2022年期望方差公式的证明全集 .pdf

1 期望与方差的相关公式的证明- 、数学期望的来由早在 17 世纪， 有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100 法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100 法郎才比较公平？用概率论的知识， 不难得知， 甲获胜的概率为 1/2+(1/2)*(1/2)=3/4 ，或者分析乙获胜的概率为 (1/2)*(1/2) 1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25 法郎。这个故事里出现了 “ 期望” 这个词，数学期望由此而来。定义 1若离散型随机变量可能取值为ia（i=1， 2， 3 ， ） ， 其分布列为ip（i=1，2， 3， ） ， 则当iiipa1时，则称存在数学期望， 并且数学期望为 E =1iiipa，如果iiipa1=，则数学期望不存在。1定义 2 期望：若离散型随机变量， 当=xi的概率为 P （=xi） =Pi（i=1， 2， ，n，） ，则称 E=xi pi为的数学期望，反映了的平均值 . 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定 . 二、数学期望的性质（1）设C是常数，则 E(C)=C。（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。（3）)E(X)E(X)XE(X2121。三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。定义 3 方差：称 D=（xiE）2pi为随机变量的均方差，简称方差 .D叫标准差，反映了的离散程度 .定义 4 设随机变量 X的数学期望)(XE存在，若)(2XEXE存在，则称)(2XEXE为随机变量 X的方差，记作)(XD，即)()(2XEXEXD。方差的算术平方根)(XD称为随机变量 X的标准差，记作)(X，即)()(XDX由于)(X与 X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。D表示对 E的平均偏离程度， D越大表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散 . 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(XD=0，则随机变量 X 以概率 1 取常数值。由定义 4 知，方差是随机变量X的函数2)()(XEXXg的数学期望，故连续时当离散时当XdxxfXExpXExXDkkkk,)()(X,)()(212当 X离散时 , X的概率函数为,2, 1,)()(kPxXPxPKKk；当 X连续时， X的密度函数为)(xf。求证方差的一个简单公式：公式 1：22)()()(XEXEXD证明一：22222)()()()(2)()(XEXExEXXEXEXEXEXD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 证明二：21()niiiDxEp22122111222222() 2()2()()()niiiinnniiiiiiiixx EEpx pEx pEpEEEEE22()DEE可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质（1）设C是常数 , 则D(C)=0。（2）若C是常数 , 则)()(2XDCCXD。（3）若X与Y独立，则公式 2：)()()(YDXDYXD。证 由数学期望的性质及求方差的公式得)()()()()()()()(2)()()()(2)()()()(2)()()(2222222222222YDXDYEYEXEXEYEXEYEXEYEXEYEXEYExEXYYXEYXEYXEYXD可推广为：若1X,2X，nX相互独立，则niiniiXDXD11)(niiiniiiXDCXCD121)(（4）D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C =E(X)。五、常见的期望和方差公式的推导过程（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 1由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）pi0，i1，2，；（2）p1p2 1。2离散型随机变量期望和方差的性质：E (a b)aE b，D (a b)a2 D。（1）公式 3：E（a+b）=aE+b，证明：令ab,a b为常数也为随机变量()()iiP axbPx1,2,3.i所以的分布列为1axb2axbnaxbp1p2pnp1122()().()nnEaxb paxb paxb p=112212(.)(.)nnna x px px pb pppE=aEb()E abaEb说明随机变量的线性函数ab的期望等于随机变量期望的线性函数（2）公式 4：D（a+b）=a2D（a、b 为常数） .证法一：因为21()niiiDxEp22122111222222() 2()2()()()niiiinnniiiiiiiixx EEpx pEx pEpEEEEE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 22()DEE所以有：222211()()()nniiiiiiD abaxbaEbpaxEpa D证毕证法二： D=222221111()2()()nnnniiiiiiiiiiixEpx pEx pEpEE. E(ab)aEb， D( a+b)=a2D222211()()()nniiiiiiD abaxbaEbpaxEpa D（二）二项分布公式列举及证明1 二项分布定义：若随机变量的分布列为：P ( k)Cnkpk qn-k。（k0， 1， 2， ，n，0p1，q1p，则称服从二项分布，记作B (n，p)，其中 n、 p 为参数，并记 Cnkpk qn-k=b(k；n，p)。2对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：（1）P ( k)Cnkpkqn-k0，k0，1，2， n；（2）nk 0P ( k)nk0Cnk pk qn-k(pq) n1。二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。3服从二项分布的随机变量的期望与方差公式：若B（n，p） ，则 E=np，D=npq（q=1p）. （3）公式 5：求证：E=np方法一：在独立重复实验中， 某结果发生的概率均为p（不发生的概率为q， 有1pq） ，那么在n次实验中该结果发生的次数的概率分布为0123.1nn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 P0nnC q11nnC pq222nnC p q333nnC p q.11nnnCpqnnnC p服从二项分布的随机变量的期望Enp.证明如下：预备公式11kknnkcnc100110220211(1) ()11011111()(.)nnnnkknnknnnnnnnpqcp qcp qcp qcpqcpq因为()(1),kkn kkkn knnpkc ppc p q所以001112220012.nnnkkn knnnnnnnEc p qc p qc p qkc p qnc p q=00110220211(1) ()11011111(.)nnnkknn knnnnnnnnp cp qcp qcp qcpqcpq=1()nnp pqnp所以E= np得证方法二：证明： 若),(pnBX，则 X 表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n 则12.nXXXX，因为PXPi)1(，qPXPi1)0(所以ppqXEi10)(，则)(XEnpXEXEniinii11)(可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。公式 621212(1)kkknnnk CnCn nC211kknnk CknC1111111212(1)1(1)(1)knkknnkknnn kCnCn kCnCn nC21212(1)kkknnnk CnCn nC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 求证：服从二项分布的随机变量的方差公式 7：D=npq（q=1p）. 方法一：证明：220niin iniEi C p q111212221110122211212111221122(1)(1)()(1)()(1)nnniin iiininnniinnniin iniin innniinnnnnnC pqnCp qn nCp qnpqnpCpqnpCqn npCpqnpqnp pqnpqn nppqnpqnpnpqn npnpn p222222(1)npnppn pnpqn p由公式 1 知22()DEE222()npqn pnpnpq方法二：设( ,)B n p, 则 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01 i=1,2，n 则1nii是n次试验中“成功”的次数，()01iEqpp，故222()()()(1)iiiDEEpppp，1,2,inL由于12,.,n相互独立，于是1( )()niiDD= np(1- p)。（三） 几何分布的期望与方差的公式列举及证明1定义 5：几何分布 （Geometric distribution ）是离散型概率分布。定义 6：在第 n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。n 次伯努利试验， 前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。1()(1)kP Xkpp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 若Pkqpk()1，则（1）Ep1， （2）Dpp12。求证： （1）几何分布的期望公式 8：Ep1，若某射击手击中目标的概率为P，求证：从射击开始到击中目标所需次数的期望Ep1证明：依题意分布列为1 2 3 KPP)1 (PP2)1 (PP1)1 (KPP由Pkqpk()1，知2112 (1)3 (1).(1).KEPPPPPKPP212123.(123.)kkEppqq pkqpqqkqp下面用错位相减法求上式括号内的值。记21123.kkSqqkq212.(1)kkkqSqqkqkq两式相减，得21(1)1.kkkq SqqqkqSqqkqqkkk1112()由01p，知01q，则0limkkq及0limkkkq（可用 LHospital 法则证明）故212211123.lim(1)kkkpqkqSqp，所以Ep1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 求证： （2）()( ,)pkg k p几何分布的方差公式 9：Dpp122qp证明：利用导数公式()xnxnn 1，推导如下：21123.kxxkx2323()().().(.)kkxxxxxxxx()()()()()xxxxxx1111122上式中令xq，则得212211123.(1)kqqkqqp（2）为简化运算，利用性质DEE22()来推导。22222123.kEpqpq pk qp22221(123.)kpqqk q对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k qkqkk21()，并用倍差法求和，有22221123.kqqk q23(23.)kqqqkq()()()()()()qqqq qqqqqqpp112 11111122242433则Eppppp23222()，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 因此DEEppppp22222211()()证明二: 22111111()(1)kkkKkkEk pqpk kqkq=1()knkqpqE=322121(1)pqpppppDEEppppp22222211()()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -