2022年2022年考点曲线与方程、圆锥曲线的综合应用复习课程 .pdf

此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用考点 45 一、解答题1.（ 2014安徽高考文科21）设1F,2F分别是椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E于,A B两点，11| 3|AFBF(1) 若2|4,ABABF的周长为 16，求2|AF；(2) 若23cos5AF B，求椭圆E的离心率 . 【解题提示】（1）利用椭圆的定义求解； （2）设1|BFk=，用 k 表示22| |AFBF、利用余弦定理解2ABFD得出等腰12Rt AF FD，从而得到a,c 的关系式。【解析】（1）由11| 3|,|AB|=4AFBF=，得11| 3 |=1AFBF= ，因为2ABFD的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,|=2a=8aAFAF=+，故21| =2|=8-3=5AFaAF-。（2）设1|BFk=，则 k0,且1| 3 ,| 4 ,AFkABk=由椭圆定义可得22|=23 ,|=2,AFakBFak-在2ABFD中，由余弦定理可得22222222|2 |.| cos,ABAFBFAFBFAF B=+-?即2226(23 )(2)(23 )(2)5akakakak=-+-（4k)，化简可得()(3 )0ak ak+-=，而 a+k0, 故 a=3k, 于是有21| 3|,AFkAF=2|=5kBF，因此2222212|B FA FA BFAFA=+轣,故12AF FD为等腰直角 三角形，从而2222ccaea=?=。2（2014安徽高考理科19）如图，已知两条抛物线02:1121pxpyE和02:2222pxpyE，过原点O的两条直线1l和2l，1l与21,EE分别交于21, AA两点，2l与21,EE分别交于21,BB两点 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用(1)证明：1122/ /A BA B；(2)过原点O作直线l（异于1l，2l）与21,EE分别交于21,CC两点。记111CBA与222CBA的面积分别为1S与2S,求21SS的值 . 【解题提示】（1）设出两条直线的方程，联立抛物线方程，求出点21, AA，21,BB的坐标，利用向量证明平行关系；（2）利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。【解析】（1）设直线12,l l的方程分别为1212,(,0)yk x yk x k k=?，则由11112211122(,)2yk xppAkkyp x=?T=?，由12222211222(,)2yk xppAkkyp x=?T=?，同理可得1122122222222222(,)(,)ppppBBkkkk，所以1111112221212222(,)ppppA Bkkkk=-，=122212111112(-)pkkkk-，2222222221212222(,)ppppA Bkkkk=-，=222212111112(-)pkkkk-，故11A B=1222pA Bp，所以1122/ /A BA B。（2）由（ 1）知1122/ /A BA B，同理可得1122/ /B CB C，1122/ /A CA C，所以11122A B CA BD相似于，因此2111222|()|SABSA B=,又由（ 1）中的11AB=1222pA Bp知111222|=|ABppA B，故211222SpSp=3. （2014四川高考理科20）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线3x上任意一点，过F 作 TF 的垂线交椭圆C 于点 P，Q证明： OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ；当|TFPQ最小时，求点T 的坐标 .【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想. 【解析】（1）依条件2222226324caabbabc，所以椭圆 C 的标准方程为22162xy（2）设( 3,)Tm，11(,)P xy，22(,)Q xy，又设PQ中点为00(,)N xy，因为( 2,0)F，所以直线PQ的方程为：2xmy，22222(3)420162xmymymyxy，所以222122122168(3)24(1)04323mmmmyymy ym，于是1202223yymym，20022262233mxmymm，所以2262(,)33mNmm因为3OTONmkk，所以O，N，T三点共线，即 OT 平分线段PQ（其中 O 为坐标原点）2|1TFm，22212224(1)| |113mPQyymmm，所以222222|13|24(1)24(1)13TFmmPQmmmm，令21mx（1x） ，则2|2123()|32 62 6TFxxPQxx（当且仅当22x时取“” ） ，所以当|TFPQ最小时，22x即1m或1，此时点 T 的坐标为( 3,1)或( 3, 1). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用4 （2014四川高考文科20）已知椭圆C：22221xyab（0ab）的左焦点为( 2,0)F，离心率为63（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线3x上一点， 过F作TF的垂线交椭圆于P，Q当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想. 【解析】（1）依条件63ca，且2c2262ab，所以椭圆 C 的标准方程为22162xy. （2）设T点的坐标为（3，m） ，则直线TF的斜率03( 2)TFmkm. 当0m时，直线PQ的斜率1PQkm，直线PQ的方程是2xmy. 当0m时，直线PQ的方程是2x，也符合2xmy的形式 . 设1122(,),(,)P xyQ xy，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得222162xmyxy. 消去x，得22(3)420mymy. 其判别式22168(3)mm0. 所以12243myym，12223y ym，1212212()43xxm yym. 因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OPQT,即1122(,)( 3,)x yxmy. 所以122122123343xxmmyymm. 解得1m. 此时四边形OPTQ的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用21222142222 ()42 3233OPTQOPQmSSOFyymm. 5. （2014重庆高考文科 21）如图，设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，点D在椭圆上，12112121,2 2,F FDFF FDF FDF的面积为22 . (1) 求椭圆的标准方程; (2) 是否存在设圆心在y轴上的圆 , 使原在x轴的上方与椭圆有两个交点, 且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在 , 求出圆的方程 , 若不存在 , 请说明理由 . 【解题提示】 (1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2) 直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解. 【解析】 (1) 设12(,0),( ,0),FcFc其中222.cab由1212 2F FDF得1212.22 2F FDFc从而122112122,222DF FSDFF Fc故1.c从而12,2DF由112DFF F得22221129,2DFDFF F因此23 2.2DF所以1222 2,aDFDF故2,a2221.bac因此，所求椭圆的标准方程为221.2xy（2）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2212xy相交，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用111222,P x yPxy是两个交点，1211220,0,yyF P F P是圆C的切线，且1122.F PF P由圆和椭圆的对称性，易知，2112,.xx yy由（ 1）知12( 1,0),(1,0),FF所以11112211(1,),(1,).F PxyF Pxy再由1122.F PF P得2211(1)0.xy由椭圆方程得22111(1) ,2xx即211340.xx解得143x或10.x当10 x时，12,P P重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x时, 过12,P P分别与1122,F P F P垂直的直线的交点即为圆心.C设0(0,)Cy由111,F PCP得101111.1yyyxx而1111,3yx故05.3y圆C的半径22141542.3333CP综上 , 存在满足题设条件的圆, 其方程为6（2014湖北高考理科21）在平面直角坐标系xOy中，点M到点1,0F的距离比它到 y 轴的距离多1，记点 M的轨迹为C. (1) 求轨迹为C的方程(2) 设斜率为k 的直线 l 过定点2,1p，求直线 l 与轨迹 C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。【解题指南】（） 设出M 点 的 坐标， 直 接 由 题意 列 等式 ， 整 理后 即可 得到M的轨 迹 C 的方 程；（ ）设 出直 线 l的方 程为1(x2)yk，和 （ ）中的 轨迹 方程 联立 化 为关 于 y的一 元二 次方 程， 求 出判 别式 ，再 在直 线 y-1=k （ x+2）中 取 y=0 得 到021kxk，然后 分判 别式 小于 0、等于 0、大 于 0 结 合 x00 求解 使直 线 l 与轨迹C 恰好 有一个公 共点 、两 个公 共 点、 三个 公共 点时 k 的相 应取 值范 围【解析】（）设点(x, y)M, 依题意得MF1x，即22(x 1)1yx化简整理得22()xyx22532.39xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用故点的轨迹C的方程为24 ,00,0 x xyx。（）在点M 的轨迹 C 中，记212:4 ,: y0(x0)Cyx C依题意，可设直线l 的方程为1(x2)yk由方程组21(x2)4ykyx，可得244(2 k 1)0kyy（1）当0k时，此时1y，把1y带入轨迹 C 的方程，得14x故此时直线:1ly与轨迹 C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k时，方程的判别式216(2 kk1)设直线 l 与x轴的交点为0(,0)x，则由1(x2)yk，令y0，得021kxk（）若000 x，由解得1k，或12k。即当1k(, 1)(,)2时，直线 l 与1C没有公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l 与轨迹 C恰好有一个公共点。（）若000 x或000 x由解得1 1, 2k，或102k。即当11,2k时，直线 l 与1C没有公共点，与2C有一个公共点，当1k,0)2时，直线 l 与1C只有两个公共点，与2C没有公共点故当11k,0) 1, 22时，直线 l 与轨迹 C恰好有两个公共点。（）若000 x由解得112k，或102k即当11k( 1,)(0,)22时，直线 l 与1C有两个公共点，与2C有一个公共点故此时直线l 与轨迹 C恰好有三个公共点。综合（ 1） （2）可知，当1k(, 1)(,)02时，直线 l 与轨迹 C恰好有一个公共点；当11k,0)1, 22时，直线 l 与轨迹 C恰好有两个公共点；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用当11k( 1,)(0,)22时，直线 l 与轨迹 C恰好有三个公共点。7.(2014 湖北高考文科 T13)( 本小题满分14 分)在平面直角坐标系xOy 中,点 M 到点F(1,0) 的距离比它到y 轴的距离多1.记点 M 的轨迹为C.(1)求轨迹 C 的方程 .(2)设斜率为k 的直线 l 过定点 P(-2,1). 求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.【解题指南】(1)设出 M 点的坐标 ,直接由题意列等式,整理后即可得到M 的轨迹 C 的方程.(2)设出直线l 的方程为 y-1=k(x+2), 和(1) 中的轨迹方程联立化为关于y 的一元二次方程,求出判别式 ,再在直线y-1=k(x+2) 中取 y=0 得到 x0=-21kk,然后分判别式小于0、 等于 0、大于 0 结合 x00 求解使直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.【解析】 (1) 设点 M(x,y), 依题意得 |MF|=|x|+1,即22(1)| 1xyx,化简整理得y2=2(|x|+x).故点 M 的轨迹 C 的方程为y2=4 ,0,0,0.xxx(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y=0(x0).依题意 ,可设直线l 的方程为y-1=k(x+2).由方程组21(2),4 ,yk xyx可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.当 k=0 时,此时 y=1. 把 y=1 代入轨迹C 的方程 ,得 x=14.故此时直线l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点1(,1)4.当 k 0 时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用设直线 l 与 x 轴的交点为 (x0,0), 则由 y-1=k(x+2), 令 y=0, 得 x0=-21kk.( )若00,0,x由解得k12.即当 k (- ,-1) 1(,)2 0 时,直线 l 与 C1没有公共点 ,与 C2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.( )若00,0,x或00,0,x由解得k1 1,2,或-12 k0.即当 k11,2时,直线 l 与 C1只有一个公共点,与 C2有一个公共点.当1, 0)2k时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2没有公共点 .故当 k1, 0)21 1,2时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.( )若00,0,x由解得 -1k-12,或 0k12.即当 k1(1,)21(0,)2时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.综合 (1)(2) 可知 ,当 k (- ,-1) 1(,)2 0 时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当 k1, 0)21 1,2时 ,直线 l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当 k1( 1,)21(0,)2时,直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.8.（2014湖南高考理科21）（本小题满分13 分）如图， O为坐标原点，椭圆22122:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为1e；双曲线22222:1xyCab的左、右焦点分别为34,FF，离心率为2e已知1 23,2e e且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用24|31.F F（1）求12,CC的方程；（2）过1F作1C的不垂直于y轴的弦 AB 的中点当直线OM 与2C交于,P Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值【解题提示】（1）利用离心率公式和cba,的关系解方程组就可解；（2）联立方程组，求得弦长AB，及 P,Q 到 AB的距离，列得面积的函数，再求最小值。【解析】 (1) 由题意可得2212221,1bbeeaa, 且22122F Fab , 因为1 232ee, 且222224F Fabab , 所以43112222abab且222231abab，解得2, 1,2abba，所以椭圆1C方程为2212xy, 双曲线2C的方程为2212xy. (2) 由(1) 可得21,0F, 因为直线AB 不垂直于y 轴, 所以设直线AB 的方程为1xny, 联立直线与椭圆方程可得222210nyny, 则222ABnyyn, 则22nnyM，因为 AB 为焦点弦 , 所以根据焦点弦弦长公式可得21222222222221nnxxAB, 因为,MMMxy在直线 AB上, 所以2222122Mnxnn, 即2,2222nnnM. 则直线PQ的方程为2MMynyxyxx, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用联立方程组12222yxxny，消去 y 整理得，,2422nx,2222nny设点PPyxP,QQyxQ, 则点 P ,Q到直线 AB的距离之和为221111nnyxnnyxhQQPP, 因为 P ,Q在直线 AB的两侧，且关于原点对称，所以011QQPPnyxnyx，且QPQPyyxx, 所以221111nnyxnnyxhQQPP2111nnyxnyxQQPP2122nnyxPP2222221222122222nnnnnnnn，所以四边形APBQ的面积为22222223122122221222121nnnnnnhABS因为2202n，故当0n时，2m inS。综上所述，四边形APBQ的面积的最小值为2. 9. （2014上海高考文科 22）在平面直角坐标系xoy中，对于直线 l ：0axbyc和点111222(,),(,),P xyPxy记1122)().axbyc axbyc（若0，则称点21, PP被直线 l 分隔。若曲线 C与直线 l 没有公共点， 且曲线 C上存在点21PP，被直线 l 分隔， 则称直线 l 为曲线 C的一条分隔线. 求证：点），（），（012, 1BA被直线01yx分隔；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用若直线kxy是曲线1422yx的分隔线，求实数k 的取值范围；动点 M到点）（2,0Q的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M的轨迹为E，求 E的方程，并证明 y 轴为曲线E 的分隔线 . 【解题指南】1222(1)41.(3).PPykxxyE根据点，被直线分隔的定义可证得.(2) 根据曲线分隔线的定义，若与没有交点，则直线为曲线的分隔线首先根据定义求出曲线 的方程，再根据曲线分隔线的定义来判断【解析】2222222222(1)1,2-1,01,1+2-1-1-1=-40(1,2),( 1,0)1041(2),(1 4)1,11-0,22(3)( , ),(2)1,(2) )1(1)0,xyABxyxykxykxkkM x yxyxExyxx将（），（）分别代入得：（） （）点被直线分隔；联立得依题意，方程无解1 4k或设则故曲线的方程为（y轴为显然与12(12),( 12)0,=1-10,0PPExx方程（1）联立无解，又，为 上两点，且代入有（ ）是一条分隔线；10 和点111222(,),(,),P xyPxy记1122)().axbyc axbyc（若0，则称点21,PP被直线 l分隔。若曲线C与直线 l 没有公共点，且曲线C上存在点21PP，被直线 l 分隔，则称直线l 为曲线 C的一条分隔线. 求证：点），（），（012, 1BA被直线01yx分隔；若直线kxy是曲线1422yx的分隔线，求实数k 的取值范围；动点 M到点）（2,0Q的距离与到y 轴的距离之积为1，设点 M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线 . 【解题指南】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用1222(1)41.(3)0.PPykxxyEx根据点，被直线分隔的定义可证得.(2) 根据曲线分隔线的定义，若与没有交点，则直线为曲线的分隔线首先根据定义求出曲线的方程，再对要求直线分类讨论，若直线斜率不存在，易得是一条分隔线，若斜率存在，根据零点存在定理可得直线与曲线始终有公共点，不符合要求，所以舍去【解析】2222222222(1)1,2-1,01,1+2-1-1-1=-40(1,2),( 1,0)1041(2),(14)1,11-0,22(3)( , ),(2)1,(2) )1(1)xyABxyxykxykxkkM x yxyxExyx将（），（）分别代入得：（）（）点被直线分隔；联立得依题意，方程无解1 4k或设则故曲线的方程为（当斜率不存在时，直线122432243222220,1(12),( 1 2)0,=1-10,0,1)4410( )(1)4(41),(0)1,(1)143(2) ,( 1)143(2)xPPExxykxxkxxf xxkxxffkkkfkkkk为显然与方程（）联立无解，又， 为上两点，且代入有（ ）是一条分隔线；当斜率存在时，设直线为代入方程，得：（k令k则：当2(1)0,(0)(1)0,( )00,1=2(0)(-1)0,( )0-0ffff xykxEkfffxykxEykxE时，故即在（）之间存在实根与曲线有公共点当时，即在（ 1，）之间存在实根与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点，故不是分隔线综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线x=0是E的分隔线 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -