2022年2022年菱形的判定专项练习题 .pdf

. . 菱形的判定专项练习30 题（有答案）1如图，梯形ABCD 中， AD BC ， BA=AD=DC=BC ，点 E为 BC的中点（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过 A点作 AFBC于点 F，若 BD=4cm ，求 AF的长2如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD相交于点 O，且 AC BD 点 M ，N分别在 BD 、AC上，且 AO=ON=NC，BM=MO=OD求证： BC=2DN 3如图，在 ABC中， AB=AC ，D，E，F分别是 BC ，AB，AC的中点（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若 AB=12cm ，求菱形AEDF 的周长4如图，在 ?ABCD中， EFBD，分别交BC ，CD于点 P， Q ，交 AB ，AD的延长线于点E，F已知 BE=BP 求证：（1） E= F；（2）?ABCD 是菱形5如图，在 ABC中，D是 BC的中点， E是 AD的中点，过点A作 AFBC ，AF与 CE的延长线相交于点F，连接 BF（1）求证： AF=DC ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . （2）若 BAC=90 ，求证：四边形AFBD是菱形6已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分 ABC ，求证：四边形ABCD 是菱形7如图，在一个含30 的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180 得到 ABF ，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60 得到 DEC ，点 F在 AC上，连接AE （1）求证：四边形ADCE是菱形（2）连接 BF并延长交AE于 G，连接 CG 请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？8如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE AB ，DFBC ，垂足分别是为E F ，并且 DE=DF 求证：四边形ABCD是菱形9如图，在 ABC中， DE BC，分别交 AB，AC于点 D，E，以 AD ，AE为边作 ?ADFE交 BC于点 G，H，且 EH=EC 求证： （1） B= C ；（2）?ADFE是菱形10如图，在 ABC中， ACB=90 ，CD是 AB边上的高，BAC的平分线AE交 CD于 F，EG AB于 G（1）求证： AEG AEC ；（2）CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 11如图，在 ABC中， AB=AC ，点 D、E、 F分别是 ABC三边的中点求证：四边形ADEF 是菱形12如图，在四边形ABCD中， AB=CD ，M 、 N、E、F 分别为 AD 、BC 、BD 、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形13已知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC，AB=AD ， BAD的平分线AE交 BC于点 E，连接 DE 求证：四边形ABED是菱形14如图，在 ABC中， AB=AC ，M 、O、N分别是 AB 、BC 、CA的中点求证：四边形AMON 是菱形15如图：在 ABC中， BAC=90 ，AD BC于 D，CE平分 ACB ，交 AD于 G ，交 AB于 E，EF BC于 F求证：四边形AEFG 是菱形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 16如图，矩形ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形AECF ，AB交 EC于点 N，CD交 AF于点 M 求证：四边形ANCM 是菱形17如图，四边形ABCD 、DEBF都是矩形， AB=BF ， AD 、BE交于 M ，BC 、DF交于 N，那么四边形BMDN 是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由18已知如图所示，AD是ABC的角平分线，DE AC交 AB于 E，DF AB交 AC于 F，四边形AEDF 是菱形吗？说明理由19已知：如图所示，BD是ABC的角平分线， EF是 BD的垂直平分线，且交AB于 E，交 BC于点 F求证：四边形BFDE是菱形20如图，在平行四边形ABCD 中， O是对角线 AC的中点，过点O作 AC的垂线与边AD 、BC分别交于E 、F求证：四边形AFCE 是菱形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 21如图，在矩形ABCD 中， EF垂直平分BD （1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由（2）已知 BD=20 ，EF=15，求矩形 ABCD 的周长22如图所示，在?ABCD 中，点 E在 BC上， AE平分 BAF ，过点 E作 EFAB 求证：四边形ABEF为菱形23已知，如图，矩形ABCD 中， AB=4cm ， AD=8cm ，作 CAE= ACE交 BC于 E，作 ACF= CAF交 AD于 F（1）求证： AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积24如图，平行四边形ABCD的对角线 AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由25如图：在平行四边形ABCD 中， E、F 分别是边AB 、CD的延长线上一点，且BE=DF ，连接 EF交 AC于 O（1）AC与 EF互相平分吗？为什么？（2）连接 CE 、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26已知：如图， ABC和DBC的顶点在BC边的同侧， AB=DC ，AC=BD 交于 E ， BEC的平分线交BC于 O，延长 EO到 F，使 EO=OF 求证：四边形BFCE是菱形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 27如图，在 ABC中， D是 BC边的中点， F，E分别是 AD及其延长线上的点，CFBE （1）求证： BDE CDF ；（2）请连接BF，CE ，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（ 2）下要使BECF是菱形，则 ABC应满足何条件？并说明理由28如图，在 ABC中， ACB=90 ，BC的垂直平分线DE交 BC于 D，交 AB于 E，F 在 DE上，并且 AF=CE （1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当 B的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论29如图，在 ABC中， AD是 BAC的平分线， EF垂直平分 AD交 AB于 E，交 AC于 F求证：四边形AEDF 是菱形30如图， ABC中，点 O是边 AC上一个动点，过O作直线 MN BC ，设 MN交 BCA的平分线于点E，交 BCA的外角平分线于点F（1）探究：线段OE与 OF的数量关系并加以证明；（2）当点 O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（3）当点 O在边 AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由矩形的判定专项练习30 题参考答案：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 11）证明：点E为 BC的中点，BE=CE= BC ，BA=AD=DC=BC，AB=BE=ED=AD，四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作 DH BC ，垂足为H ，CD=DE=CE， DEC=60 ， DBE=30 ，在 RtBDH中， BD=4cm ，DH=2cm ，AF=DH ，AF=2cm 2 AO=ON ，BM=MO，四边形AMND 是平行四边形，AC BD ，平行四边形AMND 是菱形， MN=DN，ON=NC ， BM=MO， MN= BC ， BC=2DN 3 （1） D ，E分别是 BC ，AB的中点，DE AC且 DE=AF= AC 同理 DFAB且 DF=AE= AB又 AB=AC ， DE=DF=AF=AE，四边形AEDF是菱形（2） E是 AB中点， AE= AB=6cm ，因此菱形AEDF的周长为4 6=24cm4 （1） BE=BP ， E=BPE ，BC AF， BPE= F， E=F（2） EFBD ， E=ABD ， F=ADB ， ABD= ADB ，AB=AD ，四边形ABCD 是平行四边形， ABCD 是菱形51）证明： E是 AD的中点，AE=DE ，AFBC ， 1=2，在AEF和DEC中， AFE DCE （AAS ） ，AF=DC ；（2）证明： D是 BC的中点，DB=CD=BC ，AF=CD ，AF=DB ，AFBD ，四边形AFBD是平行四边形， BAC=90 ，D为 BC中点，AD= CB=DB ，四边形 AFBD是菱形6对角线BD平分 ABC ， 1=2，四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ， 3=1， 3=2，DC=BC ，又四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形7 （1）三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转 180 得到ABF ，ABC ABF ，且 BAC= BAF=30 ， FAC=60 ，AD=DC=AC，又 ABC EFC ，CA=CE ，又 ECF=60 ，AC=EC=AE ，AD=DC=CE=AE，四边形ADCE 是菱形；（2）证明：由（ 1）可知： ACD ，AFC是等边三角形，ACB AFB ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . EDC= BAC= FAC=30 ，且 ABC为直角三角形，BC= AC ，EC=CB ，EC= AC ，E为 AC中点，DE AC ，AE=EC ，AG BC ， EAG= ECB ， AGE= EBC ， AEG CEB ，AG=BC ， （7 分）四边形ABCG 是平行四边形， ABC=90 ，四边形ABCG 是矩形8在 ADE和 CDF中，四边形ABCD 是平行四边形， A=C，DE AB ，DFBC， AED= CFD=90 又 DE=DF ， ADE CDF （ AAS ）DA=DC ，平行四边形ABCD 是菱形9 （1）在 ?ADFE中， AD EF， EHC= B（两直线平行，同位角相等）EH=EC （已知）， EHC= C（等边对等角） ， B=C（等量代换） ；（2） DE BC （已知）， AED= C， ADE= B B=C， AED= ADE ，AD=AE ，?ADFE是菱形101）证明：ACB=90 ，AC EC 又 EG AB ，AE是 BAC的平分线，GE=CE 在 RtAEG与 RtAEC中，RtAEG RtAEC （HL） ；（2）解： CEF是等腰三角形理由如下：CD是 AB边上的高，CD AB 又 EG AB ，EG CD ， CFE= GEA 又由（ 1）知， RtAEG RtAEC ， GEA= CEA ， CEA= CFE ，即 CEF= CFE ，CE=CF ，即 CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形理由如下：由（ 1）知， RtAEG RtAEC ，则 GE=EC ；由（ 2）知， CE=CF ，GE=EC=FC又 EG CD ，即 GE FC ，四边形 GECFR 是菱形11 D、E、F分别是 ABC三边的中点，DEAC ，EFAB ，四边形 ADEF为平行四边形又 AC=AB ，DE=EF 四边形ADEF为菱形12 M 、E、分别为AD 、BD 、的中点，ME AB ，ME= AB，同理： FHAB ，FH= AB ，四边形 MENF 是平行四边形，M F 是 AD ，AC中点，MF= DC ，AB=CD ，MF=ME ，四边形MENF 为菱形13 AE平分 BAD ， BAE= DAE ，（1 分）在BAE和DAE中， BAE DAE （SAS ）（2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . BE=DE ， （3 分）AD BC ， DAE= AEB ， （4 分） BAE= AEB ，AB=BE ， （5 分）AB=BE=DE=AD， （6 分）四边形ABED是菱形14 AB=AC ，M 、 O 、N分别是 AB 、BC 、CA的中点，AM= AB= AC=AN ，M0 AC ，NO AB ，且 MO= AC=AN ，NO= AB=AM （三角形中位线定理） ，AM=MO=AN=NO，四边形AMON 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15证法一： ADBC ， ADB=90 ， BAC=90 ， B+BAD=90 ， BAD+ CAD=90 ， B=CAD ，CE平分 ACB ，EF BC ， BAC=90 （EA CA ） ，AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等），CE=CE ，由勾股定理得：AC=CF ， ACG和FCG中， ACG FCG ， CAD= CFG ， B=CAD ， B=CFG ，GF AB ，AD BC ，EFBC，AD EF，即 AG EF ，AEGF ，四边形AEFG是平行四边形，AE=EF ，平行四边形AEFG 是菱形证法二： AD BC ，CAB=90 ，EF BC ，CE平分 ACB ，AD EF， 4= 5，AE=EF ， 1=180 90 4， 2=180 90 5， 1=2，AD EF， 2=3， 1=3，AG=AE ，AE=EF ，AG=EF ，AG EF，四边形AGFE是平行四边形，AE=EF ，平行四边形AGFE是菱形16 CD AB ， FMC= FAN ， NAE= MCF （等角的余角相等） ，在CFM 和AEN中， CFM AEN （ASA ） ，CM=AN ，四边形ANCM 为平行四边形，在ADM 和CFM 中， ADM CFM （AAS ） ，AM=CF ，四边形ANCM 是菱形17四边形BMDN 是菱形AM BC ， AMB= MBN ，BM FN MBN= BNF ， AMB= BNF ，又 A=F=90 ，AB=BF ， ABM BFN ，BM=BN ，同理， EMD CND ，DM=DN ，ED=BF=AB ， E=A=90 ，AMB= EMD ， ABM EDM ，BM=DM，MB=MD=DN=BN，四边形BMDN 是菱形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 18如图，由于DE AC ，DF AB ，所以四边形AEDF为平行四边形DE AC ， 3=2，又 1=2， 1=3，AE=DE ，平行四边形AEDF 为菱形19 EF是 BD的垂直平分线，EB=ED ， EBD= EDB BD是ABC的角平分线， EBD= FBD FBD= EDB ，ED BF同理， DFBE ，四边形BFDE是平行四边形又 EB=ED ，四边形BFDE是菱形20方法一： AEFC EAC= FCA （ 2分）又 AOE= COF ，AO=CO ， AOE COF （5 分）EO=FO 又 EFAC ，AC是 EF的垂直平分线 （8 分）AF=AE ， CF=CE ，又 EA=EC ，AF=AE=CE=CF四边形AFCE为菱形（10 分）方法二：同方法一，证得AOE COF （5 分）AE=CF 四边形AFCE是平行四边形 （8 分）又 EF是 AC的垂直平分线，EA=EC ，四边形AFCE是菱形（10 分）方法三： 同方法二， 证得四边形AFCE是平行四边形（8分）又 EFAC ， （9 分）四边形AFCE为菱形21 （1）四边形BEDF 是菱形在DOF和BOE中，FDO= EBO ，OD=OB ， DOF= BOE=90 ，所以 DOF BOE ，所以 OE=OF 又因为 EFBD ，OD=OB ，所以四边形BEDF为菱形（5 分）（2）如图，在菱形EBFD中， BD=20 ，EF=15，则 DO=10 ，EO=7.5由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5 S菱形 EBFD= EF?BD=BE ?AD ，即所以得 AD=12 根据勾股定理可得AE=3.5，有 AB=AE+EB=16 由 2（AB+AD ）=2（16+12）=56，故矩形 ABCD 的周长为56 22四边形ABCD 是平行四边形，AFBE ，又 EFAB ，四边形ABEF为平行四边形，AE平分 BAF ， BAE= FAE ， FAE= BEA ， BAE= BEA ，BA=BE ，平行四边形ABEF为菱形23 （1）证明：在矩形ABCD 中，AB CD ， BAC= DCA ，又 CAE= ACE ， ACF= CAF ， EAC= FCA AE CF四边形AECF为平行四边形，又 CAE= ACE ，AE=EC ?AECF 为菱形（2）设 BE=x，则 EC=AE=8 x，在 RtABE中，AB2+BE2=AE2，即 42+x2=（8x）2解之得 x=3，所以 EC=5 ，即 S菱形 AECF=EC AB=5 4=2024四边形AFCE是菱形，理由是：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . =，AO=OC ，OE=OF ，四边形AFCE是平行四边形，EFAC ，平行四边形AFCE 是菱形25 （1）AC与 EF互相平分，连接CE ，AF ，平行四边形ABCD ，AB CD ，AB=CD ，又 BE=DF ，AB+BE=CD+DF，AE=CF ，AE CF，AE=CF ，四边形AECF是平行四边形，AC与 EF互相平分；（2）条件： EFAC ，EFAC ，又四边形AECF是平行四边形，平行四边形AECF 是菱形26 AB=DC AC=BD BC=CB， ABC DCB ， DBC= ACB ，BE=CE ，又 BEC的平分线是EF，EO是中线（三线合一） ，BO=CO ，四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又 BE=CE ，四边形BFCE是菱形27 （1）证明： CF BE ， EBD= FCD ，D是 BC边的中点，则BD=CD ， BDE= CDF ， BDE CDF （2）如图所示，由（1）可得 CF=BE ，又 CFBE ，所以四边形 BECF是平行四边形；（3）ABC是等腰三角形，即AB=AC ，理由：当AB=AC时，则有AD BC ，又（ 2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形28 （1） DE为 BC的垂直平分线， EDB=90 ，BD=DC ，又 ACB=90 ，DE AC ，E为 AB的中点，在 RtABC中， CE=AE=BE ， AEF= AFE ，且 BED= AEF ，DEC= DFA ，AFCE ，又 AF=CE ，四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE 即可，DE AC ， BED= BAC ， DEC= ECA ，又 BED= DEC ， EAC= ECA ，AE=EC ，又 EB=EC ，AE=EC=EB ，CE= AB ，AC= AB即可，在 RtABC中， ACB=90 ，当 B=30 时， AB=2AC ，故 B=30 时，四边形ACEF为菱形29 AD平分 BAC BAD= CAD 又 EFAD ， AOE= AOF=90 在 AEO和AFO中， AEO AFO （ASA ） ，EO=FO 即 EF 、AD相互平分，四边形AEDF是平行四边形又 EF AD ，平行四边形AEDF为菱形301）解： OE=OF 理由如下：CE是 ACB的角平分线， ACE= BCE ，又 MN BC ， NEC= ECB ， NEC= ACE ，OE=OC ，OF是 BCA的外角平分线， OCF= FCD ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - . . 又 MN BC ， OFC= ECD ， OFC= COF ，OF=OC ，OE=OF ；（2）解：当 ACB=90 ，点 O在 AC的中点时，OE=OF ，四边形AECF是正方形；（3）答：不可能解：如图所示，CE平分 ACB ，CF平分 ACD ， ECF= ACB+ ACD= （ ACB+ ACD ）=90 ，若四边形BCFE是菱形，则BFEC ，但在 GFC中，不可能存在两个角为90 ，所以不存在其为菱形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -