2022年整合期末复习专题高二理科选修-圆锥曲线一 .pdf

1 专题一圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略求圆锥曲线的标准方程的一般步骤是“先定位，后定量”，“定位”是指确定焦点的位置及对称轴，“定量”是指确定参数的大小掌握求曲线方程的常用方法定义法与待定系数法。例 1 已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合 .若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则 |AN|BN|_. 答案12 解析设 MN 交椭圆于点 P，连接 F1P 和 F2P(其中 F1、F2是椭圆 C 的左、右焦点 )，利用中位线定理可得 |AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.（巩固训练）已知 F1，F2为椭圆x225y291 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，若|F2A|F2B|12，则|AB|_. 【答案】8 解析： 由椭圆的定义知： |F2A|F1A|F2B|F1B|4a20，|F1A|F1B|AB|20128. 例 2 已知双曲线的两个焦点分别为F1(5，0)，F2( 5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1| |PF2|2，则双曲线的标准方程是 () A.x22y231 B.x23y221 Cx2y241 D.x24y21 【解析】设|PF1|m，|PF2|n，在 RtPF1F2中，m2n2(2c)220，m n2，由双曲线定义，知 |mn|2m2n22mn16. 4a216.a24，b2c2a21. 双曲线的标准方程为x24y21. 【答案】D （巩固训练）设点P 是双曲线x29y2161 上任意一点， F1，F2分别是其左、右焦点，若名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 |PF1|10，则 |PF2|_. 【答案】16 或 4 解析由双曲线的标准方程得， a3，b4.于是 ca2b25. (1)若点 P 在双曲线的左支上，则 |PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；(2)若点 P 在双曲线的右支上，则 |PF1|PF2|6，|PF2|PF1|61064. 综上， |PF2|16 或 4. 例 3 抛物线 y22px(p0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点， F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则 () Ax1，x2，x3成等差数列By1，y2，y3成等差数列Cx1，x3，x2成等差数列Dy1，y3，y2成等差数列解析： 如图，过A、B、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ，B，C，由抛物线定义：|AF|AA |，|BF| |BB|，|CF|CC|.因为 2|BF|AF|CF|，所以 2|BB|AA|CC|.又因为 |AA|x1p2，|BB|x2p2，|CC|x3p2，所以 2 x2p2x1p2x3p2? 2x2x1x3.故选 A （巩固训练）已知 F1、F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点， P 是抛物线 y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则双曲线的标准方程为 _. 答案x2y231 解析将双曲线方程化为标准方程得x2a2y23a21，联立x2a2y23a21，y28ax? x3a，即点P 的横坐标为 3a.而由|PF1|PF2|12，|PF1|PF2|2a? |PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得 a1，双曲线的标准方程为x2y231.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 专题二圆锥曲线的几何性质有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解例 4如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B，C 两点，且 BFC90，则该椭圆的离心率是 _. 解析联立方程组x2a2y2b21，yb2，解得 B、C 两点坐标为B 32a，b2，C32a，b2，又 F(c，0)，则FB 32ac，b2，FC3a2c，b2，又由BFC90，可得 FBFC0，代入坐标可得：c234a2b240，又因为 b2a2c2.代入式可化简为c2a223，则椭圆离心率为eca2363.答案63（巩固训练）已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_解析(1)如图，由题意知 |AB|2b2a，|BC|2c又 2|AB|3|BC|，22b2a32c，即 2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得 2e23e20，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 解得 e2(负值舍去 )例 5已知 ab0，椭圆 C1的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2的方程为x2a2y2b21，C1与 C2的离心率之积为32，则 C2的渐近线方程为 _解析设椭圆 C1和双曲线 C2的离心率分别为 e1和 e2，则 e1a2b2a，e2a2b2a因为 e1 e232，所以a4b4a232，即ba414，ba22故双曲线的渐近线方程为ybax22x，即 x 2y0（巩固训练）双曲线x2y2b21(b0)的左、右焦点分别为F1， 、F2直线 l 过F2且与双曲线交于A、B两点 .若 l 的倾斜角为2，F1AB是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为_解析： 设 A(x1,y1)，由题意知 F2(c,0)，c1+b2,y12b2(c21)b4,因为F1AB是等边三角形，所以 2c3 |y1|，4(1+b2)3b4，解得 b22.故双曲线的渐近线方程为ybax 2x专题三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组AxByC0，f（x，y）0，通过消去 y(也可以消去 x)得到 x 的方程 ax2bxc0，再进行讨论要注意考虑 a0和 a0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况)例 6已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点 M(4，1)，直线l：yxm 交椭圆于不同的两点A、B. (1)求椭圆的方程；(2)求 m的取值范围；(3)若直线 l 不过点 M，求证：直线 MA、MB 的斜率互为相反数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 解析： (1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，因为 e32，所以 a24b2，又因为 M(4，1)在椭圆上，所以16a21b21，解得 b25，a220，故椭圆方程为x220y251. (2)将 yxm代入x220y251 并整理得 5x28mx4m2200，(8m)220(4m220)0，解得 5m5. (3)证明设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1和 k2，只要证明 k1k20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28m5，x1x24m2205. k1k2y11x14y21x24（y11）（x24）（ y21）（x14）（x14）（x24）分子 (x1m1)(x24)(x2m1)(x14) 2x1x2(m5)(x1x2)8(m1) 2（4m220）58m（m5）58(m1)0，所以直线 MA、MB 的斜率互为相反数 . （巩固训练）已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在 x 轴上若右焦点到直线xy2 20 的距离为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线 ykxm(k0)相交于不同的两点M、N.当|AM|AN|时，求 m的取值范围解析： (1)依题意可设椭圆方程为x2a2y21，则右焦点 F(a21，0)，由题设| a212 2|23，解得 a23，故所求椭圆的方程为x23y21.(2)设 P 为弦 MN 的中点，由ykxm，x23y21得(3k21)x26mkx3(m21)0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 由于直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m23k21.所以 xPxMxN23mk3k21，设 M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP)从而 yPkxPmm3k21，所以 kAPyP1xPm3k213mk，又|AM|AN|，所以 APMN，则m3k213mk1k，即 2m3k21.把代入得 2mm2，解得 0m2，由得 k22m130，解得 m12，故所求 m 的取值范围是12，2 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -