2022年2022年集合的概念 2.pdf
第二讲集合的概念（ 2012-7-9）例 1 设集合 A 的元素都是正整数，满足如下条件：（1） A 的元素个数不小于3；（2）若Aa，则a的所有因数都属于A；（3）若Aa，Ab，ba1，则Aab1请解答下面的问题：（1）证明： 1,2,3,4,5 都是集合 A 的元素；（2）问： 2005,2012 是否是集合A 的元素例 2 设 T 是由10060得所有正因数组成的我集合，S 是 T 的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求Card(S)的最大值（ Card(S)表示有限集合M 所含元素的个数） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例3 对于集合M ，定义函数1,( )1,.MxMfxxM对于两个集合M ， N，定义集合( )( )1MNMNx fxfx. 已知2,4,6,8,10A=，1,2,4,8,16B =. （）写出(1)Af和(1)Bf的值，并用列举法写出集合A B；（）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card XACardXB的最小值；（）有多少个集合对（P，Q） ，满足,P QAB，且() ()P AQ BA B？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例 4 若集合A具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax1. 则称集合A是“好集” . （）分别判断集合1,0,1B =-，有理数集Q是否是“好集” ，并说明理由；（）设集合A是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p：若Ayx,，则必有Axy；命题q：若Ayx,，且0 x，则必有Axy；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 例3 对于集合M ，定义函数1,( )1,.MxMfxxM对于两个集合M， N，定义集合( )( )1MNMNx fxfx. 已知2,4,6,8,10A=，1,2,4,8,16B =. （）写出(1)Af和(1)Bf的值，并用列举法写出集合A B；（）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card XACardXB的最小值；（）有多少个集合对（P，Q） ，满足,P QAB，且() ()P AQ BA B？解： （）(1)=1Af，(1)= 1Bf-，1,6,10,16A B. ,3 分（ ） 根 据 题 意 可 知 ： 对 于 集 合,C X， 若aC?且aX?， 则( )()C a r dCXaC a r dCX；若aC?且aX?，则()CardCXaCardCX. 所以要使()()Card XACard XB的值最小， 2，4，8 一定属于集合X；1， 6，10，16 是否属于X不影响()()Card XACard XB的值；集合X不能含有AB之外的元素 .所以当X为集合 1,6,10,16 的子集与集合 2,4,8 的并集时，()()Card XACard XB取到最小值4. ,8分（）因为( )( )1 ABA Bx fxfx，所以A BBA. 由定义可知：( )( )( )A BABfxfxfx. 所以对任意元素x，()( )( )( )( )( )( )A BCA BCABCfxfxfxfxfxfx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - ()( )( )( )( )( )( )AB CAB CABCfxfxfxfxfxfx. 所以()()( )( )A BCAB Cfxfx. 所以()()A BCAB C. 由() ()P AQ BA B知：() ()PQA BA B. 所以()() ()()()P QA BA BA BA B. 所以P Q. 所以P Q，即PQ=. 因为,P QAB，所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为72128.,14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - （20） （本小题满分14 分）若集合A具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax1. 则称集合A是“好集” . （）分别判断集合1,0,1B =-，有理数集Q是否是“好集” ，并说明理由；（）设集合A是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p：若Ayx,，则必有Axy；命题q：若Ayx,，且0 x，则必有Axy；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 作业：1已知xA, 3 , 1，2, 1 xB，且xBA, 3 , 1，求x的值2 已 知X是 方 程02qpxx的 实 数 解 集 ，10,7, 4, 1,9 ,7 ,5 , 3, 1BA， 且AX,XBX，求qp,的值3已知集合2),(axyyxA，1),(xyyxB，且BA是一个单元素集，求实数a的取值范围4在集合50,2 , 1的子集 S 中，任意两个元素的平方和不是7 的倍数，求Card(S)的最大值5 M 是正整数集的子集，满足：MMM2007,2006,1，并且有如下性质：若Mba,，则Mba222，求 M 有多少非空子集？6设 S1，S2，S3,，是三个由整数组成的非空集，已知对于1,2,3 的任意的一个排列kji,，如果jiSySx,，则kSyx，证明： S1，S2，S3中必有两个集合相等7已知集合1),(yaxyxA，1),(ayxyxB，1),(22yxyxC，则（1）当a去何值时，CBA)(是一个 2 元素集；（2）当a去何值时，CBA)(是一个 3 元素集8设集合54321,aaaaaA，2524232221,aaaaaB，其中)51(iai都是正整数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 且54321aaaaa，1041aa，并且满足41,aaBA，BA中所有数之和为 224，求集合A9考虑集合2000,2 , 1满足下述条件的子集A，A 中没有一个数是另一个数的5 倍，求 Card(A)的最大值10已知一族集合nAAA,21具有性质：（1）每个iA含有 30 个元素；（2）对每一对ji,：nji1，jiAA都是单元素集；（3）nAAA21求使这样的集合族存在的最大的正整数n11已知2000,2 , 1A，且 A 中任意两个数之差的绝对值不等于4 或 7，求 Card(A)的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 测试题1已知集合*2, 1NaaxxA，*2,106NbbbyyB，确定集合A和B之间的关系2已知RyxyxI,),(，23),(xyyxA，324),(xyyxB， 求BA及BACI3已知集合*,101NxxxS，对它的任一非空子集A，可以将 A 中的每一个元素k， 都 乘 以k)1(在 求 和 （ 例 如 ，8, 3 ,2A， 则 可 求 得 和 为78) 1(3)1(2)1(832） 对 S 的所有非空子集，求这些和的总和4设*22,NyxyxnnM，求证：M2006，并求 M 中，从小到大的第2006个正整数的大小5设*22,NyxyxnnM，求证：M1999，并且对任意正整数k，均有Mk19996设kAAA,21是集合10,2 , 1X的不同子集，它们两辆的交集都不是空集，而名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - X的其他子集不能与kAAA,21中每一个的交集都是非空集合，求k的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -
