2022年人教A版选修-教案：.回归分析的基本思想及其初步应用 .pdf

3.1 回归分析的基本思想及其初步（1）【学情分析】：教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中， 要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。【教学目标】：（ 1）知 识 与 技 能 ：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度相关系数。（ 2）过 程 与 方 法 ：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。（ 3）情 感 态 度 与 价 值 观 ：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。【教学重点】：1.了解线性回归模型与函数模型的差异；2.了解两变量间的线性相关关系的强度相关系数。【教学难点】：1.了解两变量间的线性相关关系的强度相关系数；2.了解线性回归模型与一次函数模型的差异。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境问题一： 一般情况下， 体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性）师：提出问题， 引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）生：思考、讨论。问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？师：提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。生：回忆、叙述回归分析的基本过程：画出两个变量的散点图；判断是否线性相关求回归直线方程（利用最小二乘法）并用回归直线方程进行预报复习回归分析用于解决什么样的问题。复习回归分析的解题步骤二、例题选讲探究活动：对于一组具有线性相关的数据（x1,y1）,(x2,y2) ,(xn,yn), 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：a=y+b x, 复习统计方法解决问题的基本过程。学生动手画散名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - b=niiiinixxyyxx121)()(其中x=n1niix1,y=n1niiy1.(x,y) 称为样本点的中心。你能推导出这两个计算公式吗？从已经学过的知识我们知道，截距a和斜率b分别是使 Q（, ）=niiixy12)(取最小值时 ，的值。由于 Q（，）=niiixyxyxy12)()(=niiiiixyxyxyxyxyxy122)()()(2)(=niiixyxy12)(+2niiixyxyxy1)()(+ n(y- x- )2, 注意到niiixyxyxy1)()( = （xy）niiixyxy1)( = （xy） )(11xynxyniniii = （)xyn)(xynxny=0, 所以Q（, ）=niiixyxy12)(+ n(xy)2 =2niixx12)(- 2 niiiyyxx1)( + niiyy12)(点图，老师用 EXCEL的作图工作演示，并引导学生找出两个 变 量 之 间 的 关系。学生经历数据处理的过程，并借助 EXCEL的统计功能鼓励学生使用计算器或计算机等现代 工 具 来 处 理 数据。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - +n (2)xy =n(2)xy + niniiniiiixxyyxxxx121212)()()( -niiniiixxyyxx1221)()( + niiyy12)(在上式中，后两项和，无关，而前两项为非负数，因此要Q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有=niiniiixxyyxx121)()(，=xy. 这正是我们所要推导的公式。下面我们通过案例，进一步学习学习回归分析的基本思想及其应用。问题三：思考例1：从某大学中随机选取8 名女大学生，其身高和体重数据如表所示。 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。编号12345678身高 /cm165165157170175165155170体重 /kg4857505464614359题目中表达了哪些信息？师：读例 1 的要求，引导学生理解例题含义。（例题含义：数据体重与身高之间是一种不确定性的关系求出以身高为自变量x， 体重为因变量y 的回归方程。由方程求出当x = 172 时， y 的值。生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程求解过程如下：画出散点图， 判断身高 x 与体重 y 之间存在什么关系 （线性关系）？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 列表求出相关的量，并求出线性回归方程代入公式有848.025.16582187745 .5425.165872315?22121xnxyxnyxbniiniii712.8525.165849.05.54?xbya所以回归方程为712.85849.0?xxbay利用回归方程预报身高172cm 的女大学生的体重约为多少？当172x时，kgy316.60712.85172849.0?引导学生复习总结求线性回归方程的步骤：第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算三、探究新知问题四：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右 .）师：提出问题， 引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引出相关系数的作用。生：思考、讨论、解释解释线性回归模型与一次函数的不同从散点图可观察出，女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格 刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的 3名女大学生的体重分别为48kg、57kg 和 61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系， 那么身高为165cm 的 3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型引导学生了解线性回归模型与一次函数的不同40455055606570150155160165170175180名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分 . 当残差变量恒等于0 时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此， 一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？相关系数 ：niniiiniiiyyxxyyxxr11221相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当r大于75.0时，认为两个变量有很强的线性相关关系。问题六：例1 中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，798. 0r，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的。引导学生在解决具体问题的过程中，通常先进行相关性的检验，确认两变量间的线性相关关系的强弱再求线性回归方程。结合实例的分析和研究，正确地进行相关性检验。四、巩固练习1 假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0画出数据的散点图；若 x与y 呈线性相关关系，求线性回归方程y bx + a 的回归系数a、b；估计使用年限为10 年时，维修费用是多少？答案：散点图如图：由已知条件制成下表：i1 2 3 4 5 ix2 3 4 5 6 ix2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 iiyx4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 2ix4 9 16 25 36 4x；5y；niix1290；niiiyx13.112巩固知识01234567802468xiyi名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 于是有23.1103.1245905453.112?2b08.0423. 15?xbya 回归直线方程是08.023. 1?xy，当10 x时，38.1208. 01023.1y（万元）即估计使用10 年时维修费用是12.38 万元。五、小结1 熟练掌握求线性回归方程的步骤；画出两个变量的散点图；判断是否线性相关；求回归直线方程（利用最小二乘法）；并用回归直线方程进行预报。2 理解线性回归模型与一次函数的不同；一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 3 了解相关系数的计算与解释。相关系数 ：niniiiniiiyyxxyyxxr11221相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当r大于75.0时，认为两个变量有很强的线性相关关系。反思归纳练习与测试1 设有一个回归方程为xy5.22?，则变量x增加一个单位时，则（ C ）Ay平均增加5.2个单位 By平均增加2个单位Cy平均减少5.2个单位 Dy平均减少2个单位2 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ）A预报变量在x轴上，解释变量在y轴上B解释变量在x轴上，预报变量在y轴上C可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上D可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上3 已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程为axby?必过（ D ）A （2，2）点 B （1.5，0）点 C （1，2）点 D （1.5，4）点4 已知两个相关变量x与y具有线性相关关系，当x取值 1，2，3，4 时，通过观测得到y的值分别为1.2 ，4.9 ，8.1 ，12.8 ，这组样本点的中心是（ D ）A(2，4.9) B(3 ，8.1) C(2.5 ，7) D(2.5 ，6.75) 5 一位母亲记录了儿子39 岁的身高， 数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93 ，用这个模型预测这个孩子10 岁时的身高，则正确的叙述是（ C ）x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - A身高一定是145.83cm B身高在 145.83cm 以上C身高在 145.83cm 左右 D身高在 145.83cm 以下6 在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2） 、B（2，3） 、 C（3，4）D（4，5） ，则 y 与 x之间的回归直线方程为（ A ）A1?xy B2?xy C12?xy D1?xy7 有下列关系：人的年龄与其拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系。其中有相关关系的是_。答案：8 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国50 个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（x） 和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）的数据，建立的回归直线方程如下：6.48 .0 xy。斜率的估计等于8 .0说明 _，成年人受过9 年或更少教育的百分比（x）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）之间的相关系数_（填充“大于0“或”小于0“） 。答案：9 若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为xy4250?，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为 _。解析：当50 x时，450450250? y。答案：kg450。10在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t 之间对应的一组数据：时间t（s）5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y（m）6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 （1）画出散点图；（2）求腐蚀深度y 对腐蚀时间t 的回归直线方程.解： （1）散点图为5 1 01 01 5 2 02 03 03 04 04 05 05 06 07 0 9 01 2 0yt（2）经计算可得.13910,5442,36750,45.19,36.4611111121112iiiiiiiytytytb=22111211136.46113675045.1936.4611139101111ttytytiiiii0.3，a=ybt=19.450.346.365.542. 故所求的线性回归方程为y=0.3t+5.542. 名师资料总结 - 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