人教A版（2019）高中数学必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教案.docx

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学目标：经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性教学难点：周期函数定义的理解教学过程：（一）整体感知引导语：根据研究函数的思路可知，通过定义得到函数的图象之后，接下来应该利用函数的图象研究其性质了所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性（二）新知探究1周期性问题1：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？预设的师生活动：阅读教科书5.4.2节“1周期性”中的内容预设答案：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数f(x)的周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；周期函数的代数关系是f(x+T)=f(x)；周期函数的图象每隔一个周期就会重复出现设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫追问：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？预设答案：明确了一个函数的周期，那么我们研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚一个周期内的图象与性质，整体定义内的情况就都清楚了，提高了研究的效率设计意图：为前面研究三角函数的图象的方法提供一定的理论支持，又为后面的研究做好铺垫问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？预设的师生活动：学生回答，教师启发学生说全预设答案：2k，其中kZ且k0，或±2，±4，利用诱导公式一，即sin(2k+x)=sin x可以解释猜想的正确性追问1：我们知道，sin（+）=sin（），sin（+）=sin，sin（+）=sin，那么是正弦函数y=sin x的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说2k（kZ）是正弦函数的周期？预设的师生活动：学生自己思考并回答预设答案：不是比如sin（+）sin根据诱导公式可知，当x取正弦函数定义域内的每一个自变量的值时，自变量的值每增加2k（kZ）个单位，函数值都用重复出现追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？预设的师生活动：教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想预设答案：2对于任意的t（0，2)，都可以找到一个x0，使得sin(x0+t)sin x0因此正弦函数的最小正周期是2教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期追问3：在此基础上，你能说出余弦函数的周期吗？预设的师生活动：学生观察余弦函数图象并回答结论预设答案：2设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期2奇偶性问题3：（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？（2）知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题预设答案：（1）由诱导公式sin(x)=sinx，cos(x)=cosx，可知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（2）知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性，为后续的研究做好铺垫例1 求下列函数的周期：（1）y3sin x，xR；（2）ycos 2x，xR；（3）y2sin，xR追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？解答完成之后思考，这些函数的周期与解析式中哪些量有关？预设的师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解预设答案：解：（1）xR，有3sin(x+2)=3sin x，由周期函数的定义可知，原函数的周期为2（2）令z2x，由xR得zR，且y=cos z的周期为2，即cos(z+2)cos z，于是cos(2x+2)cos 2x，所以cos 2(x+)cos 2x，xR由周期函数的定义可知，原函数的周期为（3）令z，由xR得zR，且y=2sin z的周期为2，即2sin(z+2)2sin z，于是2sin(+2)2sin()，所以2sin(x+4)2sin()，xR由周期函数的定义可知，原函数的周期为4对于周期问题，求解的步骤如下：第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）ycos 2x，xR”，令2xt，所以yf(x)cos 2xcos t；第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由cos（2+t）cos t，代入可得：cos（2+2x）cos 2x；第三步，根据定义变形：变形可得：cos 2（+x）cos 2x，于是就有f(x+)f(x)；第四步，确定结论：根据定义可知其周期为周期与自变量的系数有关仿照上述分析过程可得函数yAsin(x+)的周期为：T一般地，如果函数yf(x)的周期是T，那么函数yf(x)的周期是设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数yAsin(x+)的周期，为后续学习做准备（三）布置作业教科书习题5.4第2，3，15，18题（四）目标检测设计教科书第202页练习第2（1）（3），3题；预设答案：2（1）；（3）；3（1）（3）（4）为奇函数，（2）为偶函数设计意图：考查学生求对函数周期性、奇偶性的方法的掌握