2022年用待定系数法求三角函数最值 .pdf

第 1 页（共 3 页）- 用待定系数法求三角函数最值武增明用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从何处入手， 怎样拆项， 如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。例 1. 设 x（ 0， ） ，求函数xsin22xsiny的最小值。分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。因为 sinx0，所以2xsin22xsin2xsin22xsiny。故 ymin=2。显然，这种解法是错误的！ 错误的原因是没有考虑“=” 号成立的条件。 由xsin22xsin得 sinx=2，这样的x 不存在，故为错解。事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“ =”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数（0 2，使xsin2xsin2xsiny。由均值不等式及正弦函数的有界性，得22xsin2xsin2xsin2y。当且仅当xsin2xsin且 sinx=1， 即=21时， 上式等号成立。 将=21代入，得 ymin=25。另解： y=)xsin4x(sin21。令 sinx=t(0 t1， 易证)t4t (21y在 （0， 1上单调递减， 所以25)141(21ymin。例 2. 当 x(0，2)时，求函数xcos2xsin36y的最小值。分析：因为x(0，2)，所以 sinx0，cosx0，引入大于零的待定系数k，则函数xcos2xsin36y可 变 形 为xcos1xcos1xsinkxsin33xsin33y2+kcos2x k 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 2 页（共 3 页）- 33k27+3k3k=12kk3，等号成立当且仅当32232222k1xcosk3xsin，xcoskxcos1,xsinkxsin33即，时成立。由sin2x+cos2x=1,。得1k1332，即 k2=64，又 k0，所以 k=8。故函数 y 的最小值为168212kk123，此时 x=3。例 3. 设 x(0，2)，求函数y=sinx+xsin12的最小值。分 析 ： 因 为x (0 ，2) ， 所 以sinx 0 ， y=sinx+xsin12可 变 形 为xs i n12xs i n2xs i ny2。 由 均 值 不 等 式 得32413xsin12xsin2xsin。 但xs i n12xs i n2，故上式不能取等号。下面引入待定系数k 进行配凑解之。解：因为x(0，2)，所以 sinx0。因为，1k0,xsink1xsinkxsin1222故xsink1)xsink2xsin2xsin(y221k14k33，等 号 当 且 仅 当xsink2xsin2且sinx=1 ， 即k=21时 等 号 同 时 成 立 。 从 而21k14k33，故函数y=sinx+xsin12的最小值为2。例 4. 求函数 y=sin2xcos2x+xcosxsin122的最小值。分析：易得x2sin44x2siny22，由均值不等式得2x2sin44x2sin22。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 3 页（共 3 页）- 但x2sin44x2sin22，故上式不能取等号。于是引入待定正实数， ，且+=4，则有x2sin44x2siny22=x2sinx2sin4x2sin222x2sinx2sin4x2sin2222。当且仅当x2sin4x2sin22且 sin22x=1 时等号同时成立，此时415，41，所以当 sin22x=1 时，y 有最小值为417。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -