2022年2022年鸡兔同笼问题的解法集锦 .pdf

1 鸡兔同笼问题的解法集锦鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。那是已知鸡兔的总头数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类典型应用题（本博前面曾多次介绍，为便于阅读在本文最后加了链接，有兴趣可点击查看）。它的题型虽然固定，但解题思路方法却多种多样，如假设法、削补法、转化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等，且解法还在不断创新。下面举一例给出几种解法供参考。例：鸡兔同笼，上有40 个头，下有 100 只足。鸡兔各有多少只？1、极端假设解法一：假设 40 个头都是鸡， 那么应有足 2 40=80（只），比实际少 100-80=20（只）。这是把兔看作鸡的缘故。 而把一只兔看成一只鸡， 足数就会少 4-2=2（只）。 因此兔有 20 2=10（只），鸡有 40-10=30 （只）。解法二：假设 40 个头都是兔，那么应有足 4 40=160（只）， 比实际多 160-100=60（只）。这是把鸡看作兔的缘故。 而把一只鸡看成一只兔， 足数就会多 4-2=2（只）。 因此鸡有 60 2=30（只），兔有 40-30=10 （只）。解法三：假设 100 只足都是鸡足，那么应有头 1002=50 （个）， 比实际多 50-40=10（个）。把兔足看作鸡足，兔的只数（头数）就会扩大4 2 倍，即兔的只数增加（ 4 2-1）倍。因此兔有 10 （4 2-1）=10（只），鸡有 40-10=30 （只）。解法四：假设 100 只足都是兔足，那么应有头 1004=25 （个）， 比实际少 40-25=15（个）。把鸡足看作兔足，鸡的只数（头数）就会缩小4 2 倍，即鸡的只数减少1-1 （2 4）=1/2。因此鸡有 15 1/2=30 （只），兔有 40-30=10 （只）。2、任意假设解法五：假设 40 个头中，鸡有 12 个（0 至 40 中的任意整数） ，则兔有 40-12=28（个），那么它们一共有足2 12+428=136（只），比实际多136-100=36 （只）。这说明有一部分鸡看作兔了，而把一只鸡看成一只兔，足数就会多4-2=2（只），因此把鸡看成兔的只数是36 2=18（只）。那么鸡实际有12+18=30 （只），兔实际有28-18=10 （只）。解法六：假设 100 只足中，有鸡足 80 只（0 至 100 中的任意整数，最好是2 的倍数），则兔足有 100-80=20 （只），那么它们一共有头80 2+204=45（个），比实际多45-40=5（个）。这说明把一部分兔足看作鸡足了，而把兔足看成鸡足，兔的只数（头数）就会增加名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 （4 2-1）倍。因此把兔看作鸡的只数是5 （4 2-1）=5（只），那么兔实际有20 4+5=10（只），鸡实际有40-10=30 （只）。通过比较可知：任意假设是极端假设的一般形式，而极端假设是任意假设的特殊形式，也是简便解法。3、除减法解法七：用脚的总数除以2，也就是 1002=50（只）。这里我们可以设想为，每只鸡都是一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。这样在50 这个数里， 鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从 50 减去总头数 40，剩下的就是兔子头数 10 只。有 10 只兔子当然鸡就有30 只。这种解法就是孙子算经中记载的：做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！ 4、盈亏法解法八：把总足数100 看作标准数。假设鸡有25 只，兔则有 40-25=15 （只），那么它们有足 2 25+415=110 （只），比标准数盈余110-100=10 （只）；再假设鸡有32 只，兔则有 40-32=8（只），那么它们有足2 32+48=96（只），比标准数不足100-96=4 （只）。根据盈不足术公式，可以求出鸡的只数。即鸡有（25 4+3210） （4+10）=30（只），兔则有 40-30=10 （只）。5、比例分配解法九： 40 个头一共 100 只足，平均每个头有足10040=2.5（只）。而一只鸡比平均数少（ 2.5-2 ）只足，一只兔比平均数多（4-2.5）只足。根据平均问题的 “ 移多补少 ” 思想：超出总数等于不足总数，故知：（2.5-2） 鸡的只数 =（4-2.5 ） 兔的只数。因此，鸡的只数兔的只数 =（4-2.5）（ 2.5-2）=1.50.5=31 按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。即鸡有 40 3/（3+1）=30（只），而兔则有 40 1/（3+1）=10（只）。6、布列方程解法十：设鸡有x 只，那么兔有（ 40-x）只。根据题意列方程：2x+4（40-x）=100 解这个方程得： x=30 40-x=40-30=10那么鸡有 30 只，兔有 10 只。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 鸡兔的头数关系除了 “ 和” 的形式外，还可以把 “ 差” 和“ 倍数” 作为已知条件。同样，鸡兔的足数关系除了 “ 和” 的形式外，也可以把 “ 差” 和“ 倍数” 作为已知条件。如果把鸡兔头数关系的三种条件与足数关系的三种条件交叉组合，除了上面的例题，还可以形成以下变式练习题。1、鸡兔同笼，它们一共有100 只，而鸡足比兔足多80 只。鸡兔各有多少只？2、鸡兔同笼，它们一共有84 只，而鸡足是兔足的3 倍。鸡兔各有多少只？3、鸡兔同笼，鸡比兔多26 只，它们一共有 274 只足。鸡兔各有多少只？4、鸡兔同笼，鸡比兔多3 只，兔比鸡多 28 只足。鸡兔各有多少只？5、鸡兔同笼，鸡比兔少10 只，兔足是鸡足的3 倍。鸡兔各有多少只？6、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3 倍，它们一共有 120 只足。鸡兔各有多少只？7、鸡兔同笼，鸡的只数是兔的3 倍，鸡足比兔足多120 只。鸡兔各有多少只？8、鸡兔同笼，鸡比兔的3 倍多 6 只，鸡足比兔足的 2 倍少 24 只。鸡兔各有多少只？附：鸡兔同笼变式题组的参考答案以上题组，每道题都有多种解法。下面提供的仅仅是参考答案，其思想方法，还需要读者作进一步的探讨明晰。1、解一：（ 2 100-80 ） （4+2）=20（只） -（兔）解二：（ 4 100+80 ） （4+2）=80（只）-（鸡）解三：（ 100-802） （4 2+1）=20（只） -（兔）解四：（ 100+804） （4 2+1）-80 4=20（只） -（兔）2、解一： 84 （4 3 2+1）=12（只） -（兔）解二： 2 84 （4 3+2）=12（只）-（兔）3、解一：（ 274-2 26） （4+2）=37（只） -（兔）解二：（ 274+426） （4+2）=63（只） -（鸡）解三：（ 274 2-26） （4 2+1）=37（只）-（兔）4、解一：（ 28+2 3） （4-2）=17（只） -（兔）解二：（ 28+4 3） （4-2）=20（只） -（鸡）解三：（ 3+28 2） （4 2-1）=17（只） -（兔）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 解四：（ 3+28 4） （1-2 4）=20（只） -（鸡）5、解一： 10 （2 3 4-1）=20（只） -（鸡）解二： 4 10 （3-2） 2=20（只） -（鸡）6、解一： 120 （4+2 3）=12（只） -（兔）解二： 120 （2 3 4+1） 4=12（只） -（兔）7、解一： 120 （2 3-4）=60（只） -（兔）解二： 1202 （3-2）=60（只） -（兔）解三： 1204 3 （3-2）-120 4=60（只） -（兔）8、解一：（ 24 2+6） （2 2-3）=18（只） -（兔）解二：（ 6 2+24） （2-3 2） 4=18（只） -（兔）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -