2022年§正弦定理和余弦定理 .pdf

153 响水二中高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形主备人张灵芝总第 24 期5.4 正弦定理和余弦定理基础自测1. （2008陕西理， 3）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，若 c=2 ，b=6 ，B=120,则 a= . 答案22. （2008福建理， 10）在 ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若（ a2+c2- b2）tan B=3 ac，则角 B 的值为 . 答案3或323. 下列判断中不正确的结论的序号是 . ABC 中， a=7，b=14，A=30, 有两解 , ABC 中， a=30, b=25, A=150，有一解 ABC 中， a=6, b=9，A=45，有两解 , ABC 中， b=9,c=10, B=60, 无解答案4. 在 ABC 中， A=60， AB=5，BC=7，则 ABC 的面积为 . 答案 1035. （2008浙江理， 13）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c. 若（3 b- c）cosA=acosC，则 cosA= . 答案33例题精讲例 1 在 ABC 中，已知 a=3 , b=2 ,B=45, 求 A、C 和 c. 解B=45 90且 asin Bba, ABC 有两解 . 由正弦定理得sin A=bBasin=245sin3=23, 则 A 为 60或 120. 当 A=60时， C=180-( A+B)=75 , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 154 c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226. 当 A=120时， C=180-( A+B)=15 , c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226. 故在 ABC 中， A=60, C=75, c=226或 A=120, C=15, c=226. 例 2在 ABC 中， a、b、c 分别是角A，B，C 的对边，且CBcoscos=-cab2. （1）求角 B 的大小；（2）若 b=13 ，a+c=4，求 ABC 的面积 . 解（1）由余弦定理知：cosB=acbca2222， cos C=abcba2222. 将上式代入CBcoscos=-cab2得: acbca22222222cbaab=-cab2整理得 : a2+c2- b2=- accos B=acbca2222=acac2 =-21B 为三角形的内角，B=32. （2）将 b=13 , a+c=4, B=32代入 b2=a2+c2-2 accosB, 得 b2=(a+c)2-2 ac-2 accosBb2=16-2 ac211, ac=3. SABC=21acsin B=433. 例 3（14 分） ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 b2+c2- a2+bc=0. （1）求角 A 的大小；（2）若 a=3 ，求 bc 的最大值；（3）求cbCa)30sin(的值. 解（1） cosA=bcacb2222=bcbc2=-21, 又 A（ 0， 180） ， A=120（2）由 a=3 , 得 b2+c2=3- bc, 又 b2+c22bc（当且仅当c=b 时取等号），3- bc2bc( 当且仅当 c=b 时取等号） . 即当且仅当c=b=1 时， bc 取得最大值为1. （3）由正弦定理得：CcBbAasinsinsin2R, CRBRCARcbCasin2sin2)30sin(sin2)30sin(=CBCAsinsin)30sin(sin=CCCCsin)60sin()sin23cos21(23 =CCCCsin23cos23)sin43cos43 =21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 155 例 4在 ABC 中， a、b、c 分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果（ a2+b2）sin （A- B）= （a2- b2）sin （A+B） ，判断三角形的形状. 解方法一已知等式可化为a2sin （A- B）-sin （A+B） =b2-sin （A+B）-sin(A- B) 2a2cosAsin B=2b2cosBsin A, 由正弦定理可知上式可化为： sin2AcosAsin B=sin2BcosBsin Asin Asin B(sin AcosA-sin BcosB)=0 sin2 A=sin2 B,由 02A,2 B2得 2A=2B 或 2A=-2 B, 即 A=B 或 A=2- B, ABC 为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a2cosAsin B=2b2sin AcosB, 由正、余弦定理 , 可得a2bbcacb2222= b2aacbca2222a2(b2+c2- a2)=b2( a2+c2-b2) 即(a2- b2)( a2+b2- c2)=0 a=b 或 a2+b2=c2 ABC 为等腰或直角三角形. 巩固练习1. （1） ABC 中，a=8,B=60, C=75, 求 b; （2） ABC 中， B=30, b=4,c=8, 求 C、A、 a. 解 （1）由正弦定理得BbAasinsin. B=60, C=75, A=45, b=45sin60sin8sinsinABa=46 . (2) 由正弦定理得sin C=430sin8sinbBc=1. 又 30 C150, C=90A=180-( B+C)=60 ,a=22bc=4 3 . 2. 已知 ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别为a, b, c, 若 ABC 的面积为 S，且 2S=（a+b）2- c2，求 tan C 的值 . 解依题意得 absin C=a2+b2- c2+2ab, 由余弦定理知 , a2+b2- c2=2abcosC. 所以 ,absin C=2ab(1+cos C), 即 sin C=2+2cosC, 所以 2sin2Ccos2C =4cos22C, 化简得： tan2C=2. 从而 tan C=2tan12tan22CC=-34. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 156 3. （2008辽宁理， 17）在 ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是a、b、c. 已知 c=2, C=3. （1）若 ABC 的面积等于3 ，求 a、b 的值；（2）若 sin C+sin( B- A)=2sin2 A, 求 ABC 的面积 . 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2- ab=4. 又因为 ABC 的面积等于3 ，所以21absin C=3 ，所以 ab=4. 联立方程组,4,422ababba解得22ba. （2）由题意得sin( B+A)+sin(B- A)=4sin AcosA, 即 sin BcosA=2sin Acos A, 当 cosA=0 时， A=2，B=6，a=334，b=332. 当 cosA0 时，得 sin B=2sin A, 由正弦定理得b=2a, 联立方程组,2,422ababba解得.334332b，a所以 ABC 的面积 S=21absin C=332. 4. 已知 ABC 的三个内角A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， 若 a、 b、 c 成等差数列， 且 2cos2B-8cos B+5=0,求角 B 的大小并判断 ABC 的形状 . 解方法一2cos2B-8cos B+5=0, 2(2cos2B-1)-8cos B+5=0. 4cos2B-8cos B+3=0, 即(2cos B-1)(2cosB-3)=0. 解得 cos B=21或 cosB=23（舍去） . cosB=21. 0B, B=3. a，b，c 成等差数列， a+c=2b. cosB=acbca2222=accaca2)2(222=21，化简得 a2+c2-2 ac=0,解得 a=c. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 157 又 B=3， ABC 是等边三角形 . 方法二2cos2B-8cos B+5=0， 2（2cos2B-1）-8cos B+5=0. 4cos2B-8cos B+3=0，即(2cos B-1)(2cosB-3)=0. 解得 cos B=21或 cosB=23（舍去） . cosB=21, 0B, B=3, a, b, c 成等差数列，a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin3=3 . sin A+sinA32=3 ， sin A+sinAcos32-cosAsin32=3 . 化简得23sin A+23cos A=3 , sin6A =1. A+6=2, A=3, C=3, ABC 为等边三角形 . 回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1. 在 ABC 中，若 2cosBsin A=sin C, 则 ABC 一定是三角形 . 答案等腰2. 在 ABC 中， A=120, AB=5, BC=7，则CBsinsin的值为 . 答案533. 已知 ABC 的三边长分别为a, b, c, 且面积 SABC=41（b2+c2- a2） ，则 A= . 答案454. 在 ABC 中， BC=2，B=3，若 ABC 的面积为23，则 tan C 为 . 答案335. 在 ABC 中， a2- c2+b2=ab, 则 C= . 答案 60 6. ABC 中，若 a4+b4+c4=2c2( a2+b2), 则 C= . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 158 答案 45 或 1357. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a, b, c，若 a=1, b=7 , c=3 , 则 B= . 答案658. 某人向正东方向走了x 千米，他右转 150，然后朝新方向走了3 千米，结果他离出发点恰好3 千米，那么 x 的值是 . 答案3 或 23二、解答题9. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a, b, c，并且 a2=b( b+c). （1）求证： A=2B； （2）若 a=3 b, 判断 ABC 的形状 . （1）证明因为 a2=b( b+c) ，即 a2=b2+bc,所以在 ABC 中，由余弦定理可得, cosB=acbca2222=acbcc22=acb2=aba22=ba2=BAsin2sin, 所以 sin A=sin2 B, 故 A=2B. （2） 解因为 a=3 b, 所以ba=3 , 由 a2=b( b+c) 可得 c=2b, cosB=acbca2222=22223443bbbb=23, 所以 B=30, A=2B=60, C=90.所以 ABC 为直角三角形 . 10. （2008全国理， 17）在 ABC 中， cos B=-135，cosC=54. （1）求 sin A 的值；（2） ABC 的面积 SABC=233，求 BC 的长 . 解 (1)由 cos B=-135, 得 sin B=1312, 由 cosC=54, 得 sin C=53. 所以 sin A=sin( B+C)=sin BcosC+cosBsin C=6533. (2) 由 SABC=233, 得21ABACsin A=233. 由(1) 知 sin A=6533, 故 ABAC =65. 又 AC=CBABsinsin=1320AB, 故1320AB2=65,AB =213. 所以 BC=CAABsinsin=211. 11. 已知 a、b、c 是 ABC 的三边长，关于x 的方程 ax2-222bcx- b=0 ( acb) 的两根之差的平方等于 4， ABC 的面积 S=103 ，c=7. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 159 （1）求角 C； （2）求 a，b 的值. 解 （1）设 x1、x2为方程 ax2-222bcx- b=0 的两根，则x1+x2=abc222，x1x2=-ab. ( x1- x2)2=( x1+x2)2-4 x1x2=222)(4abc+ab4=4.a2+b2- c2=ab. 又 cosC=abcba2222=abab2=21, 又 C(0 ,180 ), C=60. (2) 由 S=21absin C=103 ， ab =40. 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,即 c2=(a+b)2-2 ab(1+cos60 ). 72=( a+b)2-240211. a+b=13. 又 ab由，得a=8, b=5. 12. （2008广东五校联考）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知 a+b=5，c=7 ，且 4sin22BA-cos2 C=27. (1) 求角 C 的大小；（2）求 ABC 的面积 . 解 （1） A+B+C=180, 由 4sin22BA-cos2 C=27, 得 4cos22C-cos2 C=27, 42cos1C-(2cos2C-1)=27, 整理 , 得 4cos2C-4cos C+1=0, 解得 cosC=21, 0 C180, C=60. (2) 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC, 即 7=a2+b2- ab, 7=( a+b)2-3ab，由条件 a+b=5,得 7=25-3 ab, ab=6, SABC=21absin C=21623=233. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -