人教A版（2019）高中数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质教学设计.docx

2.1 等式性质与不等式性质 教材分析：本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等相等用等式表示，不等用不等式表示实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手重要不等式是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般性与特殊性获得“=”成立的条件证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想证明修正再证明得出性质”的方法探究出其他的性质结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式基本性质，探究不等式的基本性质学情分析： 学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达教学中教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理，因此学生会有一定的的困难对于等式的基本性质学生是熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难，由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质因此，教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难教学中，要帮助学生进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质教学目标：1.会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式2.理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系3.运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质4.运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题教学过程：（一）从不等关系中抽象不等式问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等你能举例说明生活中的相等关系和不等关系？师生活动：教师根据学生列举的例子，从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述追问：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速；（2）某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流教师引导学生梳理讨论交流的结果，用不等式表示不等关系的关键是确定问题在涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示设计意图：创设运用不等式表示问题的情景，使学生意识到不等式在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础，引导学生将抽象出不等关系用符号语言表达（二）探究两个实数大小关系的基本事实问题2：你能用不等式表示并解決下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生分析数量关系，并用不等式表达设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为，但不会解不等式与解方程要用等式性质一样，解不等式要用到不等式的性质为此，我们需要先研究不等式的性质实际上，在初中阶段学生已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质 追问：那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？ 师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流教师指出回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子或两个实数的大小关系追问：大家来思考如何比较两个式子或实数的大小关系呢？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流思路一：利用实数的几何意义，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，如图2.1-2，思路二：利用两个式子或实数作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论这个基本事实可以表示为：；设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础 （三）两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较和的大小师生活动：学生能够比较顺利利用两个实数大小关系的基本事实比较出两数大小因为 ，所以 设计意图：此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用问题3：阅读教科书第39页“探究”，你能在图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流教师指出这个会标实际上就是“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是个小正方形由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即（设直角三角形的两条直角边的长为，）而当直角三角形変为等腰直角三角形，即时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系这样，就引出了基本不等式的一种变形形式追问：你能总结一下与的大小关系吗？此不等关系中的取值范围如何？如果，此结论是否仍成立？师生活动：学生总结出，其中是边长，所以当时，上述结论是否成立的可題，只需比较与的大小关系，即，由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时等号成立教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式设计意图：此探究问题的设计，作为相等关系和不等关系的总结，也为引出基本不等式做了铺垫在推导过程中通过教师引导，学生从独立想象，并能够由“形”到“数”的逐步提炼出不等关系，通过再次追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础（四）复习等式性质，梳理思想方法关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础那么不等式到底有哪些性质呢?要研究不等式的性质，我们可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发问题4：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性你能归纳一些发现等式基本性质的方法吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质这其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对于性质1，2只有很少学生能回答出来，教师指出性质1，2反映了相等关系自身的特性，由于它们太明显了，是相等关系本身蕴含的性质，反而容易被忽略学生在教师引导下可以归纳出性质3，4，5是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向 （五）通过类比，探究不等式的性质问题5：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流后得出：不等式的基本性质可从不等式的自身特性和运算两个角度来研究，教师进行总结、归纳、补充并板书出不等式的基本性质1，2，3，4学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即，；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的在对不等式进行论证时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如： （1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数 （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 （3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数 （4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明例如，性质2的证明可由，继而得到性质3的证明中学生能够分析出要证明，只需证明与0的大小关系，也就是与0的大小关系，得出如下证明：由，得，所以，即追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向通过教师课件展示，的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数的正负教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题 设计意图：对同一个概念从不同的角度来表述，有利于揭示概念的本质不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解追问：利用以上不等式的基本性质，我们还可以推导出不等式的其它一些性质吗？师生活动：由性质3学生得到猜想“大数加大数大于小数加小数”，即“如果，那么”学生分析证明方法，若要证只需证，由已知，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时起到重要作用追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同实数如果同乘不同的实数，你有何结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出：两边同乘负数不等号要変方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的教师指出此性质为不等式性质6，即“如果，那么”追问：如果性质6中，你有何新的结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出“如果，那么”，并能推广到“如果，那么”教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例设计意图：证明以上性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用，通过不等式性质的推导，让学生经历“猜想证明修正再证明得出性质理解”的研究数学问题的过程 （六）不等式性质的简单应用 例2 已知，求证师生活动：学生独立思考得出分析：要证明，因为，所以可以先证明利用已知和性质3，即可证明设计意图：通过本题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路对于有些不等式的证明，要在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”此外，通过本例引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路 （七）单元小结 教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题： （1）本单元我们研究了两个实数大小关系的基本事实，这个基本事实在研究不等式时有什么作用？ （2）本单元我们还重点学习了不等式的性质，我们采取什么样的方法进行研究？能否梳理并总结出探究的过程？师生活动：问题（1）学生总结并回答，研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手问题（2）学生总结并回答，通过梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质，再由不等式的基本性质推理得到不等式另外一些常用性质教师帮助整理：经历“前备经验归纳特点类比猜想推理证明理解表达应用反思”的过程设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法 （八） 布置作业 教科书习题2.1第1，2，3，4，5，6题 五、目标检测设计 1用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度（单位：m）从地面起不超过4 m； （2）a与b的和是非负实数； （3）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建 成绿地，仓库的长(单位：m)大于宽(单位：m)的4倍设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力2比较和的大小 设计意图：利用两个实数大小关系的基本事实比较大小3用不等号“”或“”填空： （1）如果，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么； （4）如果，那么 设计意图：考查学生对不等式性质的简单应用能力4已知，求证 设计意图：考查学生对不等式证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质的能力