2022年2022年逻辑代数的化简算法 .pdf

逻辑代数的化简算法观察函数1. 该函数有四个逻辑变量，可表示成Y=f(A 、B、C、D) 2. 该函数有三个乘积项：第一项有四个因子四个变量在乘积项中都出现了。第二项有三个因子缺少变量B （或）。第三项缺少变量 C、D（或、）。3. 第一个乘积项是 A、B、C、D的一个最小项，其余二项均不是A、B、C 、D的最小项。最小项： n 个逻辑变量A1、A2、 An 组成的逻辑系统中含n 个因子的乘积项每个变量（或）在乘积项中只出现一次，称这样的乘积项为最小项。两个逻辑变量A、B有 224 个最小项，分别是：、。三个逻辑变量A、B、C有 238 个最小项， 分别是：、。四个逻辑变量A、B、C、 D有 2416 个最小项。练习：写出A、B、C 、D的十六个最小项。最小项的性质：（1）对变量的任意一组取值，只有一个最小项为1，其余最小项全为0。二变量A 、B的最小项为：、。对 A、B的任意一组取值：A=0 B=0 =1 其余三项全为0，即0 A=0 B=1 = 1 其余三项全为0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - A=1 B=0 = 1 其余三项全为0 A=1 B=1 = 1 其余三项全为0 （2）全体最小项之和为1。（读者自己证明）（3）任意两个最小项的乘积为0。最小项的编号：三变量 A、B、C的八组取值000、001、 111 能分别使八个最小项的值为1，又与十进制数 0，17 的二进制数表示相同。用07 编号八个最小项，记为：m0 、m1 、m2、m3 、m4 、m5 、 m6 、m7 ，则 m7 m111 ，m4 m100 ，m0 m000 。练习：读者试写出四变量A、B、 C、D的十六个最小项m0 、m1 m15 。逻辑函数的最小项之和形式任何逻辑函数都可化为最小项之和的标准形式例：将下列函数化为最小项之和的形式反函数的最小项之和表示例：求二变量A，B的逻辑函数的反函数。解一：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解二：列真值表由真值表写出的逻辑表达式( 全体最小项之和) 如三变量A,B,C 的逻辑函数则必有结论：在n 个变量的逻辑系统中，如果Y 为 i 个最小项之和，则必为余下的（ ni ）个最小项之和。异或运算与同或运算定义：称 A与 B异或，为异或运算符A与 B同或，为同或运算符显然：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 异或与同或互为反函数由此推得：即两者相等为0，不相等为1 同或运算则与之相反，且有同学自己证明并牢记。例 1 将下列函数化为最简与或式。例 2 A ，B的波形如下图所示, 试画出的波形。最小项的相邻性任何两个最小项如果他们只有一个因子不同，其余因子都相同，则称这两个最小项为相邻最小项。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 显然， m0与 m1具有相邻性，而与不相邻，因为他们有两个因子不相同。 m3与 m4也不相邻，而m3与 m2相邻。相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变量。如：卡诺图卡诺图是美国工程师卡诺（Karnaugh ）发明的。用小方块（格）来表示最小项。三变量的卡诺图画八个小方块 （格） 来表示八个最小项，四变量的卡诺图画十六个小方块来表示十六个最小项。观察三变量卡诺图发现这八个小方块（最小项）中，凡几何上相邻的两个小方块（最小项）具有相邻性只有一个变量不同，相加后能合并成一项，并能消去一个变量。m0m1 ，m1m3 ，m3m2 ，m4m5 ，m5m7 ，m7m6 ， m0m4 ，m1m5 ，m3m7 ，m2m6都具有相邻性， 还有 m0m2 ， m1m6 也具有相邻性 （可理解成将卡诺图卷成圆筒，他们在几何上就相邻了）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 在四变量卡诺图中，m0m8 ,m1m9 ,m3m11 ,m2m6也都具有相邻性。思考题：为什么卡诺图按00，01， 11，10 的顺序，而非00，01，10，11 顺序画小方块（代表最小项）？逻辑函数的卡诺图表示及化简在逻辑函数的最小项表示一节中，已经讲过， 任何一个逻辑函数都可以化为最小项之和的标准形式。只要将标准形式里函数所包含的每一个最小项，在卡诺图中对应的小方块里添上1，卡诺图上其余的小方块里添0（以后添 0，以空格代替）这就是逻辑函数的卡诺图。