1a?x1 ?0 ， 即x2?x1. x1?a， 2x1 2 x1x1?ax1xaaa ?21?a 又 ? ， x2? 22x12x122x122x1 222 2 所以x1?x2?a. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页已知函数 f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R), 其中 a?R 当 a?0 时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率；当a? 2 时，求函数f(x)的单调区间与极值. 3 2 x 2 x 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 当a?0 时 ， f(x)?xe ， f'(x)?(x?2x)e ， 故f'(1)?3e. 所 以 曲 线y?f(x) 在 点 (1,f(1) 处 的 切 线 的 斜 率 为3e. f'(x)?x2?(a?2)x?2a2?4aex. ? 令f'(x)?0，解得x?2a，或x?a?2.由a? 以下分两种情况讨论：2 知，?2a?a?2. 3 2 若a2 ，则 ?2aa?2.当 x 变化时， f'(x) ，f(x) 的变化情况如下表：3 所以 f(x) 函数 f(x)在 x?2a 处取得极大值f(?2a)，且 f(?2a)?3ae?2a. 函 数f(x) 在x?a?2 处 取 得 极 小 值f(a?2)， 且 f(a?2)?(4?3a)ea?2. 2 若 a，则?2aa?2，当 x 变化时， f'(x) ，f(x) 的变化情况如下表：3 所以 f(x)函数 f(x)在 x?a?2处取得极大值 f(a?2)，且 f(a?2)?(4?3a)ea?2. 函 数f(x) 在x?2a处 取 得 极 小 值f(?2a) ， 且f(?2 a)?3 ae?2a. 12 x?2ax,g(x)?3a2lnx?b. 2 设两曲线 y?f(x)与 y?g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同，若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页a?0， 试 建 立b 关 于a 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 b 的 最 大值 ；若 b?0,2,h(x)?f(x)?g(x)?(2a?b)x 在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。3. 已知函数f(x)? 3 4. （最值，按区间端点讨论）a. x (1) 当a>0时 ， 判 断f(x) 在 定 义 域 上 的 单 调 性 ；3 (2) 若f(x)在1,e 上的最小值为，求a的值. 2 已知函数f(x)=lnx解 ： (1) 由 题 得f(x) 的 定 义 域 为 (0, ) ， 且f (x) 1ax?a . 22 xxx a>0，f (x)>0，故 f(x)在(0,) 上是单调递增函数 . (2)由(1)可知：f (x)x?a ，2 x 若 a 1，则 xa0 ，即 f (x) 0在1,e上恒成立，此时 f(x) 在1,e上为增函数，f(x)minf(1)a33 ，a(舍去). 22 若 a e，则 xa0 ，即 f (x) 0在1,e上恒成立，此时 f(x) 在1,e上为减函数，f(x)minf(e)1a3e ，a(舍去). e22 若 e<a< 1 ， 令f (x) 0 ， 得x a. 当 1<x< a 时，f (x)<0 ，f(x)在(1,a)上为减函数；当a<x<e时，f (x)>0 ，f(x)在(a,e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1综上可知：a 5. （最值直接应用）已知函数f(x)?x?（）求f(x)的单调区间；（）若 f(x)在0,?)上的最大值是 0，求 a 的取值范围 . 解：（）f?(x)? 3 ?a 2 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页ax?ln(1?x)，其中a?R. 2 （ ） 若x?2是f(x)的 极 值 点 ， 求a的 值 ；x(1?a?ax) ,x?(?1,?). x?1 11 依 题 意 ， 令f?(2)?0， 解 得a?. 经 检 验 ， a?时 ， 符 合 题 意 . 33 4 （）解：当a?0时，f?(x)? x. x?1 故f(x) 的 单 调 增 区 间 是 (0,?) ； 单 调 减 区 间 是 (?1,0). 1 当a?0时， 令f?(x)?0 ，得x1?0 ，或x2?1. a 当0?a?1时，f(x)与f?(x)的情况如下：所以，f(x)的单调增区间是(0, ?1)；单调减区间是(?1,0)和(?1,?). aa 当 a?1 时，f(x) 的单调减区间是 (?1,?). 当 a?1 时，?1?x2?0 ，f(x)与f?(x)的情况如下：?1)和(0,?). a 当 a?0 时，f(x) 的单调增区间是(0,?)；单调减区间是(?1,0). 综上 ， 当a?0 时 ， f(x) 的 增 区 间 是 (0,?)， 减 区 间 是 (?1,0) ；11 当 0?a?1 时， f(x) 的增 区间是 (0,?1)，减 区间是 (?1,0)和(?1,?)；aa 当a?1时，f(x)的减区间是(?1,?)；11 当a?1 时 ， f(x) 的 增 区 间 是 (?1,0)； 减 区 间 是 (?1,?1)和 (0,?). aa （）由（）知a?0时，f(x)在(0,?)上单调递增，由f(0)?0，知不合题意. 1 当0?a?1时，f(x)在(0,?) 的最大值是f(?1)，a 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页由f(?1)?f(0)?0，知不合题意. a 当a?1时，f(x)在(0,?)单调递减，可得 f(x)在0,?)上的最大值是f(0)?0，符合题意 . 所以，f(x)在 0,?) 