必修二直线与方程复习讲义.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第八章 平面解析几何第一节 直线与方程【考纲知识梳理】一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：.与x轴相交;.x轴正向;.直线向上方向.直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.倾斜角的范围.（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。经过两点的直线的斜率公式是每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为，则注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式且是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则此公式为线段的中点坐标公式。三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。四、两条直线的位置关系【要点名师透析】一、直线的倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角相关链接2已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。例题解析例已知直线的斜率k=-cos(R).求直线的倾斜角的取值范围。（二）直线的斜率及应用相关链接1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；2、求斜率的一般方法：（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；3、利用斜率证明三点共线的方法：已知若，则有A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。例题解析例设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：（三）两条直线的平行与垂直例已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。（1）MOP=OPN（O是坐标原点）；（2）MPN是直角。二、直线的方程（一）直线方程的求法例题解析例求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。（二）用一般式方程判定直线的位置关系相关链接两条直线位置关系的判定已知直线，则（1）（2）（3）（4）例题解析例已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）时，求的值。（三）直线方程的应用相关链接利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。例题解析例如图，过点P（2，1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。（1）当AOB的面积最小时，求直线的方程；（2）当PA·PB取最小值时，求直线的方程。三、直线的交点坐标与距离公式（一）有关距离问题相关链接1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。2、点到几种特殊直线的距离（1）点到x轴的距离。（2）点到y轴的距离.（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。例题解析例已知点P（2，-1）。（1）求过P点且与原点距离为2的直线的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。（二）有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称若点及关于对称，则由中点坐标公式得直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。（2）轴对称点关于直线的对称若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组可得到点关于对称的点的坐标（其中）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。例题解析例求直线关于直线对称的直线的方程。（三）解析法（坐标法）应用例（12）如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PMAB于M，PNAC于N，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。【感悟高考真题】1（2011·北京高考文科·T8）已知点，.若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的个数为（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）12（2011·安徽高考理科·15）在平面直角坐标系中，如果与y都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线3（2011·安徽高考理科·17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形。（）证明直线；（）求棱锥的体积.4（2011·安徽高考文科·17）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆直线与方程复习大全一、 直线与方程：1. 直线的倾斜角 x轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是0°,180°).2. 直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k表示. 即. 当0°时，k0；当(0°, 90°)时，k0；当(90°, 180°)时，k0；当90°时，k不存在.经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线的斜率公式：（1）.若直线过点（，），（，），则此直线的倾斜角是（）°°°°（2）直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A B C ，不存在 D ，不存在（3）. 如图1，直线，的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（ ） A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2C. k1<k2<k3 D. k3<k2<k13、 直线的方程a. 点斜式：直线斜率为k，且过点(x1, y1).注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k0，直线的方程是yy1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是xx1；b. 斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b（bR）c. 两点式：（）直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) d. 截矩式： 直线l过点和点, 即l在x轴、y轴上的截距分别为（a0且b0） 注意：直线l在坐标轴上的截距相等时，斜率为1或经过原点； 直线l在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；e. 一般式：AxByC0（A , B不全为0）注意： 平行于x轴的直线：yb（b为常数）, 直线的斜率为0； 平行于y轴的直线：xa（a为常数）, 直线的斜率不存在； 直线在坐标轴上的截距可以为一切实数 1把直线l的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 .2直线l:在x轴上的截距是 .3过点（，）且在轴，轴上截距相等的直线方程是 .4线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为 .5直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ） A. B. C. D.2，36.mxny1（mn0）与两坐标轴围成的三角形面积为 .7已知，则直线通过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限8 设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）A B C D 9已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ） （A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=010已知直线过点， （1）若的倾斜角是直线倾斜角的，求直线的方程；（2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（3）若与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程。11 过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 12 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程13一条光线从点P（6,4）射出，与x轴相交于点Q（2,0），经x轴反射，求入射光线和反射光线的方程。14.已知A（2，3），B（-3，2），直线l过P（1,1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（） （A）k3/4或k-4 (B)-4k3/4 (C) 3/4k4 (D)以上都不对4、 两条直线的平行与垂直设直线l1：，直线l2：. 则 ； 注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否.1. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= （） A、 -3 B、-6 C、 D、2. 直线的位置关系是 （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定3直线l: 2xyC=0与直线m: 4x2yC=0的位置关系是 .4直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0 没有公共点，求实数m的值.5直线和直线垂直，求的值.6若，又三点A(，0)，B（0，），C（1，3）共线，求的值.7. 已知点A（1,2），B（3,4），C（5,6），D（7,8），则直线AB与CD直线的位置关系是（）（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）重合8. 已知点A（7,4），B（5,6），求线段AB的垂直平分线的方程。9原点在直线l上的射影为点（，），则直线l的方程为 .10已知直线与直线3x+47=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线的方程为_ 11. 点（，m）关于点（n, 3）的对称点为（，），则（）m，nm，n m，nm，n12点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是（A）（3，2）（B）（-3，-2）（C）（-3，2）（D）（3，-2）13与直线l：3x4y50关于x轴对称的直线的方程为（A）3x4y50（B）3x4y50（C）3x4y50（D）3x4y5014与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=05 两条直线的交点1. 若直线l1：A1xB1yC10 ，与直线l2：A2xB2yC20相交则交点坐标为方程组的一组解. 方程组无解 ；方程组有无数解l1与l2重合6. 过定点的直线系斜率为k且过定点(x0 , y0)的直线系方程为yy0k (xx0)；过两条直线l1：A1xB1yC10 ，l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)( A2xB2yC2)0（为参数），其中直线l2不在直线系中.1. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （）A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）2直线当变动时，所有直线都通过定点（ ）（A）（0，0） （B）（0，1） （C）（3，1） （D）（2，1）3若，则直线必经过一个定点是（ ）. A B C D 7平面上两点间的距离设A(x1 , y1) , B(x2 , y2)是平面直角坐标系中的两点，则若线段AB的中点为M(x0 ,y0) , 则1.过点（,）的直线与轴，轴分别交于,两点，且,则的方程是（）x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 2.已知点和则过点且与A,B的距离相等的直线方程为 .3已知直线和点A（-1，2）、B（0，3），试在上找一点P，使得的值最小，并求出这个最小值。4. 已知点，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。5. 求函数的最小值。8 点到直线的距离1. 点到直线距离公式：点P(x0 , y0)到直线l：AxByC0的距离2. 两条平行直线 l1：AxByC10 ，l2：AxByC20间的距离1.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）A 2 B C 1 D 2直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .3 与直线平行，并且距离等于的直线方程是_ 4已知直线l方程为y=kx+k+1，则当点P（2，1）与直线l的距离最远时，直线l的斜率为 .5若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）A B C D6. 求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程; 求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.7已知直线被两平行直线所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线的方程.【考点模拟演练】一、选择题1倾斜角为45°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）A BC D2倾斜角为45°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）A B C D3过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为（   ）   A                         B                     C                     D4已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）A. B. C. D. 5在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为 (   )   A3          B2           C4         D16设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是(   )A平行         B垂直        C重合        D相交但不垂直7点P(2,3)到直线：ax+(a1)y+3=0的距离d为最大时，d与a的值依次为          （    ）A3,-3          B5,1             C5,2            D7,18已知，则直线通过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限9若方程表示一条直线，则实数满足（ ）A. B. C. D. ，10若点到直线的距离为4，且点在不等式表示的平面区域内，则实数的值为（ ）     A.7             B.7 C.3             D.311已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（   ）A                B              C        D12过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且，则直线l的方程为（ ）A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0二、填空题13已知A、B、C三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M满足,点N满足，点P满足，则P点的轨迹方程是 .14若直线与垂直，则的值是 15函数图像上的点到直线距离的最小值是 _ 16直线为参数）上与点的距离等于的点的坐标是    三、解答题17已知直线， （1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴； （5）设为直线上一点，18（本小题满分14分） 已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为 （1）求的值；（2分） （2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分）（3）设为原点，求四边形面积最小值（7分）【精品文档】第 13 页