整式的乘法与因式分解培优.doc

第二章 整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘， 不变， 相加。an.am= (m,n是正整数)2.幂的乘方， 不变， 相乘。(an)m= (m,n是正整数)3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n= (n是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b）（m+n）= 。7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b）2= ,（a-b）2= 。9.公式的灵活变形：（a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，a2+b2=（a+b）2- ，a2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，（a-b）2=（a+b）2- 。【例1】若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值【例2】已知两个多项式和，试判断是否存在整数，使是五次六项式？【例3】已知为自然数，且，当时，求的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式当时的值为,那么当时,该式的值是 .【例5】已知为实数,且使,求的值.【例6】（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x； （2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式： （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2 【例8】归纳与猜想：（1）计算：（x1）（x+1）= ；（x1）（x2+x+1）= ；（x1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果（x1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（x1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x1）（xn1+xn2+xn3+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x1）m=x151，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+2+1 【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示） 课后作业：1、若，求的值。2、在的积中，不含有项，则必须为 。3、已知的结果是 。4、已知的值为 。5、已知的值等于 。6、已知，则= 。7、若的值为 。8、当时，代数式的值等于，那么当时，代数式的值 .9、已知，求多项式的值为。10、已知均不为，且，那么的值是多少？“整体思想”在整式运算中的运用1、当代数式的值为7时,求代数式的值.2、 已知，求：代数式的值。3、已知，求的值.4、若a22a+1=0求代数式的值5、先化简，再求值：(1) ，其中x=-2,y=-3(2) 第四讲 乘法公式（1）公式的逆用1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值2、 已知，都是有理数，求的值。3、已知 求与的值。4、已知求与的值。5、已知，求的值。6、，求（1）（2）7、试说明不论x,y取何值，代数式的值总是正数。8、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式，请说明该三角形是什么三角形？9、计算（1）（xy）（x+y）（x2+y2） （2）（a2b+c）（a+2bc）（3）（ab+cd）（cadb）； （4）（x+2y）（x2y）（x48x2y2+16y4）10、已，求下列各式的值：（1）； （2）第五讲 乘法公式（2）例1 已知a-b=2,b-c=1,求代数式的值。例2 已知a、b、c为有理数，且满足的值。例3 已知试求下列各式的值： （1） （2） (3) 例4 已知x、y满足x2十y2十2x十y，求代数式的值例5 已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数 证明：(1)b与c两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数巩固练习1、 若的值为 2、如果： 3、计算：= 4、若是一个完全平方式，则的值为 。5、当= ，= 时，多项式有最小值，此时这个最小值是 。6、的个位数字是 。7、若的值是 。8、计算的结果为 。9、若的值为 。10、多项式是一个六次四项式，则 。11、若代数式的值为0，则 ， 。12、已知, 求 的值 13、已知a,b,c是三角形的三边，且a2+b2+c2=ab=bc+ca,试判断三角形的形状14、已知的值四 作业1观察下列各式： (x一1)(x+1)x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1 根据前面的规律可得 (x一1)(x n+x n-1+x+1)= 2已知，则= 3计算： (1)19492一19502+19512一19522+19972一19982+19992 = (2) 4如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 5已知，则= 6已知，则代数式的值为( ) A一15 B一2 C一6 D67乘积等于( )A B C D8若，则的值是( ) A4 B20022 C 22002 D420029若，则的个位数字是( ) A1 B3 C 5 D710如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A BC D 11(1)设x+2z3y，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)12一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数13观察： (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； (2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示) 14你能很快算出19952吗? 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论(1)通过计算，探索规律 152 =225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；4522025可写成100×4×(4+1)+25；7525625可写成 ；8527225可写成 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= (3)根据上面的归纳猜想，请算出19952 第三章 因式分解【知识点归纳】1.把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.恒等变形；3.分解彻底。）2.几个多项式的 称为它们的公因式。3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（ ）4.找公因式的方法：找公因式的系数：取各项系数绝对值的 。确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的 的。5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。【典型例题】1仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x24x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值解：设另一个因式为（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n）则x24x+m=x2+（n+3）x+3n解得：n=7，m=21另一个因式为（x7），m的值为21仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3xk有一个因式是（2x5），求另一个因式以及k的值 2阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数） 3已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4a3b+a2b2ab3+b4）；a5b5=（ab）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1 4、先化简，再求值：，其中 5、已知能被整除，其商式为，求m、n的值。 6、已知a、b、c分别为ABC的三边，你能判断的符号吗？ 第六讲 因式分解（一）【例题精讲】例1：（1）4x（ab）（b2a2）；（2）（a2b2）24a2b2； （3）x42x23； （4）（xy）23（xy）2；（5）x32x23x； （6）4a2b26a3b；（7）a2c2+2ab+b2d22cd （8）a24b24c28bc例2：分解因式：（1）（2）（3）【巩固】分解因式：1、； 2、；3、； 4、分解因式：；例3：把下列各式分解因式：1、； 2、。【巩固】分解因式：1、； 2、。例4：分解因式：。【巩固】分解因式：1、； 2、；【拓展】分解因式：。例5：已知多项式的值恒等于两个因式，乘积的值，则_。例6：分解因式：。【巩固】分解因式：1、； 2、；【拓展】1、为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？2、多项式的一个因式是，试确定的值。3、求证：可以化为两个整系数多项式的平方差。【作业】1、 分解因式：_；2、 分解因式：_；3、 分解因式：_；4、 已知满足，则_；5、 分解因式：的结果是_；6、已知能分解成两个整系数一次因式的乘积，求的值。7、把下列各式分解因式：（1） ； （2）；（3） 用换元法分解； （4） 用待定系数法分解。7、 是什么数时，能分解成两个一次因式的积？第七讲 因式分解的应用【例题精讲】例1：若的三条边满足关系式，则的形状是_。【巩固】1、已知是三角形三边长，则代数式的值是（ ） A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.符号不定2、设是三角形三边长，化简。【拓展】已知是一个三角形的三边，则的值是（ ）A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负例2：已知，则的值是多少？【巩固】1、已知，求的值。2、 已知，求的值。3、 设，求的值。例3：已知是自然数，且，求与的值。【巩固】设是自然数，求的值。【拓展】设是相邻的两个自然数，问是否为平方数？例4：（1）求证：能被45整除； （2）证明：当为自然数时，形式的数不能表示成两个整数的平方差。【课后作业】1、的三边满足，则是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形2、如果是一个完全平方式，那么等于（ ） A.4900 B.700 C. D.3、若能分解为两个一次因式的积，则的值为（ ） A.1 B. C. D.24、若为奇数，则（ ） A.一定是奇数 B.一定是偶数 C.可能是奇数，也可能是偶数 D.可能是整数，也可能是分数（分母不是1）5、若为有理数，且，则_。6、已知，那么_。7、计算：。8、已知，求的值。