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1 解直角三角形专题复习一、直角三角形的性质 1 、直角三角形的两个锐角互余几何表示：【 C=90 A+B=90】 2 、在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：【 C=90 A=30BC=21AB 】 3 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何表示：【 ACB=90 D 为 AB的中点 CD=21AB=BD=AD 】 4 、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方几何表示：【在 RtABC中 ACB=90 222cba】 5 、射影定理： 在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。即： 【 ACB=90 CD AB BDADCD?2ABADAC?2ABBDBC?2】 6 、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（ a bc h?）由上图可得： AB?CD=AC?BC 二、锐角三角函数的概念如图，在 ABC中， C=90 casin斜边的对边AAcbcos斜边的邻边AAbatan的邻边的对边AAAabcot的对边的邻边AAA锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0sin 1，0cos1，tan 0，cot 0. 三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 ( 同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cossin22AA（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数）tanA?tan(90 A)=1； cotA?cot(90 A)=1；（3）弦切关系tanA=AAcossin cotA=AAsincos（4）互余关系 ( 互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A) tanA=cot(90 A)，cotA=tan(90 A) A C B D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 四、特殊角的三角函数值sin costan cot 3012323334522221 1 603212333说明： 锐角三角函数 的增减性 ，当角度在 090之间变化时 . （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）五、 解直角三角形在 Rt中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。三种基本关系： 1、边边关系：222abc 2、角角关系： A+B=90 3、边角关系：即四种锐角三角函数解直角三角形的四种基本类型及解法总结：类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab ，tanaAb，90BA直角边a，斜边c22bca ，sinaAc，90BA一边一锐角直角边a， 锐角 A 90BA，cotbaA，sinacA斜边c，锐角 A 90BA，sinacAg，cosbcAg六、对实际问题的处理（1）俯、仰角 . （2）方位角、象限角 . （3）坡角（是斜面与水平面的夹角） 、坡度（是坡角的正切值）. 七、有关公式（1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB（2）Rt面积公式：1122SabchV（3）结论：直角三角形斜边上的高abhc（4）测底部不可到达物体的高度在 RtABP中，BP=xcot在 RtAQB 中，BQ=xcotBQ BP=a ，即 xcot -xcot =a6030321BCA仰角俯角北东西南h l i ABPQxa45222BCAtanlhicot-cotax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1) 测量物体高度(2) 有关航行问题(3) 计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义辅助线构造名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 【解直角三角形】经典测试题（110 题每题 5 分，1112 每题 10 分， 1316每题 20 分，共 150 分）1、在 ABC中，若22cos A，3tanB，则这个三角形一定是（）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形2、sin65 与 cos26之间的关系为（） A. sin65 cos26 C. sin65= cos26 D. sin65+ cos26 =1 3、如图1 所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2 3， 顶宽是 3 米，路基高是 4 米，则路基的下底宽是 （） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米4、如图 2，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（） A. sin1 B. cos1 C. sin D. 1 图 2 图 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 5、把直角三角形中缩小5 倍，那么锐角 A的正弦值 ( ) A. 扩大 5 倍 B. 缩小 5 倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图 3，在 RtABC中， C=90 ，D为 BC上的一点， AD=BD=2 ，AB=2 3，则：AC的长为（） A3 B2 2 C3 D3227、如果 A是锐角，且3sin4B，那么（） A 030A B 3045A C 4560A D 6090A8、已知1cos3，则3sintan4sin2tan的值等于（）A.47 B.12 C13 D0 9、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和 6cm ，则底边上的高为_cm ，底角的余弦值为 _。10、酒店在装修时， 在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30 元，主楼梯宽 2 米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 _元。11、如图 4，ABCD 为正方形， E 为 BC上一点，将正方形折叠，使 A点与 E点重合，折痕为MN ，若10,31tanCEDCAEN。（1）求 ANE的面积；（ 2）求 sin ENB的值。12、某船向正东航行，在A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B处望见灯塔 C在北偏西 30o, 又航行了半小时到 D处，望灯塔 C恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、D两点间的距离。（结果不取近似值）DACB图 3 图 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点 C处拉直固定小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶 A点的仰角为 31，再沿 DB方向前进 16 米到达 E处，测得点 A的仰角为 45已知点 C到大厦的距离BC=7米， ABD=90 请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数参考数据：tan31 0.60 ，sin31 0.52，cos310.86） 14、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东 65方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了 100米到 B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东 45方向（点 A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到 1 米） （参考数据 sin25 0.4226， cos250.9063， tan250.4663，sin65 0.5563 ，cos650.4226，tan652.1445）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 15、今年“五一“假期某数学活动小组组织一次登山活动他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达 B点再从 B点沿斜坡 BC到达山顶 C点，路线如图所示斜坡AB的长为 1040 米，斜坡 BC的长为 400 米，在 C点测得 B点的俯角为 30已知 A点海拔 121 米C点海拔 721米（1）求 B点的海拔；（2）求斜坡 AB的坡度16、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad） ，如图，在 ABC中，AB=AC ，顶角 A 的正对记作 sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60= ；（2）对于 0A180， A的正对值 sadA的取值范围是；（3） 如图，已知 sinA=35， 其中 A为锐角，试求 sadA的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -