一元二次方程根的分布(教案).doc
-作者xxxx-日期xxxx一元二次方程根的分布(教案)【精品文档】一元二次方程根的分布一知识要点二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：由即得出；由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或二例题选讲（1）两个根在实数的同一侧例1已知方程有两个负根，求的取值范围变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围（2）两个根在实数的异侧例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。变式2：求实数的范围，使关于的方程（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根，且满足（）至少有一个正根变式3：如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.（3）在区间有且只有一个实根例3已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.（4）在区间有两个实根例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.变式1：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围（5） 在区间有实根例5已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用例6.1求函数y = (1<x<2)的值域例6.2已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围例设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围三巩固练习1已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围2已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围3已知二次方程的两个根都属于（1，1），求的取值范围4若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的取值范围答案：二例题选讲（1）两个根在实数的同一侧例1已知方程有两个负根，求的取值范围解：依题意有变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。解：由 或即为所求的范围。变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 （1）即为，它的解集是（2）即为，它的解集是（3）的解集是所以，的取值范围是解二：二次方程有两个根的充要条件是设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为： 即 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： 以下同解法一（略）解三：令，原方程转化为，即 （*）因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： 同样可求出的取值范围（略）（2）两个根在实数的异侧例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。解：由 即 ，从而得即为所求的范围。变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。解：由 即 即为所求的范围。变式2：求实数的范围，使关于的方程（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根，且满足（）至少有一个正根解：设（） 依题意有，即，得（） 依题意有解得：（）方程至少有一个正根，则有三种可能：有两个正根，此时可得，即有一个正根，一个负根，此时可得，得有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得变式3：如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.解：f(0)=1>0(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m>0时，则解得0m1综上所述，m的取值范围是m|m1且m0.（3）在区间有且只有一个实根例3已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。 变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则 Û ，实数m的范围是.（4）在区间有两个实根例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 Û - <m1-, 实数m的范围是.变式1：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围解：设f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 Û Û - <m或m<.故a的取值范围是 (- , , )变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 Û - <m< .（6） 在区间有实根例5已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解<=>或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1.解析2：a=0时，不符合题意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，y的取值范围是，=0在-1，1上有解ó或。（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用例6.1求函数y = (1<x<2)的值域解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由题意，关于的方程在(1,2)上有实根易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y-5-2. 原函数的值域为 (-¥, -5-2.例6.2已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由题意，方程在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当f(0)·f(1)<0或 Û m<0或 Û m3-2且m0故m的取值范围为 (-¥, 0)(0, 3-2.例设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围解：令，当时，由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的值因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范围为三巩固练习1已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1，即 Û Û m< - 或m> ， m的取值范围为 (-¥,- )( , +¥).2已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 Û (5m+3)(m-2)<0 Û - <m<2.综上得：m的取值范围是(- , - )(- , 2)3已知二次方程的两个根都属于（1，1），求的取值范围解：令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 0，即m 1f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 Û m的取值范围为4若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的取值范围解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 解得 - a<-1.a的取值范围是 - , -1)。【精品文档】
