数学建模习题课1.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流数学建模习题课1【精品文档】第 11 页习 题 课一、初等模型与常用的建模方法1. 奇偶校验法 例1 在如图所示的方格纸上已填写1，9，8，6四个数字，问能否在余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？ 9168 解 考察左下角格中所填之数，设为，由于所填方格中都为整数，且这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在. 例2 利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”. 证 用反证法. 假设存在具有题设性质的多面体，它有个面数，各个面分别有条边，这里，均为奇数，从而 必为奇数. 另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面体的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得时，每一条棱都被重复地计算了一次，所以又应为偶数，于是产生了矛盾. 故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，且每个面又都有奇数条棱的多面体. 例3 已知多项式的系数都是整数，且为奇数. 证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证 用反证法. 假设满足条件“为奇数”的多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，则必有其中都是整数.令代入上式，得 ； （1）令代入上式，得 . （2）由条件“为奇数”知与必皆为奇数，进而知（2）式左端为奇数.另一方面，由(1)及为奇数立知必为奇数，因而（2）右端为偶数，于是产生了矛盾. 因此由奇偶校验法知满足条件“为奇数”的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.2. 席位分配问题例4 比利时的dHondt曾提出过如下一种席位分配方案：将甲、乙、丙三个系的人数都用1,2,3去除，然后将商从大到小排列，取前21个最大的商数考虑，规定在这21个商中，各系占有几个就分配给几个席位。试通过数学建模探讨这种方法的合理性。解 以教材中甲、乙、丙三个系人数分别为103,63,34为例：系别 人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12甲 103 103 51.5 34.33 25.75 20.6 17.17 14.71 12.875 11.44 10.3 9.36 8.58 乙 63 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9 7.875 7 6.3丙 34 34 17 11.33 8.5 6.8从表中可以看出，按照比利时方法，在21个席位中甲占11席、乙占7席、丙占3席。说明：（1）此席位分配方案明显不合理； （2）此方法与Q值方法比较有明显的缺陷，特别是当上述商值相等或十分接近时难以排序。例5 某系共有1000名学生，其中235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。现要组成一个10人委员会，试用Q值方法与dHondt方法分别给出分配方案。 解 记各楼人数分别为 总人数人，席位 。 方法一（Q值方法） 先按百分数有取整后得第一次分配对第10个席位，按Q值计算 由于最大，所以第10个席位应分配给C楼。 因此，A, B，C的分配席位分别为2，3，5， 共10席。 方法二（dHondt方法）1 2 3 4 5 6 7A 235 235 117.5 78.33 58.75 47 39.17 33.57B 333 333 166.5 111 83.25 66.6 55.6C 432 432 216 144 108 86.4 72 因此， A, B，C的分配席位分别为2，3，5，与Q值法的结果相同。3. 分析法建模例6 将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上，如果地面是数学上的光滑曲面，问怎样才能将桌子放平稳？解 假定椅子中心不动, 四条腿的着地点A,B,C,D如图建立坐标系. 将椅子如图旋转到. 所谓着地，就是椅子与地面的距离等于零. 由于椅子位置不同, 椅脚与地面距离不同, 因而这个距离为的函数, 记 因地面光滑,连续; 又椅子在任何位置总有三条腿同时“着地”, 故至少有一个为0, 从而不妨设，于是问题抽象成如下的数学问题：假设是的连续函数，且，求证存在，使得.证 令, 则 将椅子旋转, 即将AB与CD互换,由知所以 由于在上连续,且, 故据连续函数的介值定理知, 使得, 即又由，故得表明在方向上,四条腿一定能同时“着地”. 例7 某人早上8时从山下以旅店出发沿一条路径上山，中午12点到达时到达山顶，下午游览并在山顶留宿，次日早上8时沿同一路径下山，于中午12时返回旅店。问此人能否在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？若下山时，此人11时回到旅店，问结论又如何?解 （1）设从山下旅店到山顶这条路径的总路程为。如图建立以时间为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程为纵坐标的直角坐标系。设第一天的行程为则是单调不降的连续函数，满足 设第二天的行程为则是单调不增的连续函数，满足令则 在上连续。由于故根据连续函数的介值定理知存在， 使得 即 表明在时刻经过途中的同一地点。（2）若下山时，此人11时回到旅店，只要前一天此人在上午11点之前从旅店出发上山，类似的分析同样可以得出：能在同一时刻经过途中同一地点。例8 小明在妹妹的生日晚会上，买回一个边界形状怪异的蛋糕。妹妹指着蛋糕上的一点，要哥哥过此点将蛋糕切成一人一半，能办到吗？解 过点P任作一条直线,将曲线所围图形分为两部分,其面积分别为若,则即为所求的直线; 若,不妨设, 此时记为与x轴正向之夹角.下面对此种情形证明之.以P为旋转中心, 将按逆时针方向旋转, 显然面积连续地依赖于角变化, 分别记之为,如图所示.设将直线按逆时针方向旋转，易知在上连续，且在端点异号：故据连续函数的介值定理知，必存在一点，使得即 于是过P点作直线，使之与x轴正向的夹角成，则该直线即为所求.例9 一盏灯挂在一米见方的书桌正上方。已知受光面上的照度与光线入射角的余弦值成正比，与到光源距离的平方成反比。问此灯应挂在离桌面多高处，才能使（1）桌子四个角的照明度最大？（2）桌子四边的中点处的照明度最大？又如果是圆形桌子，灯应挂在多高处才能使圆桌边缘处照明度最大？解 如图,设O为桌子中心点，A为桌上任一点，距离中心点O为，为灯的高度，则灯到受光点A的距离.由题设A点的照度为其中为比例常数. 而，所以, 对求导，得令，得为驻点. 由问题的实际含义知，肯定是的最大值点，于是当桌子一米见方时(1) 在四个角处有，代入可得，即灯应挂在离桌面处; (2) 在四边的中点处有代入得处;进一步, 如果为半径是的圆桌,则灯应挂在离桌面处可使圆桌边缘的照度最大. 例10 某吊车的身高为1.5米，吊臂长15米。现要把一个6米宽、2米高的屋架，水平地吊到6米高的柱子上，问能否吊得上去？解 如图所示，设车身高为，吊臂长为，与水平线的夹角为。屋架的宽度为，高为，其下边沿离地面的距离为，则问题转化为：在已知的条件下，为何只时可使达到最大？易知使达到最大值的应使屋架与吊臂正好相接触F，此时有所以这就是解决问题的数学模型。由于，令, 得，所以有唯一驻点。由问题的实际含义知, 肯定是的最大值点，于是所以当柱子高度时，屋架可以吊得上去；当时，不能将屋架吊到柱子上去。特别地，取，则由于，所以可以将屋架吊到柱子上去。例11 某公司专门生产储藏用的容器，合同要求该公司制造一种敞口（即无盖）的长方体容器，容器恰好为V. 如果用作容器四壁的材料为元/，用作容器底面的材料价格为元/，问制造怎样的容器才能使得总费用最省？解法一 设长方体容器的长、宽、高分别为，制造该容器所需材料的总费用为， 则有记于是可以建立该问题的数学模型运用Lagrange乘子法求解，引入Lagrange函数令由得。 代入（4）得由得于是得结果表明，当长方体容器的长与宽相等，即而高为时，制造该容器所需材料的总费用最省，其值为解法二 如解法一所设。运用算术几何平均不等式，有等号成立当且仅当由此解得代入已知条件中， 有，解得此时4. 线性代数法建模 例12 某种遗传疾病属于常染色体遗传模型。记正常基因为A，不正常基因为，其后代和分别表示正常人、隐性患者和显性患者。为防止出现隐性患者，要求正常人或隐性患者必须与正常人结合，试建立这种遗传模型，并讨论经若干代后，正常人与隐性患者的分布趋势。 解 记分别表示第代的遗传中基因型为AA，Aa的后代占后代总数的百分率，且记 为第代遗传的基因型分布，这里 表示人的基因型的初始分布，满足。 易知此时第代与第代之间的遗传关系为 后代（第n代）基因型父亲-母亲（第n-1代）基因型AA-AA AA-Aa Aa-AaAAAaaa 1 1/2 1/40 1/2 1/20 0 1/4对于AA型，有 对于Aa型，有显然有由前面的假设， 有因此，第代遗传的基因分布的数学模型 记则该数学模型为它表明历代遗传基因型分布可由初始分布与矩阵M确定。 容易算得于是注意到，于是显然当时，有即在极限情况下，遗传后代基本上均为正常人AA型。