2022年专题六：数列与不等式的题型分析及解题策略 .pdf

宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理1 专题六：数列与不等式的题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、 数学归纳法、 比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移， 考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视。预计在2011 年高考中 ,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇 ,呈现递推关系的综合性试题.其中 ,以函数与数列、 不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题. 【考点透视】1以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 2以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大 . 3将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想 . 【典例分析】第一课时题型一等差等比数列公式性质考查：【例 1】 （08.0 7）已知等比数列na中21a，则其前3 项的和3S的取值范围是 ( D ) （）, 1（）,01,（）3,（）,31,题型二求数列的极限【例 2】 （10.08 ）已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaSB （A）0 （B）12（C） 1 （D）2 题型三求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 f(x)在定义域为 D，则当 xD 时，有 f(x) M恒成立f(x)minM ；f(x)M 恒成立f(x)maxM ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例 3】（ 09.22 ）设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理2 立，记*4()1nnnabnNa。（I ）求数列nb的通项公式；（II ）记*221()nnncbbnN，设数列nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n，都有32nT；（III）设数列nb的前n项和为nR。已知正实数满足：对任意正整数,nn Rn恒成立，求的最小值。（09.22 ）解：（）当1n时，111151,4aaa又1151,51nnnnaaaaQ11115,4nnnnnaaaaa即数列na成等比数列，其首项114a，公比是14q1()4nna14()411()4nnnb.3分（）由（）知54( 4)1nnb2212215525 164141(161)(164)nnnnnnnncbb=22251625 1625(16 )3 164)(16 )16nnnnnn又1211343,33bbc当1312nT时，当234111225()3161616nnnTK时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理3 122111()416162513116146931625.713482116n分（）由（）知54( 4)1nnb一方面，已知nRn恒成立，取n 为大于 1 的奇数时，设*21()nkkN则1221nkRbbbK12321111145 ()41414141knK K1232211111145 ()()4141414141kknK K41n41,41nnRnn即（）对一切大于1 的奇数 n 恒成立4,41n否则，（）只对满足14n的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当4时，对一切的正整数n 都有4nRn恒成立事实上，对任意的正整数k，有212212558( 4)1( 4)1nnkkbb5208(16)1(16)4kk15 164088(161)(164)kkk当 n 为偶数时，设*2 ()nm mN则1234212()()()nmmRbbbbbbK 84mn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理4 当 n 为奇数时，设*21()nmmN则1234232221()()()nmmmRbbbbbbbK8(1)4844mmn对一切的正整数n，都有4nRn综上所述，正实数的最小值为414 分【第一课时练习】1、 （08.14 延）设等差数列na的前n项和为nS，且55Sa。若40a，则74aa 3 。2、 （08. 16）设等差数列na的前n项和为nS，若4510,15SS，则4a的最大值为_4_。3、已知等比数列 an的公比 q0，其前 n 项的和为 Sn，则 S4a5与 S5a4的大小关系是 （A ）AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4D不确定4、设等比数列 an的首相为a1，公比为q，则“a10，且 0q1” 是“ 对于任意nN*都有an+1an” 的（A ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分比要条件D既不充分又不必要条件5、设 f(x)是定义在 R上恒不为零的函数，对任意实数x、yR，都有 f(x)f(y)f(xy)，若 a112，anf(n)(nN*) ，则数列 an的前 n 项和 Sn的取值范围是（C ）A12， 2) B12，2 C12，1) D12，1 6、nnn22421lim2 ；4325123232limnnnnn41。)3(lim2nnnn23；7、 （ 08全国） 设数列 an的前n项和为 Sn已知 a1a，an+1Sn3n，nN*()设 bnSn3n，求数列 bn的通项公式；（）若an+1an，nN* ，求 a 的取值范围解析：（）依题意，113nnnnnSSaS，即123nnnSS，由此得1132(3 )nnnnSS-4 分因此，所求通项公式为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理5 13(3)2nnnnbSa，*nN -6 分（）由知13(3)2nnnSa，*nN，于是，当2n时，1nnnaSS1123(3)23(3)2nnnnaa1223(3)2nna，12143(3)2nnnnaaa22321232nna，当2n时，21312302nnnaaa9a又2113aaa综上，所求的a的取值范围是9，-12分第二课时题型三数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【例 4】 （07.21）已知函数2( )4f xx，设曲线( )yf x在点(,()nnxf x处的切线与x轴的交点为1(,0)nx(*)nN，其中1x为正实数（）用nx表示1nx；（）若14x，记2lg2nnnxax，证明数列na成等比数列， 并求数列nx的通项公式；（）若14x，2nnbx，nT是数列nb的前n项和，证明3nT(07.21)解： （）由题可得( )2fxx所以曲线( )yf x在点(,()nnxf x处的切线方程是：()()()nnnyf xfxxx即2(4)2()nnnyxxxx令0y，得21(4)2()nnnnxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理6 即2142nnnxx x显然0nx，122nnnxxx（）由122nnnxxx，知21(2)22222nnnnnxxxxx，同理21(2)22nnnxxx故21122()22nnnnxxxx从而1122lg2lg22nnnnxxxx，即12nnaa所以，数列na成等比数列故111111222lg2lg 32nnnnxaax即12lg2lg 32nnnxx从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx（）由（）知11222(31)31nnnx，1242031nnnbx1111 12122223111113313133nnnnnnbb当1n时，显然1123Tb当1n时，21121111( )( )333nnnnbbbb12nnTbbb111111( )33nbbb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理7 111( ) 3113nb133 ( )33n综上，3nT(*)nN题型四利用递推关系判断新数列类型用求数列的通项及前n项和问题【例 5】 （10.21）已知数列na满足1202a,a，且对任意m,nN*都有211212)(22nmaaanmnm（）求35a ,a；（）设2121nnnbaa(nN*)证明：nb是等差数列；（）设*),0()(11Nnqqaacnnnn，求数列nc的前n项和nS（10.21）解析：（）由题意，令.6221,2123aaanm可得再令.20821,3135aaanm可得（2 分）（）即于是可得代替以由已知时当8)(82)2(,*12121)1(21)1(2121212nnnnnnnaaaaaaamnNn.81nnbb所以，数列.8的等差数列是公差为nb（5 分）（）由（） 、 （）的解答可知.8, 6131的等差数列公差为是首项aabbn则即,28nnb.281212naann另由已知（令)1m可得，212)1(2naaannn那么，12212121naaaannnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理8 nnn212228于是，12nnnqc当).1(2642,1nnnSqn时当12462642,1nnqnqqqSq时两边同乘q可得.2)1(26421222nnnqnqnqqqqS上述两式相减即得nnnnqqqqSq2)1(2)1 (121=nnnqqq2112=qnqqnnn1)1(121所以21) 1(1) 1(2qqnnqSnnn综上所述，)12(),1( ,)1(1) 1(2)1() 1(21分qqqnnqqnnSnnn题型六探索性问题【例 6】已知 an的前 n 项和为 Sn，且 anSn4.()求证：数列 an是等比数列； ()是否存在正整数k，使Sk+12Sk22 成立 . 【第二课时练习】1、 （08.20 延）在数列na中，11a，2112(1)nnaan。（）求na的通项公式； （）令112nnnbaa，求数列nb的前n项和nS。（）求数列na的前n项和nT。(08.20延) 解： （）由条件得1221(1)2nnaann，又1n时，21nan，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理9 故数列2nan构成首项为1，公式为12的等比数列从而2112nnan，即212nnna（）由22(1)21222nnnnnnnb得23521222nnnS，231135212122222nnnnnS，两式相减得：23113111212()222222nnnnS， 所以2552nnnS（）由231121()()2nnnSaaaaaa得1112nnnnTaaTS所以11222nnnTSaa2146122nnn2、 （08. 20）设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（）求na的通项公式（08.20）解： 由题意知12a，且21nnnbabS11121nnnbabS两式相减得1121nnnnb aaba即12nnnaba（）当2b时，由知122nnnaa于是1122212nnnnnanan122nnan又111 210na，所以12nnan是首项为 1，公比为2 的等比数列。（）当2b时，由（）知1122nnnan，即11 2nnan当2b时，由由得1111122222nnnnnababb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理10 22nnbbab122nnb ab因此11112222nnnnab abb2 12nbbb得121122222nnnnab bnb3、 （ 06.20）已知数列na，其中11a，23a，112nnnaaa（2n） ，记数列na的前n项和为nS，数列lnnS的前n项和为nU。（）求nU；（）设22( )2 ( !)nUnneFxxn n（x） ，1()()nnkkTxFx（其中( )kFx为( )kFx的导数） ，计算1( )lim( )nnnTxTx。（06.20 ）解：（）由题意，na是首项为 1、公差为 2 的等差数列，前n项和21 12(1)2nnSnn，2lnln2lnnSnn，2(ln1ln 2ln)2ln( !)nUnn。（）22( )2 ( !)nUnneFxxn n2222( !)2 ( !)2nnnxxn nn，( )kFx21nx，1( )( )nnkkTxFx2221122(1) (0)1 (1)(1) (1nnkknxxxxxnxxxxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理11 1( )lim( )nnnTxTx22222221lim1 (0)1lim1 ()11()11lim ()1()nnnnnnnxxxnxnxxxxx。4、在数列na中，ns是其前n项和，)1(3111nsaann，求数列na的通项公式。（见教材）5、数列na满足11a，21()nnanna（12n， ，） ，是常数（）当21a时，求及3a的值； （）数列na是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有0na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理12 排列组合与二项式定理：1、 （10.10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A） 72 （B）96 （C） 108 （D）144 2、 （10.13）631(2)x的展开式中的第四项是_3、 （09.11） 3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 宜宾县二中高三二轮复习专题（理科）林平整理13 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 4、 （09.13）61(2)2xx的展开式的常数项是（用数字作答）5、 （ 08.03 延）41(1)(1) xx的展开式中含2x的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）12 6、 （08.08 延）在一次读书活动中，一同学从4 本不同的科技书和2 本不同的文艺书中任选3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A）15（B）12（C）23（D）457、 （ 08.0 ）从甲、乙等10 个同学中挑选4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( ) （）70种（）112种（）140种（）168种8、 （ 08. 13）34121xx展开式中2x的系数为 _。9、 （07.10）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数共有（A） 288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个10、（07.12） 已知一组抛物线1212bxaxy， 其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数， b 为 1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1 交点处的切线相互平行的概率是（A）121（B）607（C）256（D）25511、 （06.12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ A）1954（B）3554（C）3854（D）416012、 （06.14）设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。()Pkakb（k1，2，3，4） 。又的数学期望3E，则ab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -