2022年高中数学第一章集合 .pdf

第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题. 1.1集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素. 2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. 3集合的分类：无限集、有限集、空集. 4. 集合间的关系：二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集：记 A、 B是两个集合， 则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作BA.即AxBA且Bx. 2.集合的运算性质(1)AAA,AAA(幂等律 );(2)ABBA, ABBA(交换律 ); (3)()(CBACBA, )()(CBACBA(结合律 ); (4)()()(CABACBA,)()()(CABACBA(分配律 ); (5)AABA)(,ABAA)(吸收律 );(6)AACCUU)(对合律 ); (7)()()(BCACBACUUU, )()()(BCACBACUUU(摩根律 ) (8)()()(CABACBA,)()()(CABACBA. 3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等; (2)利用定义 ,证明两个集合互为子集; (3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件 ),即等价 ; (4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件. 4.一般地，对任意两个有限集合A、B，有).()()()(BAcardBcardAcardBAcard我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,21nAAA有)(1321nnAAAAAcard精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页)()()()()()(3121321AAcardAAcardAcardAcardAcardAcardn)()()()(1232111nnnnnnAAAcardAAAcardAAcardAAcard).()1(311nnAAAcard【典例精析】【例 1】已知.,22|, 34|22BAxxxyyBxxxyyA求RR【思路分析】先进一步确定集合A、B. 【略解】, 11)2(2xy又.33)1(2xyA=.31|,3|,1|yyBAyyByy故【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组.22, 3422xxyxxy消去.0122,2xxy因方程无实根，故BA. 这里的错因是将A、 B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域. 【例 2】设集合,|613,|21,|,|2ZZZZnnDnnCnnBnnA则在下列关系中，成立的是（）ADCBABDCBA,CDCCBA,DDCBBA,【思路分析】应注意数的特征，即.,612613,21221Znnnnn【解法 1】,|613,|21,|,|2ZZZZnnDnnCnnBnnADCCBA,.故应选 C. 【解法 2】如果把A、B、C、D 与角的集合相对应，令.|63,|2,|,|2ZZZZnnDnnCnnBnnA结论仍然不变，显然A为终边在坐标轴上的角的集合，B为终边在x 轴上的角的集合， C为终边在y 轴上的角的集合，D为终边在y 轴上及在直线xy33上的角的集合，故应选（C）. 【评述】解法1 是直接法，解法2 运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解. 【例 3】设有集合BABAxxBxxxA和求和,2|2|2（其中 x表示不超过实数x 之值的最大整数） . 【思路分析】应首先确定集合A 与 B.从而.2,.21Ax显然.22|xxBA若,2, 1,0 , 1 , 2,2xxxBAx则从而得出).1(1)1(3xxxx或于是3, 1BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页【评述】此题中集合B中元素 x 满足“ | x|3 ”时，会出现什么样的结果，读者试解之. 【例 4】设,22ZyxyxaaM，求证：（1）)(,12ZkMk； （ 2）)( ,24ZkMk； （3）若MqMp,，则.Mpq证明 （ 1）因为Zkk1,，且22)1(12kkk，所以.12Mk（2）假设)(24ZkMk，则存在Zyx,，使2224yxk，由于yx和yx有相同的奇偶性，所以)(22yxyxyx是奇数或 4 的倍数，不可能等于24k，假设不成立，所以.24Mk（3）设Zbayxbaqyxp,2222，则)(2222bayxpq22222222aybxbyaaMyaxbybxa22)()(（因为ZyaxbZyaxa,） 。【例 5】 设 A， B是两个集合，又设集合M 满足BAMBABAMBMA,，求集合M（用 A，B表示）。分析 利用子集的定义证明集合相等，先证BA，再证AB，则 A=B。【解】先证MBA)(，若)(BAx，因为BAMA，所以MxMAx,，所以MBA)(；再证)(BAM，若Mx，则.BAMBAx1）若Ax，则BAMAx；2）若Bx，则BAMBx。所以).(BAM综上，.BAM【例 6】02,01,023222mxxxCaaxxxBxxxA， 若CCAABA,，求.,ma分析 分类讨论思想的应用【解】依题设，2, 1A，再由012aaxx解得1ax或1x，因为ABA，所以AB，所以Aa1，所以11a或 2，所以2a或 3。因为CCA，所以AC，若C，则082m，即2222m，若C，则C1或C2，解得. 3m综上所述，2a或3a；3m或2222m。【例 7】在集合, 2, 1n中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是. 分析已知,2,1n的所有的子集共有n2个.而对于,2, 1ni,显然,2, 1n中包含i的子集与集合, 1, 1,2, 1nii的子集个数相等.这就说明i在集合,2,1n的所有子集中一共出现12n次 ,即对所有的i求和 ,可得).(211ninniS【解】集合,2, 1n的所有子集的元素之和为2)1(2)21 (211nnnnn=.2)1(1nnn说明本题的关键在于得出,2, 1n中包含i的子集与集合,1, 1,2, 1nii的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例 8】已知集合034|,023|222aaxxxBxxxA且BA,求参数a的取值范围 . 分析首先确定集合A、B,再利用BA的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得0)3)( |,12|axaxxBxxA当0a时,3|axaxB, 由BA知无解 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页当0a时,B,显然无解 ; 当0a时,3|axaxB, 由BA解得.321a综上知 ,参数a的取值范围是32, 1. 说明本题中 ,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例 9】 已知RyRx,集合 1,2,1, 12yyyBxxxxA.若BA,则22yx的值是 ( ) A.5 B.4 C.25 D.10 【解】0)1(2x,xxx12,且012xx及集合中元素的互异性知xxx12, 即1x, 此时应有.112xxxx而Ry,从而在集合B中,.21yyy由BA,得)3()2()1 (12112yxyxyxx由(2)(3)解得2, 1 yx,代入 (1)式知2, 1 yx也满足 (1)式. .5212222yx说明本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 【例 10】 已知集合|,| , 0),lg(,yxBxyyxA.若BA,求)1()1(22yxyx +)1(20082008yx的值 . 分析从集合A=B 的关系入手 ,则易于解决 . 【解】BA,0)lg(|)lg(xyxyxyxxyxyx,根据元素的互异性,由 B知0,0 yx. B0且BA,A0,故只有0)lg(xy,从而.1xy又由A1及BA,得.1B所以1|1xxy或11yxy,其中1yx与元素的互异性矛盾!所以, 1yx代入得 : )1()1(22yxyx +)1(20082008yx=(2)+2+(2)+2+ +(2)+2=0. 说明 本题是例 4 的拓展 ,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键. 【例 11】已知集合02|,023|22aaxxxSxxxP,若PS,求实数a的取值组成的集合A. 【解】21|xxP,设aaxxxf2)(2. 当04)2(2aa,即10a时,S,满足PS; 当04)2(2aa,即0a或1a时, 若0a,则0S,不满足PS,故舍去 ; 若1a时,则 1S,满足PS. 当04)2(2aa时 ,满足PS等价于方程022aaxx的根介于1 和 2 之间 . 即0340121100)2(0) 1(22)2(10aaaaaffa或a. 综合得10a,即所求集合A 10|aa. 说明先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论 ,确定a的取值范围 .本题可以利用数形结合的方法讨论.0【例 12】已知集合,4321aaaaA,24232221aaaaB,其中4321aaaa, Naaaa4321,.若,41aaBA,1041aa.且BA中的所有元素之和为124,求集合 A、B. 【解】4321aaaa,且,41aaBA,211aa,又Na1,所以.11a又1041aa,可得94a,并且422aa或.423aa若922a,即32a,则有,12481931233aa解得53a或63a(舍) 此时有.81,25,9 , 1,9 ,5 ,3 , 1BA若923a,即33a,此时应有22a,则BA中的所有元素之和为100124.不合题意 . 综上可得 , .81,25,9 , 1,9 ,5 , 3, 1BA说明本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页【例 13】满足条件|4|)()(|2121xxxgxg的函数)(xg形成了一个集合M, 其中Rxx21,并且1,2221xx,求函数)(23)(2Rxxxxfy与集合 M 的关系 . 分析求函数23)(2xxxf集合 M 的关系 ,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性 . 【解】|3|)23()23( |)()(|212122212121xxxxxxxxxfxf取65,6421xx时 , . |4|29| )()(|212121xxxxxfxf由此可见 ,.)(Mxf说明本题中 M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(xf是否属于 M,只要找至一个或几个特殊的ix使得)(ixf不符合 M 中的条件即可证明.)(Mxf【例 14】对集合2008,2, 1及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始 ,交替地加减相继各数,如9,6,4,2, 1的“交替和”是612469,集合10,7的“交替和”是107=3,集合5的“交替和”是5 等等 .试求 A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合,2, 1n求出所有的“交替和” . 分析集合 A 的非空子集共有122008个,显然 ,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如 1,2,3,4 的非空子集共有15 个 ,共“交替和”分别为 :1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1; 1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1; 1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1. 从以上写出的“交替和”可以发现 ,除4以外 ,可以把 1,2,3,4 的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设iA是 1,2,3,4 中一个不含有的子集,令iA与iA4相对应 ,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7 对,再加上 4的“交替和”为 4,即1,2,3.4的所有子集的“交替和”为 32. 【解】集合2008,2, 1的子集中 ,除了集合2008,还有222008个非空子集 .将其分为两类 :第一类是含2008 的子集 ,第二类是不含2008 的子集 ,这两类所含的子集个数相同.因为如果iA是第二类的 ,则必有2008iA是第一类的集合 ;如果jB是第一类中的集合,则jB中除 2008 外,还应用 1,2, ,2007 中的数做其元素,即jB中去掉 2008 后不是空集 ,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得 A 的所有子集的“交替和”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页为.2008220082008)22(2120072008同样可以分析,2, 1n,因为n个元素集合的子集总数为n2个(含,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n的子集有12n个,不包括n的子集的个数也是12n个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n),设不含n的子集“交替和”为 S,则对应的含n子集的“交替和”为Sn,两者相加和为n.故所有子集的 “交替和”为.21nn说明本题中退到最简,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法 ,在学习的过程中应注意强化. 【例 15】设nN且n 15，BA,都是 1，2， 3，n的真子集，AB，且AB=1，2，3，n.证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数. 【证明】由题设，1，2，3， ，n的任何元素必属于且只属于它的真子集BA,之一 . 假设结论不真，则存在如题设的1，2，3， ，n的真子集BA,，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数. 不妨设 1A，则 3A，否则 1+3=22，与假设矛盾，所以3B.同样 6B，所以 6A，这时 10A， ，即 10B.因n15 ，而 15 或者在A中，或者在B中，但当 15A时，因 1A，1+15=24，矛盾；当15B时，因 10B，于是有 10+15=25，仍然矛盾 .因此假设不真 ,即结论成立 .【强化训练】一、基础训练题1给定三元集合, 12xxx，则实数x的取值范围是_。2若集合,0122RxRaxaxxA中只有一个元素，则a=_。3集合3,2, 1B的非空真子集有_个。4已知集合 01,0232axxNxxxM，若MN，则由满足条件的实数a组成的集合P=_。5已知,2axxBxxA，且BA，则常数a的取值范围是 _。6若非空集合S满足5 ,4,3,2, 1S，且若Sa，则Sa6，那么符合要求的集合S有_个。7集合1412ZkkYZnnX与之间的关系是 _。8若集合 1,xyxyxA，其中Zx，Zy且0y，若A0，则 A 中元素之和是 _。9集合01,062mxxMxxxP，且PM，则满足条件的m值构成的集合为_。10集合, 9, 122RxxyyBRxxyxA，则BA_。11已知 S是由实数构成的集合，且满足1）2;1S）若Sa，则Sa11。如果S，S中至少含有多少个元素？说明理由。12已知BACaxyyxBxayyxA,),(,),(，又 C为单元素集合，求实数a的取值范围。二、高考水平训练题1已知集合,0,yxByxxyxA，且 A=B，则x_，y_。2,9 ,1)()(,2,9 ,8 ,7,6 , 5, 4, 3, 2, 111BCACBAIBIAI 8 ,6,4)(1BAC，则)(1BCA_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页3 已知集合 121,03102mxmxBxxxA， 当BA时，实数m的取值范围是 _。4若实数a为常数，且axaxxAa则,1112_。5集合 1, 12,3,3, 1,22mmmNmmM，若 3NM，则m_。6集合, 27, 35NyybbBNxxaaA，则BA中的最小元素是_。7集合0,2222yxyxBxyyxyxA，且 A=B，则yx_。8已知集合04,021pxxBxxxA，且AB，则p的取值范围是_。9. 已知集合，若，求实数的取值范围。10. 设 P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a+b、a-b、ab、abP（除数b0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：数域必含有0，1 两个数；整数集是数域；若有理数集QM, 则数集M必为数域 ; 数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、联赛一试水平训练题1ba,为实数 ,集合 M=xxfaPab:,0,1 ,表示把集合M 中的元素x映射到集合P中仍为x,则ba的值等于2已知集合ABBxmxxmzzBxxA且,2,11,02，则实数m的取值范围是 _。3集合 12 ,2,3,2, 1nnA的子集 B 满足：对任意的ByxByx,，则集合B中元素个数的最大值是_。4已知集合2,2dadaaQaqaqaP，其中0a，且Ra，若 P=Q，则实数q_。5已知集合1),(,0,),(yxxyyxBaayxyxA，若BA是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a_。6.集合,4812ZnlmlnmuuM，集合,121620ZrqprqpuuN，则集合 M 与 N 的关系是 _。7集合A,B 的并集AB=a1,a2,a3，当且仅当AB 时， (A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_对。8.设集合12log32Axx，21aBxxa若AB，求实数a的取值范围9.以某些整数为元素的集合P具有下列性质：P中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数,有偶数；1P；若x，yP,则xyP试判断实数0 和 2 与集合P的关系 . 10.321,SSS为非空集合，对于1，2，3 的任意一个排列kji,，若jiSySx,，则kSyx（ 1）证明：三个集合中至少有两个相等. （ 2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？【点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的 .由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言 ,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用 . 3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提. 4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中 ,集合题是普遍而又基本的题型之一. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页