2022年2022年离散型随机变量的分布列综合题精选 .pdf

离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案）1. 某单位举办2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。（）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是185，求抽奖者获奖的概率；（）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及，DE的值。解： （I）设“世博会会徽”卡有n 张，由,185292CCn得 n=5，故“海宝”卡有4 张，抽奖者获奖的概率为612924CC,5 分（II ）)61,4( B的分布列为)4,3 ,2, 1 ,0()65()61()(44kCkPkkk0 1 2 3 4 P 4004)65()61(C3114)65()61(C2224)65()61(C1334)65()61(C0444)65()61(C.95)611(4,32614DE,12 分2. 某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和 D两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的K和 D两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K和 D两个动作的情况如下表：表 1：甲系列表 2：乙系列动作K动作D动作得分90 50 20 0 概率109101109101现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115 分。（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。并求其获得第一名的概率。（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩的分布列及数学期望.E解. （1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140 分，而乙系列最高只可得到110 分，不可能得第一名。动作K动作D动作得分100 80 40 10 概率43414341名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 该运动员获得第一名的概率.4343414343p（2）的可能取值有50,70,90,110。;10081109109110p;100910110990p;100910110970p.100110110150p110 90 70 50 P 100811009100910013在本次考试中共有12 道选择题， 每道选择题有4 个选项， 其中只有一个是正确的。评分标准规定： 每题只选一项，答对得5 分，不答或答错得0 分。某考生每道题都给出一个答案。 某考生已确定有9 道题的答案是正确的，而其余题中， 有 1 道题可判断出两个选项是错误的， 有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：（）选择题得60 分的概率；（）选择题所得分数的数学期望解： （1）得分为 60 分，12 道题必须全做对在其余的 3 道题中， 有 1 道题答对的概率为12，有 1 道题答对的概率为13，还有 1 道答对的概率为14，所以得分为60 分的概率为：1 1 11.2 3 424P， 。 。 。 。 。 。5 分（2）依题意，该考生得分的范围为45， 50，55，60. ， 。 。 。 。 。 。6 分得分为 45 分表示只做对了9 道题，其余各题都做错，所以概率为11 2 361.2 3 4484P， 。 。 。 。 。 。7 分得分为 50 分的概率为：21 2 31 1 31 2 111.2 3 42 3 42 3 424P， 。 。 。 。 。 。8 分同理求得得分为55 分的概率为：36.24P， 。 。 。 。 。 。9 分得分为 60 分的概率为：41.24P， 。 。 。 。 。 。10 分所以得分的分布列为45 50 55 60 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - P141124624124数学期望1116160545505560424242412E。 。 。 。 。 。12 分4某地区举办科技创新大赛，有50 件科技作品参赛，大赛组委会对这50 件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5 分制，若设“创新性”得分为x， “实用性”得分为y，统计结果如下表：作品数量yx实用性1 分2 分3 分4 分5 分创新性1 分1 3 1 0 1 2 分1 0 7 5 1 3 分2 1 0 9 3 4 分1 b6 0 a5 分0 0 1 1 3 （）求“创新性为4 分且实用性为3 分”的概率；（）若“实用性”得分的数学期望为16750，求a、b的值解： （）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250,4 分（）由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，4b件，15件，15件，8a件,5 分“实用性”得分y的分布列为：y12345p550450b15501550850a又“实用性”得分的数学期望为16750，541515816712345505050505050ba,10 分作品数量共有50件，3ab解得1a，2b,13 分5一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - （） 若从袋中每次随机抽取1个球， 有放回的抽取2 次，求取出的两个球编号之和为6 的概率；（）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3 次，求恰有2次抽到6号球的概率；（） 若一次从袋中随机抽取3个球， 记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列 . 解： （）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n， 则两次取球的编号的一切可能结果),(nm有6 636种，,2 分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种，则所求概率为536. ,4 分（）每次从袋中随机抽取2个球 , 抽到编号为6的球的概率152613CpC. ,6 分所以，3次抽取中，恰有2次抽到 6 号球的概率为2223122(1)3( ) ()339C pp. ,8 分（）随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6. ,9 分33361(3)20CP XC，23363(4)20CP XC，243663(5)2010CP XC，2536101(6)202CP XC. ,12 分所以，随机变量X的分布列为 : X3456P12032031012,13 分6甲、乙二人用4 张扑克牌（分别是红桃2、红桃 3、红桃 4、方块 4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。（ 1）设),(ji分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况（ 2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3 大的概率是多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - （ 3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由. 解： （1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3） ， （2， 4） ， （2，4） ， （3，2） ， （3，4） ，（3，4） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4） ，共 12 种不同情况,4 分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4. 因此乙抽到的牌的数字大于3 的概率为32. ,8分（3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2） ， （4，2） ， （4，3） ， （4， 2） ， （4，3） ，共 5 种甲获胜的概率,1251P乙获胜的概率为1272P127125此游戏不公平,.13分7某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况. 已知该题有两空，第一空答对得3 分，答错或不答得0 分；第二空答对得2 分，答错或不答得 0 分. 第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的. 从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000 的样本，统计结果如下表：第一空得分第二空得分得分0 3 得分0 2 人数198 802 人数698 302 （）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分. （） 这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1 ）作为该同学相应的各种得分情况的概率. 试求该同学这道题得分的数学期望 . 解： （）设样本试卷中该题的平均分为x，则由表中数据可得 : 01983 802069823023.011000 x，,.3 分B A C M F E D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01 分. ,.4 分（）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，,6 分(0)(10.8)(10.3)0.14P(2)(10.8)0.30.06P(3)0.8(10.3)0.56P(5)0.8 0.3)0.24P则该同学这道题得分的分布列如下：ks5u 0 2 3 5 P 0 14 006 056 0 24 所以 E =0 0.14+2 0.06+3 0.56+5 0.24=3 ,12 分8某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有 10 件产品，其中6 件是一等品， 4 件是二等品 . ( ) 随机选取1 件产品，求能够通过检测的概率；( ) 随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；( ) 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 解： ( ) 设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A,1 分事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”,2 分151332104106)(Ap,4 分( ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3. 30463101(0)30C CP XC,21463103(1)10C CP XC, 12463101(2)2C CP XC,03463101(3)6C CP XC. ,8 分,9 分( ) 设随机选取3 件产品都不能通过检测的事件为B,10 分事件B等于事件“随机选取3 件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，X0 1 2 3 P3011032161名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3111()( )303810P B. ,13 分9某商场进行促销活动，到商场购物消费满100 元就可转动转盘( 转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖， 满 200 元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖 10 元，落在 B 、C区域中二等奖，奖5 元，落在其它区域则不中奖一位顾客一次购物消费 268 元，( ) 求该顾客中一等奖的概率；( ) 记为该顾客所得的奖金数，求其分布列；( ) 求数学期望E( 精确到 0.01) 解( ) 设事件A表示该顾客中一等奖1111123()212121212144P A所以该顾客中一等奖的概率是23144,4 分（）的可能取值为20，15， 10，5，0 ,5 分111(20)1212144P，121(15)2121236P，221911(10)21212121272P291(5)212124P，999(0)121216P（每个 1 分） ,10 分所以的分布列为20 15 10 5 0 P1144136117214916,10 分（）数学期望1111120151053.3314436724E,14 分10甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约 . 乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约. 设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响（）求至少有1 人面试合格的概率；（）求签约人数的分布列和数学期望A B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 解： （）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格. 由题意知A，B，C相互独立，且. 至少有 1人面试合格的概率是（）的可能取值为 0，1，2，3. =的分布列是0 1 2 3 的期望11甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为1()2p p，且各局胜负名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59（）求p的值；（）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E解： （）当甲连胜2 局或乙连胜2 局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9pp，解得13p或23p又12p，所以23p,6 分（）依题意知的所有可能取值为2，4，65(2)9P，5520(4)(1)9981P，52016(6)198181P，所以随机变量的分布列为：246P5920811681所以的数学期望520162662469818181E ,13 分12甲班有 2 名男乒乓球选手和3 名女乒乓球选手， 乙班有 3 名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2 名选手参加体育交流活动. （）求选出的4 名选手均为男选手的概率. （）记X为选出的 4 名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望. 解： （）事件A表示“选出的4 名选手均为男选手”. 由题意知232254( )CP AC C,3 分11110220. ,5 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - （）X的可能取值为0,1,2,3. ,6 分23225431(0)10 620CP XC C，,7 分11212333225423 337(1)10 620C C CCP XC C，,9 分213322543 33(3)10620C CP XC C，,10 分(2)1(0)(1)(3)P XP XP XP X920. ,11 分X的分布列：X0123P120720920320,12 分179317()01232020202010E X. ,13 分13为振兴旅游业， 某省 2009 年面向国内发行了总量为2000 万张的优惠卡， 其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36 名游客的旅游团到该省旅游，其中43是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有31持金卡，在省内游客中有32持银卡。（1）在该团中随机采访3 名游客，求至少有1 人持金卡且恰有1 人 持银卡的概率； (2 ) 在该团的省外游客中随机采访3 名游客，设其中持金卡人数为随机变量X，求 X的分布列及数学期望EX 。. 解： （1）由题意知，省外游客有27 人，其中 9 人持有金卡，省内游客有9 人，其中 6人持有银卡。记事件 B为“采访该团3 人中，至少有1 人持金卡且恰有1 人持银卡，”记事件1A为“采访该团3 人中， 1 人持金卡 ,1 人持银卡，”记事件2A为“采访该团3 人中， 2 人持金卡 ,1 人持银卡，”则23845)()()(3361629336121161921CCCCCCCAPAPBP所以在该团中随机采访3 名游客，至少有 1 人持金卡且恰有1人持银卡的概率为23845。