南昌大学第七届高等数学竞赛(09级数学专业类)试题答案.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除南昌大学第七届高等数学竞赛（数学专业类2009级）试卷答案一、 填空题(每空 3 分，共 30分) 1、求极限= ；2、函数不可导点的个数是 1 ；3、=；4、设，则=；5、函数在区间0, 上的最大值为；6、设，则=；7、若 （） ，则=；8、函数在处的n阶泰勒展开式（带佩亚诺型余项）为；9、若，则=； 10、存在的柯西准则是，,当，时，有二、设函数在处连续，对对每一个成立，证明：是常值函数.证明：对每一个，令，及在的连续性，得结论得证。三、证明：函数在上不一致连续.证明：对， ，但是有 所以，函数在上不一致连续.四、设，证明数列收敛证明：又单调增加且有上界，所以数列收敛五、设在上可导，且，试证：存在(0, ),使得. 证明：令 所以在(0, )达到最大值，故存在(0, ),使得即六、设在上可微，且，M是的上界，则M.证明：由拉格朗日定理及，知存在c=于是，M七、设函数在上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界. 证明：，设在处的极限为，则，有，从而。由为的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开区间也是的开覆盖。记M为，中的最大数，则有，有，使得，于是八、任意给定实数，令，（），证明存在且不依赖于.证明：设，由，及介值定理，有，使。下证：，存在介于c与x之间的，使得可证：当时，且=令即得。九、设函数在上单调增加，对于任何，在上可积，且。证明：.，由函数在上单调增加有：又同理由夹逼定理即得【精品文档】第 3 页