直线与双曲线位置关系.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线1 (a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a0），=B2 4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。弦长公式：（k为直线斜率）例题选讲：例1：直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B求实数k的取值范围；解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2<k<.例2：已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（）求双曲线的方程；（）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 例3：已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2 (其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k2<1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2. x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·>2，得x1x2y1y2>2，>2，即>0，解得<k2<3，由得<k2<1. 故k的取值范围为.例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）对于（2）中的点，求的面积解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得 双曲线方程为； （2）由（1）可知， ，又点在双曲线上， ， ， 即； （3）的面积为6 知识点2：抛物线及其标准方程1抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形范围x0，yRx0，yR对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程xx离心率e1题型1：抛物线的定义灵活应用例1：(1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C. D.(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)自主解答(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|BN|AF|BF|3，|CD|，所以中点C的横坐标为.(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)答案(1)C(2)B练习1：(2012·安徽高考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知，y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)又解得或由图知，点B的坐标为，|BF|(1).答案：题型2：抛物线的标准方程及几何性质例2：(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28y Dx216y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2自主解答(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为x±y0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)依题意，设抛物线方程是y22px(p>0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|2.答案(1)D(2)B练习2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或题型3：直线与抛物线的位置关系1设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)SAOB(为AB的倾斜角)(4)为定值.(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90°.例3：(2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p>0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点自主解答(1)依题意，|OB|8，BOy30°.设B(x，y)，则x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令·0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)练习3：(2012·泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k±.故直线l的方程为：y±(x1)，即x±y10.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y4x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为：y(xx0)，整理得：xx0把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线AB与抛物线相切基础练习： 1(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()Ax24yBy24xCx24y Dy24x解析：选A由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.抛物线焦点坐标为(0，)，抛物线方程为x24y.2(2012·东北三校联考)若抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A2 B18C2或18 D4或16解析：选C设P(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.3(2013·大同模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为()A2 B1C. D.解析：选A注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3,0)，半径为4的圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2.4(2012·郑州模拟)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或 C.或 D.解析：选B由焦点弦长公式|AB|得12，所以sin ，所以或.5(2012·唐山模拟)抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10解析：选C点A在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点F(1,0)设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y4x1，y4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kBC.又0，y1y22，kBC2.又1，x1x22，BC中点为(1，1)，则BC所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.6(2013·湖北模拟)已知直线yk(xm)与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB，ODAB于D.若动点D的坐标满足方程x2y24x0，则m()A1 B2C3 D4解析：选D设点D(a，b)，则由ODAB于D，得则b，abk；又动点D的坐标满足方程x2y24x0，即a2b24a0，将abk代入上式，得b2k2b24bk0，即bk2b4k0，4k0，又k0，则(1k2)(4m)0，因此m4.7(2012·安徽模拟)已知椭圆C1：1(0b2)的离心率为，抛物线C2：x22py(p0)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线C2的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)椭圆C1的长半轴长a2，半焦距c.由e得b21，椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物线C2的焦点为(0,1)，故抛物线C2的方程为x24y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)由x24y得yx2，yx.切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1l2时，x1·x21，即x1x24.由得x24kx4k0，(4k)24×(4k)0，解得k1或k0.且x1x24k4，即k1，满足式，直线l的方程为xy10.【精品文档】第 11 页