,.6 分（2）X的可能取值为0,1,2,3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 因为975272)0(327318CCXP，325153) 1(32721819CCCXP32572)2(32711829CCCXP，97528)3(32739CCXP所以 X的分布列为,10 分故197528332572232515319752720EX,13 分14张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35（）若走L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；（）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（） 按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解： （）设走L1路线最多遇到1 次红灯为A事件，则0312331111()=( )( )2222P ACC,4 分所以走L1路线，最多遇到1 次红灯的概率为12（）依题意，X的可能取值为0，1，2,5 分331(=0)=(1)(1)4510P X，33339(=1)=(1)(1)454520P X，339(=2)=4520P X,8 分随机变量X的分布列为：X0 1 2 P 1109209201992701210202020EX,10 分X 0 1 2 3 P 9752723251533257297528H C A1A2B1B2L1L2A3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - （）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，1(3,)2YB，所以13322EY,12 分因为EXEY，所以选择L2路线上班最好,14 分15 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5 个白球和5 个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2 个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。（）求仅一次摸球中奖的概率；（）求连续2 次摸球，恰有一次不中奖的概率；（）记连续3 次摸球中奖的次数为，求的分布列。解： （）设仅一次摸球中奖的概率为 P1,则 P1=252102CC=49,3分（）设连续2 次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则P2=1211(1)CP P4081,7分（）的取值可以是0，1，2，3 (0)P=(1-1P)3=125729, (1)P=12311(1)CPP300729=100243, (2)P=22311(1)CP P =240729=80243, (3)P=31P=64729所以的分布列如下表0 1 2 3 P 1257291002438024364729,13分16在一次考试中共有8 道选择题， 每道选择题都有4 个选项， 其中有且只有一个选项是正确的 . 某考生有4 道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2 个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. ( ) 求该考生 8 道题全答对的概率；( )若评分标准规定： “每题只选一个选项，选对得5 分，不选或选错得0 分”，求该考生所得分数的分布列. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 解： ( ) 说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：641414121215 分( ) 答对题的个数为4，5，6， 7，8，其概率分别为：649434321214P64242434121212434321215P64226P6487P8P64141412121分布列为：,13 分17为保护水资源，宣传节约用水，某校4 名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （）求 4 人恰好选择了同一家公园的概率；（）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望解： （）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ,1 分每名志愿者都有3 种选择， 4 名志愿者的选择共有43 种等可能的情况.,2 分事件A所包含的等可能事件的个数为3，,3 分所以，431327P A. 即： 4 人恰好选择了同一家公园的概率为127. ,5 分（）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则13P C. ,6 分4 人中选择甲公园的人数X可看作 4 次独立重复试验中事件C发生的次数， 因此，随机变量X服从二项分布 . X可取的值为0，1， 2，3，4. ,8 分4412() ()33iiiP XiC，0,1,2,3,4i. ,10 分X的分布列为 : X0 1 2 3 4 P168132812481881181.,12 分X的期望为14433E X.,13 分520 25 30 35 40 P64964246422648641名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 18某学校高一年级开设了,A B C D E五门选修课为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程假设某班甲、 乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的（）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；（）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望解： （）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5 种，故共有55 5125（种）（）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：35312525A三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：121312525（）由题意：0,1,2,3X33464(0)5125P X；1233448(1)5125CP X；233412(2)5125CP X；3331(3)5125CP X的分布列为数学期望64481210123125125125125EX=35- 13分19某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4 次考核，规定： 按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932（I ）求小张第一次参加考核就合格的概率P1；（）求小张参加考核的次数和分布列和数学期望值.E解： （I ）由题意得,329)81)(1(11ppX0123P6412548125121251125名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - .85411或p.85,2111pp,4 分（II ）由（ I ）知小张 4 次考核每次合格的概率依次为1 ,87,43,85，所以,329)2(,85) 1(PP,25631)871)(431)(851 ()4(,2562187)431)(851()3(PP所以的分布列为1 2 3 4 P 85329256212563.256379256342562133292851E,12 分20已知条桥梁横跨A、两岸，假设各条桥梁的车流量分别为、（单位：万量），现从这条桥梁中任取三条桥梁，考察这三条桥梁的车流量之和（）求4的概率；（）求的数学期望解： （）由等可能事件得512)4(35CP ,5 分（）由已知得9 ,8 ,7 ,6,5 ,4分布列如下：,10 分故527E ,P51103104101名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -