2022年传递函数矩阵的状态空间最小实现 .pdf
浅谈传递函数矩阵最小实现方法降阶法120090080 何姗电院人们在设计复杂系统时， 总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真， 以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵( )G s，为寻找一个维数最小的（A,B,C）,使1()( )C sIABG s ，则称该（A,B,C）是( )G s的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1） （A,B,C）为严格真传递函数矩阵( )G s的最小实现的充要条件是（ A,B）能控且（ A,C）能观测。（2）严格真传递函数矩阵( )G s的任意两个最小实现（ A,B,C）与 ( , , )A B C之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子11,ATAT BT B CCT 成立。（3）传递函数矩阵( )G s的最小实现的维数为( )G s的次数 n ，或( )G s的极点多项式的最高次数。为了寻求传递函数矩阵的最小实现， 就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种：1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵( )G s，第一步先写出满足( )G s的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足( )G s的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。2、 直接求取约当型最小实现的方法。若( )G s诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。3 用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。先求能控型再求能观测子系统的方法设（pq）传递函数矩阵( )G s，且 p名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - q 时，优先采用本法。取出( )G s的第 j 列，记为j( )G s ，是ju 至( )y s的传递函数矩阵，有j( )G s =1( ).( )Tjqjgsgs=11( )( )( )( )jqjTjqjpspsqsqs记( )jds 为1( )jqs ,( )qjqs 的最小公倍式，则j( )G s =11( )( )( )Tjqjjnsnsds设( )jds =1,1,1,0jjjnnj njjsasasa则12,1,2,1,0( )jjjjnnijij nij nijijnssss，1,.iq在此( )jds 是 q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入 -多输出系统的实现可知，能用能控规范型的jA 、jb 实现( )jds ，由( )ijns 的诸系数确定jC ，这时j( )G s 的实现为1,0,0,10jjjjnjjjj nnnIAaaa1001jjnb1 ,01 ,11 ,1,0,1,1jjq njjjj njqjqjqj nC令1,jp，便可得j( )G s 的实现为12n nPAAAA12n pPbbBb12q nPCCCC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 当 pq 时，显见 A、B、C的维数均较小，且有1pjjnn 。上述实现一定能控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（A,C）的能观测行。若（A,C）能观测，则（ A,B,C）为最小实现；若001nCCArankQranknCA n则从0Q 中选出0n 个线性无关行，记为S；在附加（0nn ）个任意行（通常为单位矩阵nI 的任意行），记为1S ，即01TTnvSv, 011TnTnvSv构造 nn的非奇异变换阵 T，1STS引入变换 xTx ，由能观测性的结构分解可知012100AATATAA00BBT BB100CC TC其中能观测子系统000(,)A B C即为所求的最小实现。000(,)A B C有如下简化求法：记1T为001()0()0111n nnn nnnnn nSTUUS由00111111100nn nISSUSUTTUUSSUSUI，有0nSUI由11100CTC UUCUCUC，有0CCU由011111112100ASSAUSAUTATA UUSS AUS AUAA，有0ASAU由0110BSSBTBBSS BB，有0BSB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为：1.构造 S阵（从0Q 中选出0n 个线性无关行）；2.由0nSUI，求出 U 阵；3.计算最小实现。0ASAU ，0BSB ，0CCU 。由于 S 选择的任意性及求解U 的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。下面举例说明该法。例 1、已知传递函数矩阵( )G s，求最小实现。2113( )112sssG sssss解: 化( )G s为严格真传递函数矩阵?( )G s111013?( )( )111112ssG sG sDss求?( )G s 的最小实现。11111( )1111sg sss21213( )13(2)(3)2ssgsssss令212( )1,( )56d ssdsss，其能控规范型实现为11A11b111C20165A201b22131C?( )G s 的能控型实现为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1210000010065AAA1210000001bbb12121131CCC(A,C)的能观测性判别：由于2rankCm01211313163162n mCCrankQrankrankranknCACA即(A,C)能观测。 （A,B,C）能控且能观测，即为?( )G s 的最小实现。( )G s的最小实现为（ A,B,C,D） 。例 2、求下列( )G s的最小实现维数及最小实现4623(1)(2)(1)(3)( )21(1)(2)(1)(2)ssssssG sssss解 （1） 确定最小实现维数 n ： 所有( )G s的一阶子式的最小公分母为(1)(2)ss；二阶子式只有一个0，其分母为任意常数。故所有子式的最小公分母仍为(1)(2)ss，有 n =2。（2）1461( )2(1)(2)sg sss2231( )1(1)(2)sgsss令12( )( )(1)(2)d sdsss，其能控规范型实现为120123AA, 1201bb16420C23210C1200AAA1200bbb12CCC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - (A,C)的能观测性判别：由于2rankCm02643220108643202011210654623n mCCCArankQrankrankCArankCACA4 (A,C)不完全可观测。从0Q 中选出二行构成 S 阵 ,64322010S由2SUI 求 U 阵：1112212231324142643210201001uuuuuuuu四个方程含 8 个未知数，设任意规定313241420uuuu，可解得10213440000U故最小实现为031221322ASAU04200BSB01001CCU名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
