2022年普陀区高三数学二模试卷 .pdf

上海市普陀区2015 高三数学二模试卷2015.4 一、填空题（每小题4 分，共 56 分）1已知集合221,0, 1xxBaA，若ABI，则实数a的取值范围是2函数cos ()sin ()yxx的最小正周期为3在等差数列na中，已知,13, 2321aaa则654aaa4若2tan，是直线bkxy的倾斜角，则= （用的反正切表示）5设(12i)34iz（i 为虚数单位） ，则 |z6直角坐标系xoy内有点A（2， 1） ，B（0，2） ，将线段AB绕直线1y旋转一周，所得到几何体的体积为7.已知平面向量1122(,),(,)ax ybxyrr，若2,3,6aba brrr r，则1122xyxy8设1,0 aa，行列式34210231Dxa中第 3 行第 2 列的代数余子式记作y，函数xfy的反函数经过点1 ,2，则 a=9 某学生参加3 门课程的考试。 假设该学生第一门、 第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为45，3,525，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为10已知P是椭圆22221(0)xyabab上的一点，12,F F为椭圆的左、右焦点，则1211PFPF的最小值为11已知na是等差数列，设nnaaaT21()nN某学生设计了一个求nT的算法框图（如图） ，图中空白处理框中是用n的表达式对nT 赋值，则空白处理框中应填入：nT _12 不等式12sinxayx对一切非零实数, x y均成立， 则实数a的范围为13 平 面直 角 坐标 系xOy中 ，O为 坐 标原 点 .定 义()11,P xy、()22,Q xy两点 之 间 的“ 直 角距 离”为1212( ,)d P Qxxyy=-+-，已知点()1,0B，点 M是直线30 (1)kxykk-+=?上的动点，(,)d B M的最小值为（第 11 题图）结束开始输入 nn5 Tn n29n输出 TnY N 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 14 当n为 正 整 数 时 ， 用( )N n表 示n的 最 大 奇 因 数 ， 如(3)3,(10)5,NNK， 设(1)(2)(3)(4)(21)(2 )nnnSNNNNNNK，则数列1(2)nnSSn的前n项和的表达式为二、选择题（每小题5 分，共 20 分）15已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）（A） 若l, ml, 则m；（B）若/l, m, 则ml /；（C）若l, /m, 则ml；（D） 若l, ml, 则/m；16以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（）（A）笛卡儿解析几何；（B）帕斯卡概率论； （C）康托尔集合论； （D）祖暅之复数论；17已知各项均不为零的数列na,定义向量1(,)nnna au u rc，( ,1)nn nu u rb，*nN. 下列命题中真命题是（）(A) 若*nN 总有/ /nnu u ru u rcb成立，则数列na是等差数列 (B) 若*nN 总有/ /nnu u ruu rcb成立，则数列na是等比数列(C) 若*nN 总有nnu u ru u rcb成立，则数列na是等差数列 (D) 若*nN 总有nnu u ruu rcb成立，则数列na是等比数列18方程sincos0 xxx的正根从小到大地依次排列为12,na aaLL，则正确的结论为（）（A）102nnaa（B）1212nnnaaa（C）1212nnnaaa（D）1212nnnaaa三、解答题（ 12+14+14+16+18，共 74 分）19已知向量wxabwxasin3, 1,1 ,cos1（w为常数且0w） ，函数baxf在R上的最大值为2 （1）求实数a的值； （2）把函数xfy的图象向右平移6w个单位，可得函数xgy的图象，若xgy在4,0上为增函数，求w的最大值20 已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面垂直，11,AAABACABAC M是1CC的中点，N是BC的中点，点P在11A B上，且满足111APA Buuuruu uu r（1）证明：PNAM； （ 2）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 21近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10 万件，每件小挂件的销售价格平均为100 元，生产成本为80 元。从今年起工厂投入100 万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100 万元科技成本，预计产量每年递增1 万件。设第n 年每件小挂件的生产成本80( )1g nn元，若玉制产品的销售价格不变，第n 年的年利润为万元（今年为第1 年） （1）求利润的表达式( )f n;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？22存在对称中心的曲线叫做有心曲线显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径（1）已知点11,2P，求使PAB面积为72时，椭圆2213xy的直1AP 1BB N 1C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 径AB所在的直线方程； （2）若过椭圆2213xy的中心作斜率为k的直线交椭圆于,MN两点，且椭圆的左、右焦点分别为12,FF，若以M为圆心，2MF长度为半径作M，问是否存在定圆R，使得M恒与R相切？若存在，求出R的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆221xy的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1请对上述定理进行推广说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分23已知数列na中，10a，*13()2nnaanN（1）试求1a的值，使数列na是一个常数列；（2）试求1a的取值范围，使得数列na是单调增数列； （3）若na不为常数列，设*1()nnnbaanN，nS为数列nb的前n项和，请你写出1a的一个值，使得12nS恒成立，并说明理由。上海市普陀区2015 高三数学二模试卷答案一、填空题（每小题4 分，共 56 分）1已知集合221,0, 1xxBaA，若ABI，则实数a的取值范围是(0,1)2函数cos ()sin ()yxx的最小正周期为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3在等差数列na中，已知,13, 2321aaa则654aaa42 4若2tan，是直线bkxy的倾斜角，则= arctan2 （用的反正切表示）5设(12i)34iz（i 为虚数单位） ，则 |z56直角坐标系xoy内有点A（2，1） ，B（0，2） ，将线段AB绕直线1y旋转一周，所得到几何体的体积为237.已知平面向量1122(,),(,)ax ybxyrr，若2,3,6aba brrr r，则1122xyxy238设1,0 aa，行列式34210231Dxa中第 3 行第 2 列的代数余子式记作y，函数xfy的反函数经过点1 ,2，则4a9 某学生参加3 门课程的考试。 假设该学生第一门、 第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为45，3,525，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为3712510已知P是椭圆22221(0)xyabab上的一点，12,F F为椭圆的左、右焦点，则1211PFPF的最小值为2a11已知na是等差数列，设nnaaaT21()nN某学生设计了一个求nT的算法框图（如图） ，图中空白处理框中是用n的表达式对nT 赋值，则空白处理框中应填入：nT _2940nn_ 12不等式12sinxayx对一切非零实数, x y均成立，则实数a的范围为1,313 平 面直 角 坐标 系xOy中 ，O为 坐 标原 点 .定 义()11,P xy、()22,Q xy两点 之 间 的“ 直 角距 离”为1212( ,)d P Qxxyy=-+-，已知点()1,0B，点 M是直线30 (1)kxykk-+=?上的动点，(,)d B M的最小值为32 (1)kk14 当n为 正 整 数 时 ， 用( )N n表 示n的 最 大 奇 因 数 ， 如(3)3,(10)5,NNK， 设（第 11 题图）结束开始输入 nn5 Tn n29n输出 TnY N 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - (1)(2)(3)(4)(21)(2 )nnnSNNNNNNK，则数列1(2)nnSSn的前n项和的表达式为1443n二、选择题（每小题5 分，共 20 分）15已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（C ）（A） 若l, ml, 则m；（B）若/l, m, 则ml /；（C）若l, /m, 则ml；（D） 若l, ml, 则/m；16以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ D ）（A）笛卡儿解析几何； （B）帕斯卡概率论； （ C）康托尔集合论；（D）祖暅之复数论；17已知各项均不为零的数列na,定义向量1(,)nnna au u rc，( ,1)nn nu u rb，*nN. 下列命题中真命题是（A ）(A) 若*nN 总有/ /nnu u ru u rcb成立，则数列 na是等差数列 (B) 若*nN 总有/ /nnu u ru u rcb成立，则数列 na是等比数列 (C) 若*nN 总有nnu u ru u rcb成立，则数列 na是等差数列 (D) 若*nN 总有nnu u ru u rcb成立，则数列 na是等比数列18方程sincos0 xxx的正根从小到大地依次排列为12,na aaLL，则正确的结论为（B ）（A）102nnaa（B）1212nnnaaa（C）1212nnnaaa（D）1212nnnaaa三、解答题（ 12+14+14+16+18，共 74 分）19已知向量wxabwxasin3, 1,1 ,cos1（w为常数且0w） ，函数baxf在R上的最大值为2 （1）求实数a的值；（2）把函数xfy的图象向右平移6w个单位， 可得函数xgy的图象，若xgy在4,0上为增函数，求w的最大值 解： （1）( )1cos3 sin2sin()16f xxaxxa因为函数( )f x在R上的最大值为2，所以32a故1a（2）由（ 1）知：6sin2wxxf，把函数6sin2wxxf的图象向右平移w6个单位，可得函数( )2sinyg xx又Q( )yg x在0,4上为增函数，( )g x的周期2Tw即02w所以w的最大值为2 20 已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面垂直，11,AAABACABAC M是1CC的中点，N是BC的中点， 点P在11A B上，且满足111APABuuu ruuuu r（1）证明：PNAM； （2）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角的最大值的正切值。