人教A版（2019）高中数学必修第一册4.4.3不同函数增长的差异 教案.docx

4.4.3 不同函数增长的差异教学目标：利用信息技术，通过列表法和图象法，探究不同函数增长速度的各自特点及差异，并总结其中的规律教学重点：一次函数、对数函数和指数函数各自增长的特点教学难点：归纳总结出不同函数增长的差异体会对比地研究多个函数的过程教学过程：引导语：在4.2.1的例2的第（1）小问中，进一步研究了这一节的问题1，比较了A，B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，两种增长方式存在很大的差异那么该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异？1指数函数与一次函数的增长差异问题5：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间0，）上的增长差异你能描述一下指数函数增长的特点吗？追问1：不妨以函数和y2x为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？师生活动：先由学生独立完成然后展示，教师可以利用信息技术，予以补充完善。对应表如表3所示，函数图象如图10所示学生独立思考之后互相讨论，最后在教师的帮助下得出结果从图象上，发现函数和y2x有两个交点（1，2），（2，4），并且这两个交点将区间0，）分成了三段，两个函数的图象位置在这三段有所不同这表明，虽然这两个函数在0，）上都单调递增，但他们的增长速度不同，函数y2x的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化  追问3：在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？师生活动：有了前面的经验，借助计算工具和信息技术，教师引导并演示，全班集体完成即可对应表如表5所示，函数图象如图11所示师生活动：学生根据上述要求完成追问5：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与指数函数的增长差异练习6如图12所示，（1）（2）（3）分别是函数y和y5x在不同范围的图象，借助计算工具估计出使5x的x的取值范围（精确到0.01）解：通过计算，如表6所列数据表6xy3xy5x0.261.331.300.271.351.352.1710.8510.852.1810.9710.90因此使5x的x的取值范围是0，0.262.18，设计意图：通过观察图象，并借助计算工具估计出使5x的x的取值范围，进一步体会指数函数与一次函数增长的特点和差异2对数函数与一次函数的增长差异问题6：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间0，）上的增长差异你能描述一下对数函数增长的特点吗？追问1：类比问题5，你计划怎样研究这个问题？师生活动：学生通过类比规划研究方案：先取特殊的函数进行研究，然后归纳得到一般结论追问2：既如此，不妨以函数ylgx和为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象师生活动：先由学生独立完成，然后教师利用信息技术予以补充完善对应表如表7所示，函数图象如图13所示追问3：通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？师生活动：教师提出问题，学生讨论得出结果从图象上，发现函数ylgx和虽然在0，）上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数ylgx的图象越来越平缓，就象与x轴平行一样追问5：如果将lgx放大1000倍，再对函数y1000lgx和的增长情况进行比较，那么仍然有前面所述的规律吗？师生活动：有了前面的经验，教师引导学生进行定性分析从图象和数据上都可以看出，随着x的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小所以一定存在一个，当x时，y1000lgx的增长速度比的增长速度小，并且y1000lgx的增长速度还会持续减小下去追问6：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？师生活动：有了对特定对数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充通过对ylgx和的研究发现，虽然两个函数在区间0，）上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，ylgx的增长速度越来越慢，与的增长速度相比几乎微不足道设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长差异练习7如图14，对数函数ylgx的图象与一次函数yf（x）的图象有A，B两个公共点求一次函数yf（x）的解析式 解：根据对数函数的性质可知，ylgx过定点（1，0），即A（1，0）又当x2时，对数函数ylg2，即B（2，lg2）因此过A，B两点的直线方程为ylg2×（x1），即一次函数yf（x）的解析式为ylg2×（x1）设计意图：通过观察图象，并根据对数函数与一次函数的性质，作定量计算，进一步体会对数函数与一次函数增长的特点和差异3同时比较一次函数、对数函数和指数函数问题7：在问题5和问题6中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数、对数函数和指数函数同时比较，你能得到什么结论？师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索函数图象如图15所示 追问2：一次函数ykx（k0），对数函数（a1）和指数函数（b1）的增长有何差异？师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充一般地，无论k（k0）、a（a1）、b（b1）取何值，三种函数在区间（0，+）上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值追问3：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？师生活动：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可，没有特定的标准答案设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，体会它们之间增长的差异 解：根据函数图象，该函数应该呈对数增长结合函数的性质，该函数过（1，0），符合对数函数的特点注意到当函数值y1时，x的值大约在2到3之间，所以该对数函数的底数应该在2到3之间因此yf（x）可能是ylnx，选C设计意图：通过列表法和图象法，进一步体会一次函数、对数函数和指数函数的增长差异并应用这种差异，解决问题4课时小结教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：（1）概述本节课研究一次函数、对数函数和指数函数增长的差异的基本过程（2）掌握不同函数增长的差异，有什么现实意义？师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善（1）本节课先从简单情况入手，先分别比较一次函数与指数函数、一次函数与对数函数，然后再将三个函数放在一起同时比较在比较它们增长的差异时，先从特定情况研究，分别通过图象、数据分析计算它们增长的差异，然后再归纳出一般情况（2）掌握了不同函数增长的差异，就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律设计意图：（1）在前面两个课时中，是针对一个函数的研究套路“背景概念图象与性质应用”本课时是同时研究多个函数的相关性，通过总结研究过程，使学生初步了解对比地研究多个相关对象的基本套路（2）了解不同函数增长的差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函数、对数函数和指数函数之间的联系，以及它们的差异，并能够学以致用，达到知识技能的灵活应用5布置作业根据课堂教学情况，从教科书习题4.4中选择合适的题目可选题目：第6，11题（六）目标检测设计设计意图：考查学生是否掌握一次函数、对数函数和指数函数增长的差异，并能够应用增长差异和增长趋势，解决相关问题10