向量的概念与性质.doc
精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除一向量的概念与性质一知识点1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“”错了，而|才有意义.有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（）,其中、满足 1（可用（cos,sin）（02）表示）.零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连)当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且|； 当两个向量和共线且同向时，、的方向都相同，且；当向量和反向时，若|，与 方向相同 ，且|=|-|；若|时,与 方向相同，且|=|-|.向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，,（在ABC中）.(ABCD中)判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量，使=（R），那么；反之，如，且0，那么=.这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与的方向规定为平行. （4）向量的数乘运算的定义：数乘运算模的大小为：（6）数量积的8个重要性质（）两向量的夹角为0.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则（=90°，在实数运算中=0=0或b=0.而在向量运算中=或=是错误的，故或是=0的充分而不必要条件.当与同向时=(=0,cos=1);当与反向时，=-(=,cos=-1)，即的另一个充要条件是.特殊情况有=.或=.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,),(,),则=。（因）数量积不适合乘法结合律.如（因为与共线，而与共线）数量积的消去律不成立.若、是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数，即是无意义的.二课堂训练1下列各式计算正确的有（ ）(1)(7)6a=-42a (2)7(a+b)8b=7a+15b (3)a2b+a+2b=2a (4)若a=m+n,b=4m+4n,则abA1个 B2个 C3个 D4个2化简的结果是（ ）ABCD3下列各式叙述不正确的是（ ）A若ab,则a、b不共线(R)Bb=3a(a为非零向量),则a、b共线C若m=3a+4b,n=a+2b,则mnD若a+b+c=0,则a+b=-c4对于菱形ABCD，给出下列各式：2其中正确的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个5已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD6在ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）A与共线 B与共线C与相等 D与相等7已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( )A3B3 C0 D28已知正方形ABCD的边长为1, =a, =b, =c,则|a+b+c|等于（ ）A0 B3 C D29. 已知、是非零向量且满足，则与的夹角是（ ）A B CD10.若非零向量互相垂直，则下列各式中一定成立的是（ ）ABCD 11已知菱形ABCD的边长为2,求向量+的模的长._。12已知的夹角为120°，且，当时， k= .二向量的坐标形式一知识点若则 特别地： 若，则 = 若，则 二课堂训练1. 已知 2. 设 3. 设点（1）当 时，点在第一、三象限角平分线上；（2）当 时，点在第四象限.4. 已知向量 5. 设向量，则的取值范围为 6. 已知向量= 7.已知向量，根据下列情形求：（1）若_（2）若._8.已知向量= 9.设向量= 10.在，则的面积为 11.平面内给定三个向量（1） 求；（2） 求满足的实数；（3） 若；（4） 设 12.设向量（1） 试计算；（2） 求向量夹角的大小.单元测试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、若向量方程，则向量等于A、 B、C、 D、2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是A、与为平行向量 B、与为模相等的向量 C、与为共线向量 D、与为相等的向量3、A、B、C、 D、4、下列各组的两个向量，平行的是A、， B、， C、， D、，5、若分所成的比为，则分所成的比为A、 B、 C、 D、6、已知，则与的夹角为A、 B、 C、 D、7、已知，都是单位向量，则下列结论正确的是A、 B、 C、 D、CBAD8、如图，在四边形中，设，则A、 B、 C、 D、 9、则向量在向量方向上的投影为A、B、C、D、1010、在中，则A、 B、 C、或 D、或二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11、已知，则线段的中点的坐标是_。12、设是平行四边形的两条对角线的交点，下列向量组：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是_。13、已知，则向量方向上的单位向量坐标是_。14、在中，面积，则=_。三、解答题：（本大题共3小题，共44分）15、已知，（1）若，求；（2）若，求。16、已知，与的夹角为，求。17、已知：求证：互相垂直.参考答案一、选择题：CDDDB CBABC二、填空题：11、（1，-1） 12、（1）、（3） 13、 14、三、解答题15、（1）或（2）或16、 17. 证明：由已知条件得：a+b=(cos+cos，sin+sin)ab=(coscos，sinsin)(a+b)·(ab)=(cos+cos)(coscos)+(sin+sin)(sinsin)=cos2cos2+sin2sin2=11=0(a+b)(ab).【精品文档】第 7 页
