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如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流中考数学复习【精品文档】第 211 页实数和代数式 一、重点、难点提示：1.相反数实数a的相反数是-a，零的相反数是零。 （1）a,b互为相反数a+b=0。 （2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。 2.绝对值 |a|= 3. 算术根 （1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。 （2）实数的三个非负性：|a|0, a20, 0(a0)。 4.科学记数法把一大于10的数记成a×10n的形式，其中1a<10。这种记数法叫做科学记数法。一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1。 5.幂的运算法则：（m,n为正整数） am·an=am+n, (am)n=amn, (ab)n=anbn；am÷an=am-n(a0, m>n) 6.乘法公式： (a+b)(a-b)=a2-b2； (a±b)2=a2±2ab+b2； 7.零指数和负整数指数： 规定a0=1(a0) ，a-p=(a0且p为正整数) 8.二次根式的主要性质 (1)()2=a (a0). (2)=|a|= 注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。 (3)=·(a0, b0)。 (4)(b0,a>0)。 二、重点例题分析 例1解答下列各题（1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求a+b的值。 （2）已知a>0, b<0, |b|>|a|, 试用“<”将a、b、-a、-b连结起来。 解：（1）|a|=8, a=±8； |b|=2, b=±2； 又|a-b|=b-a, b-a0, ba。 因此b取+2, a取-8, 或b取-2, a取-8。 当b=2, a=-8时, a+b=(-8)+2=-6。 当b=-2, a=-8时, a+b=(-8)+(-2)=-10。 （2）b<-a<a<-b。 说明（1）这里应注意绝对值定义的正确应用，若|a|=3,则a=±3,不要漏了-3；还应注意运用|a-b|=b-a这个条件进行分析，不要漏解和多出解来。 （2）解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。 画数轴，先由已知条件确定a、b所对应的点A、B，a>0，A在原点右边，b<0，B在原点左边，|b|>|a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示， 显然有：b<-a<a<-b。 此题还可用特殊值法求解。设a=2,b=-3,所设数字一定要符合a>0, b<0, |b|>|a|的条件，那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。 从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即b<-a<a<-b。 例2、计算下列各题 （1）(-)-2+； （2）·(3-2)-1+(-)8÷×3 解：（1）原式9 （2）原式=×(3-2)-1+×3×3 =-1+ =(-1)-1+ =-1+ =- 说明：在综合运算中搞清各种运算的意义，如乘方运算的底，负指数，零指数的意义及特殊角的三角函数值等。计算前要仔细审题，一是注意运算的顺序，不要跳步；二是灵活地运用法则，能选择简便运算的要尽可能地采用简便运算；三要特别注意运算符号是否出错。 例3、计算机存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机中一般用Kb(千字节)或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1kb=210b, 1Mb=210Kb, 1Gb=210Mb。 一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb，它相当于多少Kb? (结果用科学记数法表示，并保留三个有效数字) 析解：本题目一方面考查近似数和科学记数法，另一方面考查学生收集和处理信息的能力。 解答时，考生直接根据题中所提供的几个单位的换算关系，不难求出20Gb=20×210Mb=20×210×210Kb=20×1024×1024Kb2.10×107Kb。 例4、给出下列算式： 32-12=8=8×1， 52-32=16=8×2， 72-52=24=8×3， 92-72=32=8×4， 观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。 分析：观察等式，不难发现其规律：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数。由此，设n为自然数，则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1，用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=2×4n=8n。 说明：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力，渗透从特殊到一般的辩证关系。 例5、把下列多项式分解因式 （1）2xn+1-6xn+4xn-1 (n为自然数)； （2）(ab+1)2-(a+b)2； （3）x3+x2-x-1。 解：（1）原式=2xn-1(x2-3x+2)=2xn-1(x-1)(x-2)。 （2）原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b) =(ab+a)+(b+1)(ab-a)+(1-b) =(a+1)(b+1)(a-1)(b-1) （3）原式=(x3+x2)-(x+1)=x2(x+1)-(x+1) =(x+1)(x2-1)=(x+1)2(x-1) 说明：分解因式的一般思路是：“一提、二套、三分组”。一提是指首先考虑能否提取公因式，其次考虑能否套用公式，最后考虑分组分解，分组分解的关键是在于分组后是否有公因式可提或是否能套用公式来进一步分解。 例6、（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“”，不成立的打“×” =2（）=3（） =4（）=5（） （2）你判断完以上各题之后发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围_。 （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性。 分析：本题是一道归纳猜想型试题；能较好地考查学生的归纳猜想验证的思维过程。 答：（1）正确； （2）=n；n为大于1的自然数。 （3）=n。 例7、阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程。化简：-a2·+。 解：原式=a-a2·+a=a-a+a =0+a=a 答：上述解答过程有错误，正确解答如下： 原式=+|a|=|a|·-a2··+|a|a>0, a<0。 原式=-a·+a-a=-a。 说明：这道题隐含着条件a<0是解此题的关键，而a<0时，|a|=-a。这一点是该题错误的根本原因；另外，在化简时，注意计算逻辑要严谨。 例8、化简求值：已知x=, y=, 求3x2-5xy+3y2的值。 x=5-2, y=5+2, x+y=10, xy=1 3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3×102-11=289。 说明：二次根式的化简、求值是一个难点。求代数式的值，采用变形后整体代入再进行计算，可使问题解答简捷。 方程和不等式 一、重点、难点提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，a0)。在解一元二次方程，应按方程特点选择方法，各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x=(b2-4ac0)。（注意符号问题） 2.解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：（1）去分母法；（2）换元法。 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。当>0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=；当=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-；当<0时，方程没有实数根。 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=-, x1x2=。（注意两根的和是的相反数）。以x1,x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。 5. 不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似。不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。 6.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表： 不等式组 (a<b) 图 示 解 集 口 诀 xb 大大取大 xa 小小取小 axb 大小、小大中间找 空集 小小、大大找不到 二、例题分析：例1.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。 说明：不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错。注意除以负数时，改变不等号的方向。 解：解不等式3(x-2)+8>2x，得x>-2 解不等式x-, 得 x-1。 所以不等式组的解集是 -2<x-1。 它在数轴上表示如右图所示。 例2.解不等式组，并写出不等式组的整数解。 说明：求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解。 解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。 解不等式 ， 得x-2。 所以不等式组的解集是：-2x<1。 所以不等式组的整数解是：-2，-1，0。 例3.已知方程(m-2)+(m+2)x+4=0是关于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的两根。 分析：根据一元二次方程的定义，未知数x的最高次数是2，而且二次项的系数不能为0，所以m2-2=2，且m-20。于是可求m的值,进而求得方程的解。 解：（1）依题意，得m2-2=2,且m-20。 m=±2, 且m2。 m=-2。 （2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1 x-5=±1, x1=4, x2=6。 例4.已知x是实数，且-(x2+3x)=2，那么x2+3x的值为（） A、1 B、-3或1 C、3 D、-1或3 误解：设x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0。y1=-3, y2=1。 x2+3x=-3或1。故选B。 剖析：因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解。当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x不是实数，与题设不符，应舍去；当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1。 正确答案：选A。 说明：此题由解分式方程衍变而来，大大增加了错误机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃。 例5.解下列方程：（1）=1，（2）x2+x-+1=0。 分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法，可设x2+x=y，将原方程变为y-+1=0，先求出y，再求出x。解（1）原方程即为+-=1 去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。 整理，得x2-3x+2=0。 x1=1, x2=2。 经检验x=1是原方程的根，x=2是增根， 原方程的根是x=1。 （2）设x2+x=y,则原方程可变为y-+1=0。 y2+y-6=0, y1=-3, y2=2 当y=-3时，x2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程无实数根， 当y=2时，x2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2, x2=1。 经检验,x1=-2, x2=1都是原方程的根。 原方程的根是x1=-2, x2=1。 例6.若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）。A、4 B、10 C、11 D、12 分析：先解方程组再将求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。 解：解方程组，得把代入ax+(a-1)y=3,得a·+(a-1)·=3，解之，得a=11。 故选C。 例7.已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k3。 (1)求证：此方程总有实数根；(2)当方程有两实数根，且两实数根的平方和等于4时，k的值等于多少？ 分析：本题没有指明关于x的方程的类型，要分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论。 (1)证明 当k=2，方程为一元一次方程-2x+3=0，显然有实根； 当k2时，方程为一元二次方程，且=-2(k-1)2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),k3, 3-k0。 即0，此时一元二次方程有实数根。 综合、知，原方程总有实数根。 (2)设方程的两实根为x1,x2，则x1+x2=，x1x2=。由题设，x12+x22=4, 即(x1+x2)2-2x1x2=4。 2-2·=4。 整理，得k2-5k+4=0, k1=1, k2=4。 k3, k=1。 例8.商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电费却为0.55度。现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算）？ 说明：不等式应用题，是近年来应用题的发展新动向，去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题，它和方程应用题目一样，先认真审题，并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等，而要根据题目表述为相应的不等关系。 本题的关键在于对“合算”一词的理解，以及如何将“合算”转化为数学“式子”。实际上,所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小,对于本题目就是A型冰箱十年的总耗资小于B型冰箱。得到不等关系。 解:设商场将A型冰箱打x折出售，则消费者购买A型冰箱需耗资 2190×+365×10×1×0.4(元)， 购买B型冰箱需耗资 2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4(元)。 依题意，得2190×+365×10×1×0.42190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4。 解不等式，得x8。 因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算。 例9.某园林的门票每张10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C、三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要购买门票，每次3元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。 析解：本考题仍为“合算”问题，只是形式略有不同，涉及到列不等式组解实际应用问题。 （1）因为80<120, 所以不可能选A类年票。 若选B类年票，则=10(次)； 若选C类年票，则=13(次)，取整数为13次 若不购买年票：则=8(次)。 所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13次。 （2）设至少超过x次时，购买A类年票比较合算，则有不等式组 解得 其公共解集为x>30。 所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算。 例10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 分析：本例属工作量为1的工程问题，要注意下列三个关系式：（1）工作效率×工作时间=1；（2）工作效率=；（3）工作时间=。这类问题的等量关系是：部分工作量之和=1。 解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则 解之，得（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付b元，丙队做一天应付给c元，则有解方程组，得 10a=8000(元),15b=9750(元) 由甲队单独完成此工程花钱最少。 答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成；（2）由甲队单独完成此项工程花钱最少。 三角形与相似形一、新课标对这部分知识的要求1 命题与证明（1）了解证明的含义理解证明的必要性。通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。通过实例，体会反证法的含义。掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等。全等三角形的对应边、对应角分别相等。（3）利用（2）中的基本事实证明下列命题平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）。直角三角形全等的判定定理。角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。三角形中位线定理。等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。2三角形了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。