其实将函数化为最小项之和，再画卡诺图的过程可以简化，函数化为最小项之和的过程可以省略，直接画出卡诺图。例 1 画出的卡诺图并化简解： 1、画出 Y的卡诺图Y 共有四个乘积项，第一个乘积项包含第 4 行的四项： m8，m9 ，m11 ，m10 ；第二个乘积项包含第 1，2 行（ A0）与第 3，4 列（ C1）相交的四项：m3 ， m2 ，m7 ，m6 ；第三个乘积项包含第 2，3 行（B1）与第 3，4 列（C1）相交的四项：m7 ，m6，m15 ， m14 ；第四个乘积项表第 2 列的 4 项。2、合并与化简从 Y的卡诺图上看到第2，3 列 8 项合并，第3，4 列 8 项合并，第4 行合并得：例 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解： 1、画出 Y的卡诺图第 1 项， 显然第 4 行中的 4 个最小项都含因子，而第 1， 2 列的 8 个最小项都含因子，第4 列与第 1， 2 列相交的两项m8 ，m9即为。第 4 项 C 则包含第 3，4 两列的8 项。2、合并化简。从卡诺图可知用卡诺图化简逻辑函数小结：1 画出逻辑函数的卡诺图。2 若两个最小项相邻，则可合并为一项，且消去一个因子。3 若四个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该四个最小项可合并成一项，且可消去两个因子。4 若八个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该八个最小项可合并成一项，且可消去三个因子。5. 若十六个最小项相邻（排列成一个矩形组），则该十六个最小项可合并成一项，且可消去四个因子。无关项在逻辑函数化简中的应用我们来分析一个实际问题：某水库设有三个水位检测点，装有A、 B 、C三个干湿传感名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 器，当传感器被水浸泡时输出1，否则（不浸水时） 输出 0。该水库有大小两个闸门GL 、GS 。A为警戒水位点，B 比警戒水位A高 1 米， C 比警戒水位高2 米。防汛部规定当水位低于警戒水位 A时，关闸蓄水。当水位超过A时，开小闸门GS放水，当水位超过B时，开启大闸门 GL （关闭小闸门）泄洪；当水位超过C时，大小闸门LS同时开启泄洪。如果用1 表示闸门关闭，闸门与水库水位之间的逻辑关系真值表如下：说明：水位低于警戒线，关闸蓄水水位超警戒线，只开小闸门放水只开大闸门泄洪大小闸门同时泄洪从前面讲过的内容来看GL=AB ，这两个逻辑函数已经不能再化简了，但从现实角度看应该有更简化的结果GL=B ，因为只要水位超过B（B1），大闸门就要开启，与是否超过C无关（因为C1 时， B也等于 1），同样。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 这就是说明前面讲过的内容还有欠缺的地方。我们观察上面的真值表发现，A、B、C三个代表水位的逻辑变量，可能的取值只有000、 100、110 和 111 四种。其余四种取值001、010、011 和 101 永远不可能出现。因为没有物理意义。如果001，C1， AB0 这是不可能的。自己证 A、B、C永远不可能取001、010、011 和 101。与之对应的四个最小项就永远为0。m1=0，m2=2 ， m3=0 ，m5=0或。初等函数有定义域Y ，不允许 X取（ 1，3）之间的数，逻辑函数也有类似的问题。上面讲的水位检测问题A、B、C的取值只有000、100、110、111 四种情况， 001、010、 011和 101 无意义，永远不可能出现，与之对应的四个最小项将永远为0，即。这就是下面要讲的无关项问题。无关项由于逻辑变量的取值受到限制（约束），使得某些最小项（及其和）永远等于0，那些恒等于 0 的最小项就是无关项。在卡诺图中无关项用x 表示。 如对化简逻辑函数有用，对组成更大的相邻矩形组有用，可将他们吸收进去（因为他们为0，等于在逻辑函数中添加0）反之弃之。例：将下列函数化为最简与或函数式。给定约束条件 AB+CD=0 约束条件解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - . 该卡诺图上有四个矩形组, 其中 m11 ，m13 ，m15三个无关项在化简中没有用到。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -