2022年抽象函数 .pdf

商中数学知识专题系列抽象函数（函数方程）抽象函数是指没有明确表达式但有运算规律及函数性质的函数。解决抽象函数问题，主要采取“赋值法” （取点或字母）整体迭代法，但核心是方法的发现，要掌握好抽象函数就必须有强烈目标意识、清晰的解题思路。、选择题1、 已知)(xf满足0)0(f，对任意Rxx21,都有：)2()2(2)()(212121xxfxxfxfxf则)(xf为（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、奇偶性不确定解： 令)(01)0(),0(2)0(2:,0221舍去或得fffxx令)(2)()0(2)()(:,21xfxffxfxfxxxx得)(),()(xfxfxf是偶函数（或取xxfcos)(符合条件）选 B 2、已知)(xf对任意yx,有)2008(,0) 1(),(2)()(22ffyfxfyxf则且（）A、2008 B、2006 C、1004 D、1003 解： 令:, 1, 0,0)0(:, 0得再令得yxfyx) 1(2) 1(2ff，)(021)1 (舍去或f又令1y得：21)()1(xfxf10041004)0()2008(ff选 C 3、函数)(xf是定义在R上的奇函数， 且0)2(f对任意x都有)4()()4(fxfxf，那么)2008(f等于 ( ) A、3996 B、1998 C、2000 D、0 解：:,2,0)2()2(,)(得令为奇函数xffxf)4()2()2(fff0)4(f)()4(xfxf0)0()2008(ff（奇函数)(xf有0)0(f）选 D 4 、 已 知 定 义 在R上 的 函 数)(xf满 足 条 件)()()()(212133xfxfxxxfxf时有且当则)1()1()0(fff（）A、0 B、1 C、1D、2 解 ： 令)1 (),1(),0(,0, 1, 1)(:1 , 1, 0:1 , 1, 0fffxfxx又时有可得两 两不 等，00)1(1)1()1 ()0(fff选 A 5、已知函数)(xf与)(xg都要存在反函数，且)1(xf与)2(1xg的图象关于直线xy对称，若：)6(,2004)5(fg则（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - A、2004 B、2005 C、2006 D、2007 解法一：xyxgy关于)2(1得：) 1(2)(xfxgy与重合2)()1(xgxf20062)5()6(gf解法二：2004)5(g)2004, 5(点在)(xg图象上，从而有点)5 ,2004(在)(xg图象上)2004,5(在)1(xf图象上)2006,6(在)(xf图象上，即有2006)6(f选 C 6、函数)(xf是在),0(上有定义的增函数，满足)1(,11)()(fxxffxf则（）A、1 B、0 C、251D、251解：ttftftxtf1)1(,1) 1(:, 1,)1 (即得令设再令)1()111(,1)111(1:,1ftttfttfttx得251,1111)(tttxf得为单调增函数若ttfftt1)1()1(251与矛盾，251t选 D 、填空题7、已知)(xf满足) 12()()(, 1)0(babafbaff，则)(xf的解析式为 _ 解： 令1)(:,02xxxfxba得8、已知)(xf是定义在非负整数集上的函数，且对任意正整数x都有：)1()1()(xfxfxf若)2004(,2004)0(ff则_ 解： 已知得)2()()1()1()1()(xfxfxfxfxfxf相加得：)2()1(xfxf)3()(tftf)6()(tftf)(xf周期为 6 2004)0()2004(ff（另解：看作数列.,:,)2(,)1(),(baabbaabbabfafnf则此数列为设周期为 6）9、若)(xf满足)2001(,1997) 1(),(1)(1 )2(ffxfxfxf则且有=_)2003(f_ 解：)(1)(1)2(xfxfxf)(1)(1)(11)(1)(11)4(xfxfxfxfxfxf)()8(xfxf1997)1()2001(ff99899919961998)2001(1)2001(1)2003(fff10、已知)(xf和)(xg在R上有定义，对任意Ryx,都有：)()()()()(yfxgygxfyxf成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 若) 1()1 (, 0)2()1 (ggff则_ 解：是奇函数对调得与)()(.)(xfyxfxyfyx，令1,1 yx得：) 1()1 ()1()1 ()2(fggff即：)1 () 1()1 ()2(ggff0)2() 1(ff1)1() 1(gg（取xxgxxf3cos)(,3sin)(符合题意）、解答题11、定义在 R 上的函数)(xf满足)()(2)()(yfxfyxfyxf，且0)0(f求证：1)0(f求证：)(xf是偶函数证明： 令1)0(0)0()0(2)0(2:02ffffyx得令)(2)()0(2)()(:0yfyffyfyfx得即)()(yfyf)(xf是偶函数12、已知)(xf是定义在 R 上的函数， 当)()()(:, 1)(,0bfafbafbaxfx都有对任意实数时 证明：对0)(,xfRx恒有 证明：)(xf是 R 上的增函数证明： 令1)0(1) 1()0()1 ()1 (:0, 1fffffba得（ 1）设1)()()()0(1)(, 00 xfxfxxffxfxx则)(1)(xfxf)1 ,0()(1)(xfxf（ 2）结合已知与（ 1） 、 （2）知对Rx都有0)(xf（另证： 设无解只须证则0)(:,0)2()22()(,2xfxfxxfxfRx。反证：设存在tx使0)(tf，则有：0)()1 ()1 ()1 (tftfttff与1) 1(f矛盾。）设1)(0,212121xxfxxxx则，且由知)(2xf为正数，)()()()()(22212211xfxfxxfxxxfxf上的增函数是Rxf)(13、设)(xf是定义在),0(上的函数，对任意正数yx,都有：)()()(yfxfyxf、求证：0)1(f、若1x时，有)(xf0，求证)(xf在R上是增函数证明： 令0) 1(, 1fyx得设0)(1, 0212121xxfxxxx则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - )()()()()(22212211xfxfxxfxxxfxf)(xf在R上是增函数14、函数)(xf满足对任意yx,有)()()(yfxfyxf，且)()()(yfxfyxf当yx时)()(yfxf、求证：若0)(,0 xfx则、求证：)(xf是增函数证明：令0)()()(0, 0)()0()(,00)0(02xfxxfxfxxffxfxfyx则若时当得设0)(, 0212121xxfxxxx则)()()()()(22212211xfxfxxfxxxfxf)(xf是R上的增函数以上例题常见于各种考试中，它是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等最常见的模型。请同学们熟记！15、设正函数)(xf满足下列四条件：1)21(f值域为1 , 1单调递减函数 对 定 义 域 内 任意yx,有)()()(yfxfyxf（1） 、求证：41不在)(xf的定义域内(2)、求不等式21)11()(11xfxf的解集证明：（1）反证法：设41在)(xf的定义域内，则)41(f有意义且 1 , 1)41(f另一方面由条件与得：2)21()21()2121()41(ffff 1 , 12，这与已知矛盾，假设不成立，即41不在)(xf的定义域内。解： （2） 由条件、知)(xf存在反函数)(1xfy且递减，定义域为 1 , 1)()()(:2112111xxfxfxf先证明设)()(212111xfyxfy则)()(2211yfxyfx)()()(212121yyfyfyfxx)(21121xxfyy)()()(2112111xxfxfxf)1()11(:11fxxf原不等式可化为，可得：1111111111111xxxxxx解得0 x 0|xx不等式的解集为16、已知定义在R 上的函数)(xf，对任意yx,均有：1)()()(yfxfyxf，且0)21(f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 当0)(,21xfx时（1）求证：)(xf是 R 上的增函数（2）解不等式：)()1()1(12axffxf，)0(a证明： （1）1)(,0:xfx时当先证若0)21(2121, 0 xfxx则01)21()(fxf1)(0)21(xff设1)(0,212121xxfxxxx则)(1)()()()(22212211xfxfxxfxxxfxf)(xf是 R 上的增函数。（2）不等式化为：axxxfaxfxf11,)()1 ()1(22是增函数01)1(122axaxx002221102)1(axaxxa若20120:1, 10aaxa的解为则与02取交得：2120aax若0, 1xa得若012:1, 120 xaaxa或的解为则1212aaa1212aaa2221aa21a与02取交得：0 x综上所述：当10a时，不等式的解集为12,02aa当1a时，不等式的解集为),017、设n为正整数，规定：fnnxfffxf个).(.)(，已知 :1)1(2)(xxxf2110 xx 解不等式：xxf)( 设集合2, 1 , 0A，对任意xxfAx)(:,3证明 探求)98(2003f的值 若集合2, 0,)(12xxxfxB，证明： B 中至少含有8 个元素解： xxxxxf)1(210)(或xxx121解得：232x)32)32(f且有 2)0()0(1ff，1)2()0(2ff，0)1 ()0(3ff0)1 (1f，2)0()1 (2ff，1)2() 1(3ff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1)2(1f，0) 1()2(2ff，2) 0()2(3ff综上所述有：xxfx)(,2, 1 , 03时 92)981(2)98(1f，914)921(2)92()98(2ff951914)914()98(3ff，98)951(2)95()98(4ff.92)98()98(5ff)98()98(4rrkff95)98()98(32003ff)(,95,914,92,98(4xxfx时且有 由知32)32(1f，32)32(12fB32，由知：xxfx)(,2 , 1 , 03时Bxxxf即,)(12由知当Bxxxfxxfx即时)()(,95,914,92,98124B 中至少含有8 个元素：95,914.92,98,2, 1 ,0,3218、已知)(xf在（1 , 1）上有意义，)1()()() 1 ,1(, 1)21(yxyxfyfxfyxf时有且满足 数列),(,12,21211nnnnnnnaxfaxxxxx求设满足的通项公式 设)20041()1(.)1()1()1(1, 1320023212fbfbfbfbfnnbn求解： 令)12()(2:,2nnnnxxfxfxyx得)()(21nnxfxf)(nnxfa2:211nnnnaaaa即又1)21()(11fxfa1是以na为首项 2为公比的等比数列12nna 令0)0()()(:,0)0(:,0fxfxfxyfyx得再令得，)1 , 1()(是xf上的奇函数，而)1)2()1(1()131()1(2nnfnnfbfn)2()1(11)2()1(1(nnnnf)21()11()21()11()211112111(nfnfnfnfnnnnf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - )20041()1(.)1()1()1(12002321fbfbfbfbf)20041()20041()20031(.)41()31()31()21(1fffffff0)21(1f19、设函数)(xf的定义域为R，对任意)2()2(2)()(:,yxfyxfyfxfyx都有，且21)3(f，0)2(f 求证：)()()(xfxfxf 若,0)(:,0)(,20在求证时xfxfx上是单调递减函数 求)(xf的最小正周期解： 证明：令)0()3(2)3(2:,3fffyx得1)0(,21)3(ff再令)()0(2)()(:xffxfxfxy得将)()(:,1)0(xfxff得代入又令)2()2(2)()(:,xffxfxfxy得)()(0)2(xfxff综上所述有 :)()()(xfxfxf 设0)()()2,0,02xfxfxx则结合已知得 :0)(,)2,2(xfx有时设)2,02:,02121xxxx则有,)2,2(221xx0)2(,0)2(2121xxfxxf0)2()2(2)()()()(21212121xxfxxfxfxfxfxf,0)(在xf上是单调递减函数由知)()(),()(tftfxfxf即有)()()2(tftftf)(2xf是的周期假设存在)0()(:0),()(),2, 0(fTfxxfTxfT得令使01若,0(T,由知)0()(fTf矛盾02若)0()2(),0(2),2,(fTfTT则但)0()2()()(fTfTfTf矛盾假设不成立)(2xf是的最小正周期名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -