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圆锥曲线的性质及推广应用 江西省抚州一中:张志恒目 录1 引言32 圆锥曲线的分类，性质及应用42.1 圆锥曲线的分类42.2 圆锥曲线的性质52.3 圆锥曲线在生活中的应用83圆锥曲线性质的推广应用113.1 直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用113.2 数学问题在圆锥曲线中的推广13总 结15参考文献：15致 谢15圆锥曲线的性质及推广应用摘要：本文在简单介绍圆锥曲线的基础上，对圆锥曲线在中学数学的一些定义及其相关性质的讲解分析，即椭圆、双曲线、抛物线的性质，并在其基础上对圆锥曲线的几个性质在实际生活中进行推广应用。天体的运行时的轨迹经常用圆锥曲线来描述，圆锥曲线在日常生活中也很常见，并且人们在现实生活中也广泛运用到圆锥曲线的一些光学性质 。并利用一些常见的题型对其光学性质在生活中的推广应用进行分析，讲解。关键词：圆锥曲线；性质；推广；应用Abstract Based on the simple introduction of conic curve,on conic curve in the analysis on some definition and properties of middle school mathematics.namely the properties of elliptic,hyperbolic,parabolic,and on the basis of several properties of conic curves in real life to be.Conic curve is often used to describe the orbit of the curve,the curve is very common also in daily life ,optical properties and conic curve is also widely used in real life.And the application of its optical properties in life are analyzed by means of some common questions explan.Keywords:conic;classification;properties;application圆锥曲线的性质及推广应用引言圆锥曲线是解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问题，它处于代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题之一。古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯，利用平面截取一个对顶的圆锥，就根据在平面的不同位置，可分别得出双曲线，椭圆和抛物线；当两个底面都与平面相交的时候，在圆锥的侧面就可得到双曲线；当底面和平面都没有相交的时候（就是与所有的母线都相交），在圆锥的侧面得到的就是椭圆，特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆；而当平面与对顶圆锥的一个底面相交的时候，在圆锥的侧面得到的就是抛物线了。本文在此基础上简单的概括了圆锥曲线的定义及其性质，结合生活实际介绍了圆锥曲线在生活中的运用，并利用实际例题进行分析、见解。我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。 本文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆锥曲线的性质及推广应用。2 圆锥曲线的分类，性质及应用2.1.圆锥曲线的分类在（平面）直角坐标系中，设二次曲线的方程为记 则我们称是二次曲线的不变量，为二次曲线的半不变量。由不变量给出二次曲线的分类：I 椭圆型： 椭圆 ， 虚椭圆（无轨迹） ， 一点 ，II 双曲型： 双曲线 ， 一对相交直线 ，III 抛物型： 抛物线 ， 一对平行直线 ， 一对虚平行直线（无轨迹） ， 一对重合直线 ， 当二次方程的图形是一点或直线的情形时，称二次曲线是退化的。因此从上述二次曲线的分类可知，的符号判别了曲线的类型，而或就判别了曲线的非退化或退化的情形。椭圆，双曲线和抛物线这三种曲线统称为圆锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质2.2.1圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。2.2.2 椭圆的性质定义1 平面内与两定点F、F的距离的和等于常数2a(2a>| FF |)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即：PF+PF=2a。定义2 椭圆的第二定义，准线方程及离心率。动点M(x,y)与定点F(-c,0)的距离和它到定直线L: x=-的距离的比是常数，(a>c>0)时,M点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0<e<1)的点的轨迹叫椭圆。我们把定值e= (0<e<1)，叫做椭圆的离心率。定理1 设AB是椭圆的右焦点弦，准线与x轴的交点为，则小于。定理2 设椭圆与一过交点的直线交于A（x,y）,B(x,y)两点，则AB称为弦，且AB=x-x。定理3 设椭圆与一过交点且垂直于长轴的直线交于A，B,两点，则AB称为通径，AB=。2.2.3 双曲线的性质定义1 平面内一动点P与两个定点F，F的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 即PF-PF=2a，标准方程为。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.。通常FF记为2c， 正常数记为2a.。定义2 双曲线的第二定义，准线方程及离心率。动点M(x，y)与定点F(-c，0)的距离和它到定直线L: x=-的距离的比是常数，(a>c>0)时，M点的轨迹即为双曲线。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0<e<的点的轨迹叫双曲线。我们把定值e= (0<e<1)，叫做椭圆的离心率。定直线为准线，方程为x= 定理1 渐近线是双曲线特有的性质，即无限接近但不可以相交，当焦点在x轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x；当焦点在y轴上时，双曲线渐近线的方程是y=x。定理2 当半实轴长=半虚轴长（即a=b，）时，双曲线称为等轴双曲线，渐近线方程为y=x，其标准方程为x2-y2=C，其中C0；离心率e= 2.2.4 抛物线的性质定义1 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线焦点，直线叫做抛物线准线。定义2。定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值离心率e不同，当e1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中为抛物线上定理1 抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。定理2 设AB是抛物线的长为m的动弦，则(1) 当（通径长）时，AB的中点M到轴的距离的最小值为；(2) 当（通径长）时，AB的中点M到轴的距离的最小值为。定理3 抛物线焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A（x,y）,B(x,y)两点，直线OA与OB的斜率分别为k,k，直线l的倾斜角为，则有，。例1. 已知一抛物线的标准方程是，则求此抛物线的准线方程及它的焦点坐标 ； 已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程。解：因为，所以准线方程是.焦点坐标是， 由题可知所求抛物线的焦点在轴负半轴上，且，则所求的抛物线的标准方程就为2.3.圆锥曲线在生活中的应用 圆锥曲线是描述各大星系围绕运行的曲线，也是现实当中随处可见的曲线，再者圆锥曲线的光学性质在日常生活当中运用甚多。例2、如图，我国年月日发射的第一颗人造地球卫星“东方红”号，是以地心为一个焦点的椭圆。已知人造地球卫星的近地点（距地面最为近的点）与地面之间的距离为,远地点（距地面的距离最近的点）与地面之间的距离为，且、都在同一直线上，地球半径大约是，求卫星运行的轨道方程（精确到）.解：如图1建立直角坐标系，让点、在轴上，且为椭圆的右焦点（则记为左焦点）。 图1由于椭圆的焦点在轴上，则假设它的标准方程为： 则 , .解：，.所以 用计算器求得，因此，卫星的轨道方程是圆锥曲线的光学性质和应用 一只灯泡散出的光，会以灯光为点形成球形射出，然而，灯泡装在手电筒里以后适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这到底由什么原理组成的呢？ 其实在电筒离得小灯泡的身后就有一面反光镜，这面镜反光镜的镜面的形状是一个由我们如上所述抛物线的原理，即绕着它的轴旋转而得到的一个曲面【8】（如图2所示）这个面就被称为抛物面。经证明，抛物线有一重要的性质即从焦点射发出的光线，在经抛物面反射后，其反射光线就会平行于抛物线的对称轴。探照灯也是利用这个原理设计的。图2 同样的道理我们运用抛物线的这个性质理论，都可让一束抛物线的轴的光线且是平行与抛物线的，它在经抛物面的反射候会集中于它的焦点上。在生活中这个原理也被人们应用来设计了一种可以为食物加热的太阳灶。就是在太阳灶上面安装了一个形如旋转抛物面的一面反光镜，在太阳光和这面反光镜的轴平行的时候，经过反射的太阳光会集中于它的焦点出，此时这个位置的温度就会逐渐变得很高。 双曲线和椭圆的光学性质与抛物线的光学性质之间是有一些不同的。由双曲线的一个焦点所发出的光线在经其反射过后，其反射光线一定是散开的，就好似从另外的一个焦点射出来的那样（如图3所示）。然而由椭圆上一焦点所散出的光线，在经其反射之后，反射的光线会交于椭圆的另外一个焦点上（如图4所示）， 当然双曲线以及椭圆的光学性质也各种设计以及生活当中被人们广泛地运用。 