高中数学选修2-1阶段评估试卷（三）及答案解析.doc

高中数学选修21阶段评估试卷（三）(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1若双曲线1的渐近线过点M(1,2)，则双曲线的离心率为()A BC D解析：依题意，渐近线yx过点M(1,2)，b2a.又c2a2b25a2，e25，e.答案：D2(2019·陕西民族附中月考)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y220x的焦点重合，且其渐近线方程为y±x，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1解析：由题意得，抛物线的焦点坐标为(5,0)，则双曲线C的焦点在x轴上，且c5.渐近线方程为y±x，即ba，则b2a2c2a225a2，则a29，b216，故双曲线C的方程为1.答案：A3设双曲线1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于()A B2C D解析：双曲线的渐近线为y±x，由得x2±x10.由题意得，240，得2，4，得e.答案：C4(2019·黄山市质检)已知椭圆C：1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，长轴长等于圆x2y22x150的半径，则椭圆C的方程为()A1 B1Cy21 D1解析：抛物线y24x的焦点坐标为(，0)，即c.圆的方程配方，得(x1)2y216，半径r4.2a4，a2.b2a2c21.故椭圆方程为y21.答案：C5过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1()A45° B60°C90° D120°解析：设抛物线方程为y22px(p>0)，如图|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90°.答案：C6已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x21相交于M，N两点，若MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p()A2 BC3 D6解析：由题意知，抛物线y22px的准线方程为x，将其代入双曲线方程x21，解得y± .由双曲线的对称性，知MNF为等腰直角三角形，FMN，tanFMN1，解得p2.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7已知对任意aR，直线l：x(a1)y3a10都经过定点M，且M又在一条以原点为顶点，以y轴为对称轴的抛物线上，则这条抛物线方程是_解析：直线l的方程可化为xy1a(y3)0，M(2,3)依题意可设抛物线方程为x22py(p0)，2p.抛物线方程为x2y.答案：x2y8已知抛物线C的方程为y22px(p>0)，M的方程为x2y28x120，如果抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_解析：把M的方程化为(x4)2y24，则M(4,0)，半径R2.又抛物线y22px(p>0)的准线方程为x，由题意，得2，解得p12或4.答案：4或129设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则_.解析：由题意，可知直线AB的斜率存在且不为0，如图所示，过点A作AAl，BBl，垂足为A，B.设过点M(，0)的直线方程为yk(x)，将其代入y22x并整理，得k2x2(2k22)x3k20，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB3.因为|BF|2，所以|BB|2.所以xB2.由题意知，xA2.所以.答案：10点P为双曲线1(a>0，b>0)右支上的一点，其右焦点为F2，若直线PF2的斜率为，M为线段PF2的中点，且|OF2|F2M|，则该双曲线的离心率为_解析：设左焦点为F1，|OF2|F2M|c，|OM|c.|PF1|2|OM|2c，|PF2|2c.|PF1|PF2|2a，2c2c2a，e.答案：三、解答题(共50分)11(12分)(2019·郑州高三模拟)已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)直线AB的方程可表示为y2，与抛物线y22px联立，可得4x25pxp20.由题意知，该方程必有两个不等实根所以x1x2.由抛物线定义，知|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程为y28x.(2)将p4代入4x25pxp20，可得x25x40，解得x11，x24，所以y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41，42)又y8x3，即2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.12(12分)设抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，且过点F的直线交C于A，B.点T(t,0)(t>0)(1)当t2时，若过T的直线交抛物线C于两点，且两交点的纵坐标乘积为4，求焦点F的坐标；(2)如图，直线AT、BT分别交抛物线C于点P、Q，连接PQ交x轴于点M，证明：|OF|，|OT|，|OM|成等比数列解：(1)设过点T(t,0)的直线方程为xmyt，代入y22px，消去x，可得y22pmy2pt0.由韦达定理可得，两根之积为2pt，由题意知，2pt4，t2，所以p1.所以焦点F的坐标为.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由(1)同理，可得y1y2p2，y1y32pt，y2y42pt，所以y3y44t2，又两式相减，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为yy3(xx3)令y0，可得x，即|OM|.又|OF|，|OT|t，所以有|OF|OM|OT|2，所以|OF|，|OT|，|OM|成等比数列13(13分)(2019·凯里市第一中学高二期末)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为42.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线yk(x1)与椭圆C相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标为，求k的值；在x轴上是否存在点Q，使 Q·Q 为定值？若是，求点Q的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题意得，e，2a2c42，由解得，a2，c，b，椭圆C的方程为1.(2)由消去y，得(12k2)x24k2x2k240，16k44(12k2)(2k24)24k216>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，线段AB的中点的横坐标为，所以，即k2，所以k±.假设存在定点Q，使·得为定值，设点Q(m,0)，(x1m，y1)，(x2m，y2)，所以·(x1m，y1)·(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(mk2)(x1x2)k2m2(1k2)(mk2)k2m2为定值，即，故2×(4m2)2m24m1，解得m，所以当m时，·为定值，定值为.14(13分)(2017·北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解：(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得，4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)因为直线ON的方程为yx，所以点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1.故A为线段BM的中点