1AP 1BB N 1C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解：(1)以1,AB AC AA分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系Axyz则111111(, 1),0,1,.()01 10,.222222PNAMPNAMPNAMu uu ruuuu ruuu r uuuu r（ 2） 显 然 平 面ABC的一个法向量为(0,0,1)nr则21sincos,15()24PN nPN nPN nuuu r ru uu r ru uu r r（* ）于是问题转化为二次函数求最值，而0,2，当最大时，sin最大，即tan最大()2除外，由（* ）式：12时，maxmax2 5(sin),(tan)2521近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10 万件，每件小挂件的销售价格平均为100 元，生产成本为80 元。从今年起工厂投入100 万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100 万元科技成本，预计产量每年递增1 万件。设第n 年每件小挂件的生产成本80( )1g nn元，若玉制产品的销售价格不变，第n 年的年利润为万元（今年为第1 年） （1）求利润的表达式( )f n;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？解： （1）8080(10)( )(10) 100(10)100100011nf nnnnnn（2）80(10)( )10001nf nn，故9100080(1)1ynn，当8n时，( )f n最大，最高利润为520 万元。22存在对称中心的曲线叫做有心曲线显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径（1）已知点11,2P，求使PAB面积为72时，椭圆2213xy的直径AB所在的直线方程； （2）若过椭圆2213xy的中心作斜率为k的直线交椭圆于,MN两点，且椭圆的左、右焦点分别为12,FF，若以M为圆心，2MF长度为半径作M，问是否存在定圆R，使得M恒与R相切？若存在，求出R的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆221xy的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1请对上述定理进行推广说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 解： （1）设直线AB的方程为ykx，代入椭圆方程得22113xk，则222112,2113kkdABkk解2221172412133kkkSkk得23k故直线AB的方程为23yx（ 2）存在R：22(2)12xy与M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点.1F由椭圆的定义知，1222 3MFMFa122 3.MFMF两圆相内切。（3）根据结论的一般性程度给与不同的评分（问题 1-4 层）过圆2220 xyrr的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1若过圆2220 xaybrr的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值1过椭圆222210,0 xyabab的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值22ba过有心圆锥曲线221(0)mxnymn的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值mn证明： 设曲线上任一直径,AB P为异于,A B的曲线上任一点。设11111111,APBPyyyyA xyBxyP x ykkxxxx，因为,A P在曲线上，所以221221APBPyykkxxLmn23已知数列na中，10a，*13()2nnaanN（1）试求1a的值，使数列na是一个常数列；（2）试求1a的取值范围，使得数列na是单调增数列； （3）若na不为常数列，设*1()nnnbaanN，nS为数列nb的前n项和，请你写出1a的一个值，使得12nS恒成立，并说明理由。解： （1）由132nnnaaa及0,na得3.2na132a时，na为常数数列。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2) 1nnaa=13322nnaa11.33222nnnnaaaa13320,22nnaaQ1nnaa与1nnaa同号。要使1nnaa对任意正整数n 都成立，只须210,aa即113,2aa解得130.2a当1302a时，1nnaa对任何正整数n成立。（3）选择12a时，由（ 2）的结论知10.nnaa1221321213211112.nnnnnnnnSbbbaaaaaaaaaaaaaaaLLL又121,32nnnaaa解得13.2na故1312222nnSa名师资料总结 - 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