图4 图3例3、生活中、探照灯上的反射镜的轴截面是属于抛物线范畴（如图5所示），探照灯的光源即抛物线的焦点，已知灯口圆的半径是厘米，且灯深为厘米，求抛物线的焦点所处位置及抛物线的标准方程 。 图5 图6解：如上图6所示，我们可以看见在探照灯的轴的截面所处的平面上建立一个平面直角坐标系，使得反光镜的顶点（也是抛物线的顶点）与原点重合，并且轴是垂直于灯口直径的。 假设所求的抛物线的标准方程是。由题可知点的坐标是，代入方程，可得 ,即 .所以所求抛物的标准方程为：，焦点坐标为：。3. 圆锥曲线的性质及推广应用3.1 直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用例4 过原点且斜率为正值的直线交椭圆于E,F两点，设A (2,0), B(0,1),求四边形AEBF面积S的最大值。分析： 由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧AB上的点F到直线AB的距离最大时，四边形AEBF的面积取最大值，不难发现此时的点F恰是椭圆平行于AB的切线与椭圆的共共点。解 设直线是与直线AB平行的椭圆的两条切线，则当E,F分别与两切点重合时，四边形AEBF面积S取最大值。设切线的方程为，代入椭圆方程可得，令得，即两切线的方程为，它们的距离为，而，故。 例5 已知A(1,1)为椭圆内一点，为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点。求的最大值和最小值。解 已知 ，左焦点，右焦点。由椭圆的定义 由 知（当在延长线上的处时，取右“=”，当在的反向延长线的处时，取左“=”）即的最大值、最小值分别为，于是的最大值为，最小值为。反思：利用三角形两边之和大于第三边的性质求得最值。例6 求二元函数的最小值 分析：如图所示，的表达式是两点、之间距离的平方，且所以，、分别是圆与双曲线上的一点。 图9易知，所以小结：由于平面解析几何本身是数形结合的产物，所以借助图形的几何性质 也是破解圆锥曲线问题的重要对策，而且往往能收到事半功倍的效果。3.2 数学问题在圆锥曲线中的推广定理1：如图2，有心圆锥曲线（）是ABC的内切圆锥曲线.分别与BC、AB、AC相切于点D、E、F，DO的延长线交EF于点G，AG的延长线交BC于点H，则有.证明：设点A的坐标为，点D坐标 为，则有，过点D的切线方程为： 由引理1可知过点A的两切线方程为：切点弦EF的方程为由图像可知直线DO方程为联立可得点G坐标可得直线AG方程联立可得交点H的横坐标 设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立可得关于x的一元二次方程：由韦达定理可得即点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程上，它们的纵坐标也相等，即两点重合为一点，所以H为线段BC的中点，所以.在有心圆锥曲线（）中，当时，方程表示圆；当时，方程表示椭圆；当、异号时，方程表示双曲线.定理1对圆、椭圆、双曲线三种情况做了统一的证明.定理2：如图3，抛物线是ABC的内切抛物线，分别与BC、AB、AC相切于点D、E、F，过点D作x轴的平行线与EF交于点G，直线AG交BC于点H，则有.证明：设点A坐标为，点D坐标为，则有，过点D的切线方程为： 由引理2可知过点A的两切线方程为 切点弦EF的方程为联立 可求得点G坐标为：，进而可得直线AG方程为： 联立可得点H的横坐标：设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立可得关于x的一元二次方程：由韦达定理可得即点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以H为线段BC的中点，故.定理1和定理2是证明这一类与三角形内切圆和旁切圆问题的方法 总 结 本篇文章在介绍圆锥曲线的图形的简单形成之后，利用了数形结合的思想，函数与方程的思想，简单的概括的圆锥曲线的图像函数，并根据一些简单的例子巩固了圆锥曲线的概念。再者，又利用了分类讨论的思想；对椭圆、双曲线、抛物线的几个相同的性质及不同的性质进行分析，最后归纳总结。且在了解了圆锥曲线的几个基本性质之后再对其在生活中的推广应用进行一个简单的讲解与分析。在一些例题的分析之后，也让我们了解到天体在宇宙运行的轨迹以及圆锥曲线在生活中被广泛应用的奥秘。参考文献：1郑崇友.几何学引论（第二版）.北京.高等教育出版社，2005年2俞亚华.求解圆锥曲线最值问题的基本策略.宁波大学学报，2004年，02期3张荣昌.巧用圆锥曲线的定义求最值.河南教育学院学报，2004年，03期4宋贵聪.圆锥曲线中一类最值问题的解法.咸宁学院学报，2009年，06期5王成喜.圆锥曲线中最值问题的类型与解法.科技信息，2009年，35期6王绍学普通高中课程标准实验教科书（选修21）数学A版北京人民教育出版社7 钟山、张安学高考工具书辽宁辽宁教育出版社2010年3月第1版8 刘汉丽。高中几何教材研究。北京。人民教育出版社。2009-9第一版9圆锥曲线M, 北京教育科学研究院基础教育研究中心, 北京：首都师范大学出版社，.10 Cockshott（英）.Walters（英）,几何圆锥曲线论M, 北京：商务印书馆, 特此感谢抚州一中数学组老师对我论文的细心指导与鼓励