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    2022年2022年空间距离 .pdf

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    2022年2022年空间距离 .pdf

    1 本周教学内容 理解空间的七种距离。1、空间两点间距离:平面上两点间距离;球面上两点间距离。2、点到直线的距离。3、点到平面的距离。4、平行直线间的距离。5、异面直线间的距离。6、直线和平面间的距离。7、平行平面间的距离。本周教学重点 掌握空间距离的转化1、找出或作出有关距离的图形。2、证明它们就是所求的距离。3、利用解三角形的知识计算求解距离。空间距离的计算中, 点到平面的距离最具有代表性,它往往需要先转化为线、面间的距离, 再转化为点到直线的距离,最后通过两点间距离求解。同时,利用体积法求解点到平面的距离,也是一种重要的方法。例题分析与解答 例 1、三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,底面 ABC 上一点 Q 到侧面 PAB、侧面 PBC、侧面 PAC的距离依次为 2,3,6。求:P、Q 两点间的距离。分析与解答:如图,作QE面 PAB,QM面 PBC,QH面 PAC,E、M、N 为垂足。由 PA、PB、PC两两垂直,所以PC面 PAB,PB面 PAC,PA面 PBC,可得三个侧面两两垂直。设平面 QEM 与 PB 交于 F,平面 QEH 与 PA交于 G,平面 MQH与 PC交于 N, 连接 EF、 MF、 GH、 GQ、 NH、 NM , 可证明 QMNH-EFPG是长方体。PQ=222QHQMQE=222632=7。例 2、已知:二面角-EF- 的平面角 120,二面角空间内一点 P 向 , 引垂线 PA、PB,A、B 为垂足,且 PA=5,PB=4。求:点 P 到直线 EF 的距离。分析与解答:如图 , 方法一:由PAEFEFPAPBEFEFPBEF面 PAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 2 由设 EF 与平面 PAB 的交点为 O,连接 OA、OB、OP 则 OAEF,OBEF,POEF,所以 AOB 为-EF- 的平面角, AOB=120,OP 为所求点 P到直线 EF 的距离。由 PA ,PB , PAO=PBO=90,四边形 PAOB 是圆的内接四边形, APB=180-AOB=60。在PAB 中,PA=5,PB=4,由余弦定理得:AB=2160cos4524522由 PO 是PAB 外接圆的直径,根据正弦定理得:60sinAB=PO,PO=2321=27即点 P到直线 EF 的距离为 27。方法二:由方法一得EF平面 PAOB,延长 AO,PB 设它们交于点C。PA , PAC=90,AOB=120, APB=60, C=30,PA=5,PC=10,PB=4,BC=6,PB , OBC=OBP=90,OB=BCtg30=623=23在 RtPOB 中,PO=161222PBOB=27即点 P到直线 EF 的距离为 27。例 3、已知:如图, ABCD 是边长为 2 的正方形,PC面 ABCD,PC=2,E、F 是 AB、AD 中点。求:点 B 到平面 PEF的距离。分析与解答: 由 BDEF 可证 DB平面 PEF,则点 B 到平面 PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA 垂直平面 PEF,故 DB 与 AC 的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。方法一:连接 DB,AC 交于 O 点,设 AC 交 EF 于 G,连 PG,作 OHPG,H 为垂足。E、F 是 AB、AD 中点, EFDB,DB面 PEF,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 3 ABCD 是正方形, ACBD,EFAC,PC面 ABCD,EFPC,EF面 PCG,EF 面 PEF,面 PEF面 PCG,OHPG,OH面 PEF,即 OH 为所求点 B 到平面 PEF的距离。由 ABCD 边长为 2,AC=22,GO=22,GC=223,PC面 ABCD,PCAC,OHGPCG,PGOGPCOH, 由 PC=2,PG=234217)223(222OH=234222=17172即点 B 到平面 PEF的距离为17172。方法二:如图,连接BF、PB,设点 B 到平面 PEF的距离为 d,由 VP-BEF=31SBEFPC =3121BEAFPC =61112=31连 AC 交 EF 于 G,连 PG ,由方法一知PG=234,EF=2,SPEF=212234=217VB-PEF=31SPEFd=VP-BEF=31, 217d=1 d=17172即点 B 到平面 PEF的距离为17172。本周练习 1、空间四点 A、B、C、D 每两点的连线长都等于a,动点 P 在线段AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则点 P与点 Q 的最短距离是()(A)a (B)23a (C)22a (D)21a 2、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,如果 AB=BC=a,AA1=2a,那么点 A 到直线 A1C 的距离等于()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 4 (A)362a (B)263a (C)332a (D)36a 3、已知 ABC,AB=9,AC=15,BAC=120,ABC 所在平面外有一点 P 到此三角形三个顶点的距离都是14,那么点 P 到平面的距离是()(A)13 (B)11 (C)9 (D)7 4、已知 OA、OB 是圆锥底面互相垂直的两条半径,C 是母线 SB 的中点,SA=3,OA=2,则 A、C 两点在圆锥侧面上的最短距离是()(A)23(B)233(C)33(D)3325、在地球北纬 60圈上 A、B 两点,它们的经度相差180,则 A、B 两点在北纬圈上所夹弧长与A、B 两点的球面距离之比为()(A)3:2 (B)2:3 (C)1:3 (D)3:5 6、已知:棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E、 F是 BB1和 DD1的中点, 求: 点 D1到平面 AEC1F的距离。本周练习参考答案 1、C 2、C 3、D 4、B 5、A 6、连 A1C1,D1B1交于 O 点,连 AC1,EF,作 OHAC1,H 为垂足,E、F 是 BB1,DD1中点,D1B1EF,D1B1面 AEC1F,D1B1A1C1,D1B1A1A,D1B1面 A1AC1,EF面 A1AC1,EF 面 AEC1F,面 A1AC1面 AEC1F,OHAC1,OH面 AEC1F,即 OH 为所求点 D1到平面 AEC1F 的距离。由OHC1AA1C1,111ACOCAAOHOH=aaa322=66a 故点 D1到平面 AEC1F 的距离为66a。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -

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