《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解.doc

一元二次方程全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0要点二、一元二次方程的解法1基本思想 一元二次方程一元一次方程2基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1已知（m1）x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+12，即|m|1，解得m±1，又m10，m1，故m1.【总结升华】依题意可知m10与|m|+12必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m的值【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时，类型二、一元二次方程的解法2解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)【答案与解析】 (1)原方程可化为：， 即(2x-6)2-(5x-10)20， (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)0， 即(7x-16)(-3x+4)0， 7x-160或-3x+40， ， (2)， ， (x-3)5(x-3)-(x+3)0， 即(x-3)(4x-18)0， x-30或4x-180， ，(3)， 即， 【总结升华】 (1)方程左边可变形为，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)20再求解举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15-2x2-10x； (2)x2-3x(2-x)(x-3)【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)0， 3(x+5)+2x(x+5)0， 即(x+5)(3+2x)0， x+50或3+2x0， ， (2)原方程可化为x(x-3)(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)0， (x-3)(2x-2)0， x-30或2x-20， ，类型三、一元二次方程根的判别式的应用3关于x的方程有实数根则a满足（ ）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da5【答案】A；【解析】当，即时，有，有实数根；当时，由0得，解得且综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是答案：A【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为04 为何值时，关于x的二次方程（1）满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）满足 时,方程无实数根.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式及k0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知关于x的方程，试探求：是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案与解析】存在设方程两根为x1、x2，根据题意，得，而，于是有，整理得，解这个方程得， ，当时， ，当时，所以符合条件的m的值为-2【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x的方程有两个不相等的实数根、 (1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【答案】(1)根据题意，得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)，所以由k-10，得k1.当且k1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数，则，解得当时，判别式-50，方程没有实数根所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去.当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【答案】（1）1000m2；（2）20%.