人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.2用二分法求方程的近似解教学设计.docx

4.5.2 用二分法求方程的近似解教材分析：对于区间a,b上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法，这种方法由“区间”端点对应的数，研究“点”对应的具体的数：通过不断缩小“区间”，由“区间”左端点对应的单调递增数列，以及右端点对应的单调递减数列，不断逼近这一系列“区间”组成的区间套中的具体点对应的数.二分法的本质仍然是通过数的运算研究问题.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.从高中数学角度，二分法体现出函数在数学内部的应用.从高等数学角度，二分法所采用的使实数区间向某一个点收敛的方法，是证明有关连续性结论的基本思路.从函数零点与方程的解的关系，到函数零点存在定理，再到利用二分法求方程的近似解，学生经历了一个完整的利用函数研究问题和解决问题的过程.从中不但能体会到函数的工具性，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验，这对提高学生分析问题和解决问题能力，培养学生理性精神有一定的帮助.通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，体现了由具体到一般的认知过程；在求方程的近似解的过程中，需要重复计算区间中点，以及中点的函数值，涉及到的较复杂的数据.因此本节课主要发展学生的数学抽象和数据处理核心素养.教学重点：用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.学情分析：（1）学生已经学习了零点存在定理，容易想到通过逐渐缩小函数零点所在区间的办法来求方程的近似解，对二分法的理解不存在困难.（2）学生还没有算法的基本思想，对于求近似值的问题也接触较少，因此在总结用二分法求函数零点近似值的一般步骤时，得出步骤3中的“令b=c”、“令a=c”和步骤4中的“若|a-b|<，则得到零点的近似值为a或b”可能会有些困难.因此本节课的教学难点为：根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值的一般步骤.破解这个难点的关键是，让学生用自己的语言准确描述求方程lnx+2x-6=0近似解的每一步，理解精确度的含义，搞清楚其中循环的部分，明确循环结束的条件.（3）在利用二分法求方程近似解的过程中，数值计算较为复杂，这对获得给定精确度的近似值增加了困难.因此，本节课的另一个教学难点为：利用二分法求方程在给定精确度下的近似解.要破解这个难点，需要恰当的使用信息工具.教学目标：1.通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程方面的应用，渗透极限思想.2.通过总结二分法的实施步骤，使学生经历由具体到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力.3.根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解，发展数据处理核心素养.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学难点：二分法原理的理解.教学过程：（一）引入问题、探讨方法引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验给出判断，教师补充.预设的答案：学生的回答是否定的，原因是方程lnx+2x-6=0没有求根公式.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（“精确度为”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于”）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生思考和回答，教师启发学生说明理由,给出区间的中点的定义.预设的答案：零点在区间（2,3）内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师指出：一般地，称为区间(a,b)的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：由计算工具算得f(2.5)=-0.084，由f(2.5)f(3)<0可知,零点在区间（2.5，3）内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知,零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围。设计意图：通过研究如何求函数f(x)=lnx+2x-6的零点，使学生理解二分法的基本原理.（二）解决问题，实施方法问题2：当精确度为0.01时，求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.追问1：根据问题1的研究，取区间（2,3）的中点2.5，算得f(2.5)=-0.084，因为f(2.5)f(3)<0,所以零点在区间（2.5，3）内.再取区间（2.5,3）的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间（2.5，2.75）内（如表1和图1），请你重复这样的步骤,继续缩小零点所在区间，直到区间长度小于0.01为止，并将你的结果填写在表1中.师生活动：学生操作计算工具，将算得的数据填写在表格中.预设的答案：如表2追问2：根据填好的表格，请你给出函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.师生活动：学生回答，教师补充.预设的答案：区间（2.53125，2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值.教师补充：为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以x=2.53125(或2.5390625)可以作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解.设计意图：通过求函数f(x)=lnx+2x-6的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程。（三）总结提炼，规范方法问题3：在问题2中，我们用怎样的方法求函数f(x)=lnx+2x-6零点近似值？这种方法适用于哪些函数？师生活动：学生回答，教师补充.预设的答案：我们通过不断地把函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值.教师在学生回答的基础上形成“二分法”的定义：对于区间a,b上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法.设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义.问题4：根据求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤吗？追问1：回顾求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值的过程，我们主要经历了哪些环节？师生活动：教师引导学生回顾求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值的过程，学生回答问题，教师补充.预设的答案：主要经历了以下环节：1.确定初始区间：由f(2.5)f(3)<0，得到f(x)=lnx+2x-6的零点所在区间（2，3）.2.不断缩小区间：通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小.3.得到近似值:当零点所在区间的长度小于精确度的范围，把区间的一个端点作为零点的近似值.追问2：在不断缩小零点所在区间的环节中存在一个重复操作，这个重复操作由哪些“动作”构成？什么时候结束？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：在不断缩小零点所在区间的环节中存在的重复操作由以下“动作”构成：1.计算区间中点；2.计算中点函数值；3.计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；4.确定零点所在区间.当零点所在区间的长度小于精确度的范围时，重复操作结束.追问3：根据对追问1和追问2的思考，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤吗？师生活动：学生讨论，教师指导，师生共同完成.预设的答案：给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：1.确定零点的初始区间a,b，验证f(a)f(b)<0.2.求区间（a,b）中点c.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在区间：（1）若f(c)=0（此时，=c）,则c就是函数零点；（2）若f(a)f(c)<0（此时，（a,c），则令b=c；（3）若f(c)f(b)<0（此时，（c,b），则令a=c.4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点的近似值为a（或b）；否则重复步骤24.设计意图：根据求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤.（四）例题实践，熟悉方法例 借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.师生活动：教师先请学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答.预设的答案：原方程即，令，用信息技术画出函数y=f(x)的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）. 观察图2或表3可知f(1)f(2)<0，说明该函数在区间(1,2)内存在零点.取区间(1,2)的中点x1=1.5，用信息技术算得f(1.25)-0.87，因为f(1.25)f(1.5)<0，所以（1,1.5）.再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25，用信息技术算得f(1.5)0.33，因为f(1.25)f(1.5)<0，所以（1.25,1.5）.同理可得，（1.375,1.5）,（1.375,1.4375）.由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取1.375.设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解.（五）练习运用，巩固方法练习1（教科书第146页练习第1题）：借助信息技术，用二分法求函数在区间（0,1）内零点的近似值（精确度为0.1）.预设的答案：零点所在区间中点的值中点函数近似值（0,1）0.5-0.55（0.5,1）0.750.3156（0.5,0.75）0.625-0.1637（0.625,0.75）0.68750.0636（0.625,0.6875）0.65625-0.0530因为|0.625-0.6875|=0.0625<0.1,所以原函数的零点近似值可取0.625.练习2（教科书第146页练习第2题）：借助信息技术，用二分法求方程x=3-lgx在区间（2,3）内的近似解（精确度为0.1）.预设的答案：原方程即x+lgx-3=0，令f(x)=x+lgx-3，零点所在区间中点的值中点函数近似值（2,3）2.5-0.10206（2.5,3）2.750.1893（2.5,2.75）2.6250.0441（2.5,2.625）2.5625-0.0288（2.5625,2.625）2.59375因为|2.5625-2.625|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取2.625.设计意图：通过练习巩固利用二分法求函数零点的近似值.（六）梳理小结问题5：你能说出给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤吗？从二分法中，你能体会到怎样的数学思想和方法？本节课我们经历了怎样的学习过程？从中你有怎样的收获和感悟？师生活动：学生回答，学生补充，教师引导.预设的答案：给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：1.确定零点的初始区间a,b，验证f(a)f(b)<0.2.求区间（a,b）中点c.3.计算f(c)，并进一步确定零点所在区间：（1）若f(c)=0（此时，=c）,则c就是函数零点；（2）若f(a)f(c)<0（此时，（a,c），则令b=c；（3）若f(c)f(b)<0（此时，（c,b），则令a=c.4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点的近似值为a（或b）；否则重复步骤24.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.本节课我们通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，经历了由具体到一般的认知过程，从中不但能体会到逼近思想和算法思想，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验.设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的数学思想方法，交流分享关于本节课的收获.（七）扩展延伸通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，不但计算量较大，而且要重复相同的步骤，因此可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算，图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解. 设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题.（八）布置作业教科书习题4.5第4,5，8题.六、目标检测设计1.下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 (  ) 设计意图：加深对利用二分法求函数零点的适用条件的理解.2.用二分法求方程的近似解时，若初始区间长度为 2，精确度要求为 0.05，则取中点的次数是 (  )A. 4  B. 5  C. 6  D. 7 设计意图：强化对一定精确度下的近似值的认识.3.用二分法计算函数 的一个正数零点，附近的函数值参考数据如下： 则方程的一个近似根（精确度 0.1）为 设计意图：巩固用二分法求函数零点的近似值.11