上 的 最 大 值 是0时 ， a的 取 值 范 围 是 1,?). 所 以 ， f(x) 的 单 调 增 区 间 是 (?1,0) ； 单 调 减 区 间 是 (?1, a 6. （2010北京理数18）5 篇四：导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 ， 了 解复 合 函 数的 求 导 法则 ， 会 求某 些 简 单函数 的 导数 。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实 际 问 题 ( 一 般 指 单 峰 函 数 ) 的 最 大 值 和 最 小 值 。【知识梳理】一、导数的概念?y ?y=f（x+?x） f（x）?x 叫做函函数y=f(x),如果自变量x 在 x0 处有增量 ?x，那么函数y 相应地有增量00，比值?yf(x0?x)?f(x0)?y ?x 数 y=f（x）在 x0 到 x0+?x 之间的平均变 化 率 ， 即 ?x= 。 如 果 当 ?x?0 时 ， ?x有 极 限 ， 我 们就说函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做f（x）在点 x0处的导数，记作f（x0 ）或y|x?x0 。f(x0?x)?f(x0)?y limlim ?x?x?0?x即f（x0）=x?0。说明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页?y?y （1）函数 f（x）在点 x0 处可导，是指 ?x?0 时，?x 有极限。如果 ?x不 存 在 极 限 ， 就说 函 数 在 点x0处 不 可 导 ，或说无导数。（2）?x 是自变量 x 在 x0 处的改变量， ?x?0时，而 ?y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点 x0 处的 导 数 的 步 骤 ：（ 1 ） 求 函 数 的 增 量 ?y=f （ x0+?x ） f（x0）；?yf(x0?x)?f(x0) ?x （2 ）求 平 均变 化率?x=；?y （3）取极限，得导数f(x0)=?x?0?x。lim 二、导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率是f（ x0）。相应地，切线方程为y y0=f/ （ x0 ） （ x x0 ） 。三 、 几 种 常 见 函 数 的导 数xn?nxn?1;?C?0;(sinx)?cosx; (cosx)?sinx; ? xxxx ?(e)?e;(a)?alna; ?lnx? 11 ?logax?logae x; x. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和 (或差)的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差)，''' u?v)?u?v. 即：( 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二 个 函 数 , 加 上 第 一 个 函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ，'''(uv)?uv?uv. 即：''''' 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu若 C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)'?Cu'. 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母 的导数与分 子的 积，再 除以 分母的平方：?u?u'v?uv' ? ?v?=v2 （v?0）。形如 y=f?(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求 导 回 代 。 法 则 ： y |x= y |u u |x 五 、 导 数 应 用1、单调区间：一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，'f 如果(x)?0，则 f(x)为增函数；'f 如果(x)?0，则 f(x) 为减函数；' f如 果 在 某 区 间 内 恒 有 (x)?0 ， 则f(x) 为 常 数 ；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间 a，b上连续的函数f(x) 在a，b上必有最大值与最小值。求函数 ?(x)在(a ， b)内 的极值；求函数?(x)在区间端点的值?(a) 、?(b)；将函数 ?(x)的各极值与 ?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分(1) 概 念 ： 设 函 数f(x) 在 区 间 a ， b 上 连 续 ， 用 分 点a x0<x1<<xi1<xi<xnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n ）作和式 Ini1 ?f n ( i)x （其 中 x为 小区间长度），把n 即x0时，和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间 a，b上的定积分，记作：a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页? b f(x)dx ，即? b a f(x)dx lim?f n? i?1 n ( i) x。这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：1m?1 x ?0dx C；?xdx m?1 C（ m?Q，m 1） ；m 1 ?xdxlnxC；?exdxexC；ax xa?dxlnaC；?cosxdxsinxC；?sinxdx cosxC（表中C均为常数）。(2)定积分的性质b b ? ab kf(x)dx?k?f(x)dx a ba （k为常数）；ba ? ab