2022年求解积分因子的方法整理 .pdf

求解积分因子的方法整理一、恰当微分方程与积分因子1、对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 （1）其左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y) 则称方程（ 1）为恰当微分方程。容易得到方程（1）的通解为u(x,y)=c (这里的 c 为任意常数 )。可是若（ 1）不是恰当微分方程，如果存在连续可微的函数u=u(x,y) 0,使得u(x,y)M(x,y)dx+u(x,y)N(x,y)dy=0为恰当微分方程， 则称 u(x,y)为方程（1）的积分因子。2、恰当微分方程的判定对于一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 它为恰当微分方程的必要条件为：二、几种常见的积分因子的类型及求法1、存在只与 x 有关的积分因子（1）充要条件：( )MNyxxN（2）形式： u=( )x dxe2、存在只与 y 有关的积分因子名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - （1）充要条件：()MNyxyM（2）形式：()y dye这里的( ). ()xy分别是只关于x、y 的函数。3、方程（ 1）有形如 u(x,y)=F(x,y)的积分因子，充要条件：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4、方程（ 1）有形如 up(x)+f(x)g(y)+q(y) 的积分因子，充要条件：它的积分因子为：5、方程（ 1）有形如 uf(x)g(y)+q(y) 的积分因子，充要条件：它的积分因子为：6、方程（1）有形如的积分因子，充要条件：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 其中7、方程（ 1）有形如的积分因子，充要条件：它的积分因子为：8、方程有形如的积分因子，充要条件：它的积分因子为：其中这里的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 结束语：对于一阶微分方程， 不同的形式有不同的积分因子，积分银子一般不会太容易求得， 很多时候需要根据方程的特点进行判断，以上的一些情况是参考了一些文献后，整理而得到的一些特殊情况，对求解一些特殊方程有很大的帮助。参考文献：1、张新丽、王建新.一类积分因子存在的充要条件.科学与技术工程.第 11卷.第 16 期.2011.6 2、 陈星海等 .三类复合型积分因子的充要条件及其应用.湖南师范学院学报 .第 32 卷.第 2期.2010.4 3、高正晖 .一阶微分方程三类积分因子的计算.衡阳师范学院学报.2002 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -