高中数学选修2-1阶段评估试卷（二）.doc
高中数学选修21阶段评估试卷（二）(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1已知点(m，n)在椭圆1上，则2m4的取值范围是()A42，42 B4，4 C42，42 D4，4 解析：由椭圆的几何性质知，m .422m442.答案：A2若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A2 B1C0 D0或1解析：由题意得>2，所以m2n2<4.又圆m2n24内切于椭圆，所以点P(m，n)在椭圆1内部，则过点P(m，n)的直线与椭圆1有2个交点故选A答案：A3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上一点，AF2AF1，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则椭圆的离心率为()A B1C D1解析：由已知条件，得|AF2|OF1|×2c，|AF1|c.2a(1)c，1.答案：D4已知椭圆的焦点分别为F1(0，)，F2(0，)，离心率e，若点P在椭圆上，且·，则F1PF2的大小为()A BC D解析：由题意可设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，且c，离心率e，a2b2c2，得a2，b1.椭圆的标准方程为x21.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，·，mncos F1PF2，又(2c)2(2)2m2n22mncos F1PF2(mn)22mn2×，12422mn2×，解得mn.cos F1PF2，cos F1PF2，F1PF2.答案：D5已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A，B两点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为()A4 B4C8 D8解析：由题意可知，椭圆1(a>b>0)的焦点在x轴上，由椭圆的离心率e，即4c23a2，由四个顶点构成的四边形的面积为4，根据菱形的面积公式，可知S×2a×2b4，即ab2，由a2c2b2，解得a2，b1，则椭圆的标准方程为y21，由椭圆的定义可知，四边形AF1BF2的周长为4a8.答案：C6若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A2 B3C6 D8解析：由椭圆1可得点F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，2x2，则·x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当且仅当x2时，·取得最大值6.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7设F1，F2分别为椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_解析：由F2AB是面积为4的等边三角形知ABx轴，得×2c，×2c×4，a2b2c2，解得a29，b26，c23.所求的椭圆C的方程为1.答案：18已知点P在椭圆y21上，则x22xy2的最大值为_解析：x22xy2x22x12，2x2，当x2时x22xy2有最大值8.答案：89已知F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且()，()，则|_.解析：()，()，B，C分别为AF1，AF2的中点又O为F1F2的中点，|AF2|，|AF1|，|AF1|AF2|×2aa6.答案：610已知F1，F2是椭圆x22y22的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是_解析：设P(x0，y0)，又F1(1,0)，F2(1,0)，(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|有最小值2.答案：2三、解答题(共50分)11(12分)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，点P为椭圆上的任意一点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值解：设|PF1|x，由椭圆的定义知，|PF2|2ax.|PF1|·|PF2|x(2ax)(xa)2a2.又由椭圆的几何性质可知，acxac.当xa时，|PF1|·|PF2|取得最大值a2.当xac或xac时，|PF1|·|PF2|取得最小值a2c2b2.|PF1|·|PF2|的最大值为a2，最小值为b2.12(12分)椭圆C：1(a>b>0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有PQAPQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)，a22c2b2c2，bc，a22b2，椭圆C的方程化为1，由题意知，椭圆C过点(，1)，1，解得b24，a28，椭圆C的方程为1.(2)当直线l斜率存在时，设直线l：ykx1，由得(2k21)x24kx60，16k224(2k21)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则假设存在定点Q(0，t)符合题意，PQAPQB，kQAkQB，kQAkQB2k(1t)·0，上式对任意实数k恒等于零，4t0，即t4，Q(0,4)；当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上、下顶点(0，2)，(0,2)，显然此时PQAPQB.综上，存在定点Q(0,4)满足题意13(13分)已知点A(0，2)，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程解：(1)设点F(c,0)，因为直线AF的斜率为，A(0，2)，所以，c.又因为，b2a2c2，解得a2，b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2，所以消去y，得(14k2)x216kx120，16(4k23)>0，即k<或k>时，x1x2，x1x2.从而|PQ|··.又点O到直线l的距离d，所以SOPQd|PQ|.令t>0，则4k2t23，SOPQ1，当且仅当t2，即2，解得k±时取等号，满足k2>，所以OPQ的面积最大时，直线l的方程为yx2或yx2.14(13分)(2018·全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)(1)证明：k<；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0，证明：2|.证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减，并由k，得·k0，由题设1，m，于是k.由题设得0<m<，故k<.(2)由题意得F(1,0)，设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)，由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m<0.又点P在C上，所以m，从而P，|.又|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.
