《高等数学》 各章知识点总结——第1章.doc
如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流高等数学 各章知识点总结第1章【精品文档】第 7 页第1章函数与极限总结1、极限的概念 (1)数列极限的定义 给定数列xn,若存在常数a ,对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n, 恒有 |xn-a |<e 则称a 是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a , 记为 或xn®a (n®¥).(2)函数极限的定义 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内(或当)有定义,如果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正数d,(或存在X) 使得当x满足不等式0<|x-x0|<d 时,(或当时) 恒有 |f(x)-A|<e , 那么常数A就叫做函数f(x)当(或)时的极限, 记为或f(x)®A(当x®x0).( 或)类似的有:如果存在常数A,对当()时,恒有,则称为当时的左极限(或右极限)记作显然有 如果存在常数A,对当时,恒有,则称为当(或当)时的极限记作显然有2、极限的性质(1)唯一性若,则若,则 (2)有界性(i)若,则使得对恒有(ii)若,则当时,有(iii)若,则当时,有(3)局部保号性(i)若且则,当时,恒有(ii)若,且,则当时,有 3、极限存在的准则(i)夹逼准则给定数列若当时有,则 给定函数, 若当(或)时,有,则(ii)单调有界准则 给定数列,若对有使对有则存在 若在点的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界,则(或)存在4、极限的运算法则(1)若,则(i)(ii)(iii)()(2)设(i)(ii)当时(iii)则5、两个重要极限(1)(2)6、无穷小量与无穷大量的概念(1) 若,即对当(或)时有,则称当无穷小量(2) 若即对当(或)时有则称当无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则(1)(2)(3)(4)当(或)时有,则(5)当(或)时有,则(6)则8、无穷小量的比较若(1),则称当时,与是同阶无穷小。(2),则称当时,与是等价无穷小,记作()。(3),则称当时,是是高阶无穷小,记作()。(4)(或),有,则记()(5),则称当时,是是k阶无穷小,9、常用的等价无穷小当时,有(1)(2)(3)(4)10、函数连续的概念(1) 函数连续的定义 设在点及其邻域内有定义,若(i)或(ii)或(iii)当时,有则称函数在点处连续设在点内有定义,若,则称函数在点处左连续,设在点内有定义,若,则称函数在点处右连续若函数在内每点都连续,则称函数在内连续若函数在内每点都连续,且,则称函数在上连续,记作(2) 函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义若函数: (i)在点处没有定义 (ii)虽然在有定义, 但f(x)不存在; (3)虽然在有定义且f(x)存在, 但f(x)¹f();则函数f(x)在点为不连续, 而点称为函数f(x)的不连续点或间断点。设点为的间断点,(1),则称点为的可去间断点,若(2),则称点为的跳跃间断点,可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点(3)则称点为的无穷型间断点,(4)若不存在且都不是无穷大,则称点为的振荡型间断点,无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点11、连续函数的运算(1) 连续函数的四则运算 若函数在点处连续则在点处也连续(2) 反函数的连续性, 若函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,则其反函数在其对应的区间上也单调增加(或单调减少)且连续。(3) 复合函数的连续性 设函数由函数复合而成,若(1)(2)则 (或)(4) 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的(5) 闭区间上连续函数的性质 ( i)有界性 若,则在上有界 (ii)最大值、最小值定理,若,则在上一定有最大值和最小值(iii)零点性 若,且则至少存在一点使得(iv)介值性 若,且,是介于之间的任一值,则至少存在一点使得