探索并掌握三角形中位线的性质。了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【1】和一个三角形是等腰三角形的条件【2】；了解等边三角形的概念并探索其性质。了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质【3】和一个三角形是直角三角形的条件【4】体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。注【1】等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。【2】有两个角相等的三角形是等腰三角形。【3】直角三角形的两锐角互余，斜边上的中线等于斜边一半。【4】有两个角互余的三角形是直角三角形。尺规作图完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。3.图形的相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。4图形与坐标（1）认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。（3）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。（4）灵活运用不同的方式确定物体的位置。二、例题：例1：已知：如图，ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，点M在AC上，点N在AB上，且BN=CM；求证：EM=EN。 证明： AB=AC，AD为BC边上的中线AD为BAC的平分线DAB=DAC（角平分线定义）BN=CM，AB=ACAB-NB=AC-MC即：AN=AM在ANE和AME中 ANEAME（SAS）NE=ME（全等三角形对应边相等）例2：求证：等腰三角形两腰上的高线相等。已知：如图：AB=AC，BEAC，CFAB求证：BE=CF。证明： BEAC，CFABAEB=AFC=90°（垂直定义）在AEB和AFC中 AEBAFC（AAS）BE=CF例3：已知：在RtABC中, ADBC,交BC于点D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F。求证：DF2=FB·FA分析：要证：DF2=FB·FA， 即要证： = ，故可找相应的三角形相似即可，只需证：DFBAFD，而F=F, 只需要证：1=2即可。证明：CAB=90°，ADBC，1+CAD=C+CAD1=C又E是AC的中点, ED=AC=CE3=C, 又2=3，2=C1=2， 又F=F,DFBAFD = 即：DF2=FB·FA例4.如图，BAC90°，ADBC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证： .分析：欲证 ，从“左、右”看，可得ABC与ADF，很明显，它们不相似，再从“上、下”看，下面得ACF，上面两条线段AB、DF不在同一个三角形中，因此，需要寻找过渡比，由于条件中有直角三角形及斜边上的高这个基本图形，所以有 ，因此，可以尝试选用 的过渡比.证明：ADC90°，AECE，DECE.C1.12，C2.BAC90°，ADBC，ABDCAD.3C， . 23，FF，FBDFDA. . 由、可得 .例5：如图546，已知AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F.求证：DE2BE·CE. 图546分析：由于DE2BE·CE中的三条线段在同一条直线上，因此，要考虑比例式中哪一条线段可用它的等量代换，由于EF垂直平分AD，于是有AEDE，故只要证AE2BE·CE即证 即可，由此可考虑证AEBCEA.证明：连结AE.EF垂直平分AD，AEDE.DAE4.3DAE2，12，341，B41B3.BEAAEC，BEAAEC. .AE2BE·CE，故DE2BE·CE.例6图18.5.4中，AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到AOB三个顶点的坐标有什么变化呢？解AOB的三个顶点的坐标是A（2， 4）、O（0， 0）、B（4，0）平移之后的AOB对应的顶点是 A（5，4）、O（3，0）、B（7，0）沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3 例：1. 过点C画出直线l的垂线（1）如果点C不在直线上，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？ （2）如果点C在直线上，试过点C画出直线l的垂线。(1)如果点C不在直线上作法：（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交于A、B两点；（3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1/2AB 长为半径画弧，两弧相交于D点；（4）过C、D两点作直线CD。所以，直线CD就是所求作的。(2) 如果点C在直线上作法：（1）以C点为圆心，任意长为半径画弧，交于A、B两点；（3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1/2AB 长为半径画弧，两弧相交于E、F点；（4）过E、F两点作直线EF。所以，直线EF就是所求作的。三角形和相似形 一、重点，难点提示：1.三角形全等的证题思路 2.等腰三角形的性质与判定 判定 性质 等腰三角形 1.有两边相等2.等角对等边3.“三线合一”的逆定理 1.有两腰相等，两底角相等2.“三线合一”定理3.轴对称图形，有一条对称轴 等边三角形 1.三边都相等2.三角都相等3.一角为60°的等腰三角形 1.三边相等，三角相等2.内心和外心重合 3.轴对称图形，有三条对称轴 提示：“三线合一的应用是等腰三角形的重点,要多加练习 ,有时要做辅助线-底边上的高,以便使用这个性质. 3、Rt知识注意问题(1)勾股定理常要用到 (2)各边之间的关系：由ABCACDCBD得： CD2=AD·BD AC2=AD·AB BC2=BD·AB (3)直角三角形中线定理也是常用到而许多同学容易忘记的.如图:由C=90°，D为AB中点，得CD=AD=BD=AB 4、相似三角形常用基本图形这两种图形中比例线段的相互转化要迅速准确。 二、例题分析： 例1.如图，A=32°，B=45°，C=38°，则DFE=（）A、120°B、115°C、110°D、105° 说明：首先，在BDC中可求出BDC的度数。其次，由于BDC是AFD的一个外角，故可求出AFD的度数。最后利用AFD与DFE的互补性求得DFE的度数，选B。 例2.如图，已知ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，则BD等于（）A、4B、6C、8D、2 解： DC=2，AC=10， AD=AC-DC=8， BD=6，选B。 说明：三角形中的高线常与直角三角形的有关性质联系在一起，有时解题时即通过作高线构造直角三角形。 例3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12，则等腰三角形顶角为（）A、30°B、60°C、150°D、30°或150° 分析：如图所示，在等腰ABC中，CD为腰AB上的高，CDAB=12，由于AC=AB，CDAC=12，在RtADC中，DAC=30°,则有BAC=30°与150°。 说明：涉及到与三角形的高有关的问题时，要注意分类讨论，本例分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形来考虑。 例4.ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A、1<AB<29B、4<AB<24C、5<AB<19D、9<AB<19 分析：如图，延长中线AD至E，使DE=AD，则AE=14，在AEC中，9<CE<19，又可证DECDAB得，CE=AB。所以9<AB<19，选D。 说明：在解与三角形的中线有关的问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解。这也是一种常见的作辅助线的方法,这种辅助线的作法叫倍长中线。 例5.如图，已知ABBC，DCBC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC。求证：CE=CD。 证明：如图，作AFCD的延长线于F， ABBC，FCBC，AB=BC， AF=BC=AB=CF，又AE=AD， RtABERtAFD DF=BE BC-BE=CF-DF 即CE=CD。 证明：寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形。常见辅助线有：连结某两个已知点；过某已知点，作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；作一个角等于已知角。 例6.如图，BDDC=53，E为AD的中点，求BEEF的值。 分析：应设法在已知比例式BDDC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线。 解：过D作DGCA交BF于G，则， E为AD中点，DGAF， DGEAFE，EG=EF， 。 构造平行线，用基本图形转化比例线段，是相似问题常用到的。 例7.如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形=40cm2, SABESDBA=15，则AE的长为（ ）A、4cmB、5cmC、6cmD、7cm 解： BAD=90°，AEBD， ABEDBA SABESDBA=AB2DB2 SABESDBA=15，AB2DB2=15 ABDB=1，设AB=k, DB=k, 则AD=2k. S矩形=40cm2, k·2k=40 k=2, BD=k=10, AD=4, SABD=BD·AE=20， ·10AE=20 AE=4(cm)，故选A。 例8.如图，过ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和点E，过点D作DM/FC交AB于M。（1）若SAEFS四边形MDEF=23，求AEED； （2）求证：AE·FB=2AF·ED 分析：有平行线，可以利用相似等；利用面积比与相似比的关系，容易求出线段之间的关系。为了证明AE·FB=2AF·ED，知道D为BC中点，DMCF，易得到M为BF中点，BF=2FM=2BM,可以将AE·FB=2AF·ED转化为AE·FM=AF·DM来证明。（1）解： SAEFS四边形MDEF=23， SAEFSADM=25， DMCF， AEFADM， （2）证明： DMCF， ， ， D是BC的中点， M是FB的中点，即2MF=FB ，即AE·FB=2AF·ED。 说明：(1)注意面积比的转化，首先求出相似三角形面积比，再得到相似比，找到线段的关系。(2)利用中点，可以将两倍的线段长转化为一条线段，便于证明等积式和等比式。 四边形 一、考点透析：四边形一部分，是三角形内容的应用和深化.这部分中考试题所考查的知识点主要有： 1.根据多边形的内、外角和公式确定多边形的边数，会用分割法确定多边形的对角线数、三角形数等变化规律. 2.会借助平行四边形的性质定理解决线段、角相等和求值等问题. 3.能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形. 4.会根据性质定理确定特殊四边形具有的性质，并结合定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题. 5.能根据三角形中位线定理、梯形中位线定理证明有关线段平行及等量关系的问题. 6.既会作特殊四边形的图形，又会借助平行线等分线段定理等分已知线段问题. 7.明确轴对称图形、中心对称图形的特性及其规律，并能结合实际图形予以辨认. 8.利用特殊四边形的面积公式（菱形梯形面积等）解决一类与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折痕问题. 9.本单元重点考查了方程思想，对称思想以及转化思想，而且考查了学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力. 二、易错重点提示：1.平行四边形性质大部分同学都能掌握，但说到判定，就有许多同学记得不牢或不完整，用时出错，因此一定要注意利用分类的方式整理，更便于理解掌握. 任何一种四边形常提及的元素有三类，分别为边，对角线，内角. 平行四边形的判定：1.从边上分析有3个：两组对边分别平行的四边形平行四边形 两组对边分别相等的四边形平行四边形 一组对边平行且相等的四边形平行四边形 2.从对角线上分析有： 对角线互相平分的四边形平行四边形 3.从角上分析有： 两组对角分别相等平行四边形