等比数列及其前n项和 学案.doc
精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除高二文科数学基础辅导材料三等比数列及其前n项和学习目标：1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点1等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.答案：(1)2同一个常数公比(2)GG2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：an_.(2)前n项和公式：Sn答案：(1)a1qn1(2)na1典题1已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式 点石成金等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则数列an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0且aan·an2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则数列an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snk·qnk(k为常数且k0，q0,1)，则数列an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.练习一：设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式考点2等比数列的基本运算 1. 练习二：(1)教材习题改编已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式an_.(2)教材习题改编设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.2.易错问题：等比数列的两个非零量：项；公比(1)等比数列x,3x3,6x6，的第4项等于_(2)等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.3.常考题型：考情聚焦等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题主要有以下几个命题角度：角度一求首项a1，公比q或项数n典题22017·浙江绍兴柯桥区高三二模已知等比数列an的前n项和为Sn，满足a52S43，a62S53，则此数列的公比为()A2 B3 C4 D5角度二求通项或特定项典题32017·广西南宁测试在各项均为正数的等比数列an中，a12，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an_.角度三求前n项和典题4(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为()A. B31 C. D以上都不正确 (2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_. 点石成金解决与等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.考点3等比数列的性质1.等比数列的常用性质：(1)通项公式的推广：anam·_(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则am·an_.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，an·bn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk. 答案：(1)qnm(2)ap·aqa2.易错问题：等比数列的基本公式：通项公式；前n项和公式(1)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_.答案：2解析：由a4a1q3，得4q3，解得q2.(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若，则公比q_.答案：解析：易知公比q不为1，由等比数列求和公式得，即1q4，所以q4，得q或q(舍去).3.通性通法：应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：公比应分q1与q1讨论；注意利用性质(1)设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，则此数列的公比q_.答案：1或解析： 当q1时，S33a13a3，符合题意；当q1时，3a1q2，a10，所以1q33q2(1q)，2q33q210，即(q1)2(2q1)0，解得q.综上所述，q1或q.(2)在等比数列an中，已知a1a2a31，a4a5a62，则该数列的前15项的和S15_.答案：11解析：由题意知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，成等比数列，其公比q2，首项为a1a2a31，因此该数列的前5项和就是数列an的前15项的和，故S1511.典题5(1)2017·广东广州综合测试已知数列an为等比数列，若a4a610，则a7(a12a3)a3a9()A10 B20 C100 D200 (2)2017·吉林长春调研在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.点石成金等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.练习三：1.设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B. C. D1或222017·甘肃兰州诊断数列an的首项为a11，数列bn为等比数列且bn，若b10b112 015，则a21_.答案：2 015解析：由bn，且a11，得b1a2，b2，a3a2b2b1b2，b3，a4a3b3b1b2b3，anb1b2bn1，a21b1b2b20.数列bn为等比数列，a21(b1b20)(b2b19)(b10b11)(b10b11)10(2 015)102 015.归纳总结：方法技巧1.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列2常用结论(1)若a1·a2··anTn，则Tn，成等比数列(2)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.易错防范1.特别注意当q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn·(S3nS2n)总成立【精品文档】第 - 3 - 页
