同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第一节 行列式的定义课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点n阶行列式的定义、几类特殊行列式的值教学难点n阶行列式的定义参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解n阶行列式的定义，熟悉一些特殊行列式的值；会用对角线法则计算2阶、3阶行列式。教 学 基 本 内 容一、行列式的定义：排列：从中任意选取个不同的数排成一列，称为排列. 全排列： 将这个不同的数排成一列，称为阶全排列，也简称为全排列.标准排列：也是个数的全排列，而且元素是按从小到大的自然顺序排列的，这样的排列称为标准排列. 逆序与逆序数：在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列的逆序数记为. 标准排列的逆序数为.奇排列与偶排列：逆序数为偶数的排列，称为偶排列；逆序数为奇数的排列，称为奇排列.阶行列式：由个元素排成行列的正方形的数表：，由这个数表所决定的数称为由个元素构成的阶行列式，记为，即：.其中表示对所有的阶全排列求和,数称为行列式的元素，其中第一个下标称为元素的行标，第二个下标称为元素的列标.方阵的行列式: 记矩阵，则行列式通常也称为方阵的行列式，记为. 有时为了表明行列式是由元素构成的，也简记为、或.二阶行列式: .三阶行列式: .二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆： 二、几类特殊行列式：下三角行列式：.上三角行列式：.对角行列式：.斜下三角方阵的行列式：斜下三角方阵，则.三、主要例题：例1 设，求.例2 证明是阶行列式的一项，并求这项应带的符号.例3 计算下三角方阵的行列式（这样的行列式称为下三角行列式）.例4 计算上三角方阵的行列式（这样的行列式称为上三角行列式）.例5 设斜下三角方阵，证明： .授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第二节 行列式的性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式的性质、方阵可逆的充要条件教学难点行列式的性质参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解n阶行列式的性质，会用性质计算简单的n阶行列式；理解利用行列式判断方阵可逆的充分必要条件。教 学 基 本 内 容一、行列式的性质：转置行列式：将行列式的各行元素换为同序号的列元素，所得到的行列式称为行列式的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号.以表示行列式的第行，以表示行列式的第列，交换第、行记为，交换第、列记为.推论1 若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.性质3 若行列式的某一行（或列）有公因子 ，则公因子可以提到行列式记号外面；或者说，用乘行列式的某一行（或某一列），等于用乘以该行列式，即.第行（或列）乘以数记作（或），第行（或列）提取公因子记作（或）.定理1 设是阶方阵，则等式成立.推论2 若行列式的某一行（或某一列）元素全为零，则行列式的值为零.推论3 若行列式某两行（或两列）元素对应成比例，则行列式为零.性质4 行列式的拆分定理.性质5 行列式某一行（或某一列）的 倍加到另一行（或另一列）的对应元素上去，行列式的值不变.即.第行（或第列）乘以数到第行（或第列）上记作（或）.二、方阵可逆的充要条件定理2 阶方阵可逆的充分必要条件是.定理3 设、是两个阶方阵，则.推论4 设是阶方阵，如果存在阶方阵满足（或者），则阶方阵可逆，且.三、主要例题：例1 .例2 例3 计算行列式.例4 计算行列式.例5 计算行列式.例6 设矩阵 ，若矩阵，证明：.例7 计算行列式，其中未写出的元素为.例8 判断下列矩阵是否可逆：(1) ； (2) .例9 设矩阵，其中、分别为阶、阶可逆阵，求.例10 设阶方阵满足，证明矩阵可逆，并求.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第三节 行列式按行（列）展开课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点行列式按行（列）展开教学难点行列式按行（列）展开参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解余子式、代数余子式的概念和性质；理解行列式按行（列）展开的法则；会用行列式的性质和按行（列）展开的法则计算简单的n阶行列式。教 学 基 本 内 容一、余子式与代数余子式：1. 余子式：对任意的，在阶行列式中划去第行和第列后剩下的阶行列式称为元素的余子式，记为2. 代数余子式：记，称为阶行列式的元素的代数余子式.二、行列式按行（列）展开：定理 设行列式，则有 ，称为行列式按第行展开，以及，称为行列式按第列展开.推论 设是行列式中元素的代数余子式，则 或.有关于代数余子式的重要性质：或其中是克罗内克（Kronecker）符号.三、主要例题：例1 计算行列式.例2 计算行列式.例3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式， 其中记号“”表示连乘积.授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题第二章 第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点伴随矩阵、求逆公式、克莱默法则教学难点伴随矩阵的性质参考教材同济版线性代数武汉大学同济大学 微积分学习指导安玉伟等高等数学定理 方法 问题作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求理解伴随矩阵的概念和性质；熟悉矩阵的求逆公式，会用伴随矩阵求逆矩阵；理解克莱默法则。教 学 基 本 内 容一、伴随矩阵与求逆公式：伴随矩阵： 设是阶方阵，是的元素的代数余子式，则矩阵称为矩阵的伴随矩阵.引理 设方阵是阶方阵的伴随矩阵，则必有.定理1 如果阶方阵可逆，则有求逆公式.二、克莱默法则：定理2（Cramer（克莱默）法则）：如果线性方程组的系数行列式不等于零，即，则方程组有唯一解：，其中是把系数行列式的第列元素用的元素代替后得到的行列式.定理3 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即，则方程组一定有解，且解是唯一的.定理4 如果线性方程组无解或有无穷多解，则它的系数行列式.定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即，则它只零解.定理6 如果齐次线性方程组有非零解，则必有它的系数行列式等于零，即.三、主要例题：例1 设二阶矩阵，因为，所以当时，矩阵可逆. 且由于的伴随矩阵，所以.例2 判断矩阵是否可逆，若可逆，用求逆公式求逆矩阵.例3 用克莱默法则求解线性方程组. 例4 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？【精品文档】第 10 页