人教A版（2019）高中数学必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计.doc

551 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教材分析：本节的主要内容是两角差的余弦公式；两角和与差的正弦、余弦、正切公式中心内容是建立相关的六个公式，通过探索、证明和初步应用，体会和认识公式的特征及功能引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的六个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的三角恒等变换打下基础本节的学习有着极其重要的地位发展学生数学直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养基于以上分析，本单元的教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程及运用学情分析：对学生而言，前面已经学习了三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象与性质等，对三角函数已经有了初步的认识前面的内容中学习的是一个角的问题，现在继续学习的是关于两个角的和与差的三角函数的形式，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的练习学生已经学习的三角函数知识探索有关三角函数的问题是很自然，鉴于学生独立运用角的终边与单位圆交点的坐标还有一定的困难，需要引导学生感受教材的探索过程内容处理上，教材上给出了单位圆以及角的终边与其交点，让学生通过观察图形获得交点坐标的直观认识，这样处理体现了直观想象数学核心素养根据以上分析，确定本节课的教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学目标：1.掌握由两角和与差正弦、余弦、正切公式的推导过程；2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等；3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变化的常用方法教学重点：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系教学过程：(一)问题导入前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以化简、求值或证明的目的观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系例如，如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的和（或差）的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？下面研究这个问题（二）问题探究探究1 如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究与角，的正弦、余弦之间的关系不妨令，如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，问题1 你能根据三角函数的定义，写出点，的坐标？，连接，若把扇形绕着点旋转角，则点，分别与点，重合根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以平面上任意两点，间的距离公式根据两点间的距离公式，得， 化简得 当时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角，有 此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作设计意图：从形象到抽象，培养学生的数学抽象核心素养（三）问题探究思考1 由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式为基础来推导其他公式例如，比较与，并注意到与之间的联系：，则由公式，有于是得到了两角和的余弦公式，简记作 这里用到的是加法和减法的联系，也可用换元的观点考虑：由于公式对于任意，都成立，那么把其中的换成后，也一定成立由此也可推得公式探究2 上面得到了两角和与差的余弦公式我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化你能根据，及诱导公式五（或六），推导出用任意角，的正弦、余弦表示，的公式吗？诱导公式五 诱导公式六 用换得到: 通过推导，可以得到： 探究3 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角，的正切表示，的公式吗？ 用换得到: 通过推导，可以得到： 注意：必须在定义域内范围内使用，公式，给出了任意角，的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式类似地，都叫做差角公式探究4 和（差）角公式中，都是任意角如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式，你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？例1 利用证明：(1)； (2)证明：(1)（2）设计意图：此处安排了例1，该例题既是两角差的余弦公式的应用，也说明了诱导公式与两角差公式之间的特殊与一般的关系：由上面的关系可以发现，6个诱导公式都可以看成是公式中当或取特殊值时的情况，即诱导公式反映的是圆的特殊对称性比如，公式一反映的是单位圆上的任意一个点，旋转，仍然回到原来的位置；公式二反映的是单位圆上的任意一点关于原点的对称点（或旋转）仍然在单位圆上等等两角差的余弦公式是其一般化的表达：单位圆上任意一个点，旋转任意一个位置后仍然在单位圆上，即反映了圆的旋转对称性后续两角和与差的正弦、余弦、正切公式与诱导公式之间也有对应的关系（四）例题精析例2 已知，是第三象限角，求的值解：由，得又由，是第三象限角，得 所以例3 已知，是第四象限角，求，的值解：由，是第四象限角，得，所以于是有思考2 由以上解答可以看出，在本题条件下有那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？变式 已知，求，的值解：由，当是第三象限角，得于是有我们发现，证明：因为， 所以例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）（2）（3）分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了的三角函数式如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简解：（1）由公式，得（2）由公式，得（3）由公式及，得设计意图：固化概念，提升能力，提升学生的数学运算素养（五）巩固应用1.若，是第二象限角，求，的值解：由，是第二象限角，得所以于是有；.2.计算下列各值（1）；（2）；（3）；（4）分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了的三角函数式如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简解：（1）由公式，得（2）由公式，得另解：由公式，得（3）由公式，得（4）由公式及，得设计意图：该题目要求学生能够从正（从左到右使用公式）、反（从右到左使用公式）两个角度使用公式与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的逆向思维意识和较高的思维的灵活性，而且对公式要有全面、深刻的理解3.已知角都是锐角，求的值分析：角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与带求角间的关系，解：由，是锐角，得因为角都是锐角，所以又，得于是有 （六）单元小结本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法