常微分方程习题(8).doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除一、选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个（A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三4方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个5方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D）二、计算题1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通积分1.2. 3. 四证明1.设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C2在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切试卷答案一、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5.D二、计算题1 解：将方程改写为=+ （*） 令u=,得到 =x+u,则(*)变为x=, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。2 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3. 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为4解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为5解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即三、求下列方程的通解或通积分1解 当时，分离变量得等式两端积分得 方程的通积分为2解 令，则，代入原方程，得 当时，分离变量，再积分，得即通积分为： 3解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为四证明1.证明 设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为 由已知条件，得 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得由于，可知否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾故2证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 显然，该方程有零解 假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有= 0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件= 0，于是由解的惟一性，有 这与是非零解矛盾【精品文档】第 4 页