点线圆与圆的位置关系.doc
如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流点线圆与圆的位置关系【精品文档】第 15 页点、线、圆与圆的位置关系一：点与圆的位置关系：1. 点与圆的位置关系的判断点与圆的位置关系设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的外部.点在圆内点在圆的内部点在的外部.2. 三角形外接圆的圆心与半径三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二：直线与圆的位置关系：1. 直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心3. 切线的判定 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线4. 切线长定理及三角形内切圆 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角三：圆与圆的位置关系：一：点与圆的位置关系：1.点与圆的位置关系的判断：例题1：【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为_【答案】10或8【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10 当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8 【易】已知如图，在ABC中，C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M 以点C为圆心，4为半径作C，则点A、B、M分别与C有怎样的位置关系？ 若以点C为圆心作C，使A、B、M三点中至少有一点在C内，且至少有一点在圆外，求C的半径r的取值范围【答案】在ABC中，C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M 以点C为圆心，4为半径作C，AC=4，则A在圆上，则M在圆内，BC=54，则B在圆外；以点C为圆心作C，使A、B、M三点中至少有一点在C内时， 当至少有一点在C外时，r5， 故C的半径r的取值范围为：测一测1：【易】在ABC中， 以点C为圆心，以为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.当_时，点A在C上，且点B在C内部？当取值范围_时，点A在C外部，且点B在C的内部？是否存在这样的实数，使得点B在C上，且点A在C内部？【答案】在RtABC中， 根据勾股定理得，当时，AC=4=, 点A在C上，BC=3<=4,点B在C内；当时，AC=4>, 点A在C外部，BC=3<, 点B在C内部不存在，要使点B在C上，BC=3, 要使点A在C内部，AC=4<2. 三角形外接圆的圆心与半径例题2：【易】已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为_cm【答案】2.5【解析】直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm，斜边长为cm，它的外接圆半径为5÷2=2.5cm【易】在ABC中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆的半径_【答案】作ADBC，垂足为D，则O一定在AD上，设OA=r，即，解得测一测1：【易】若ABC中，C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径_cm【答案】26【解析】ABC中，C=90°，AC=10cm，BC=24cm，cm二：直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系判断：例题3:【易】如图,在矩形ABCD中， AB=6 , BC=4 , O是以AB为直径的圆，则直线DC与O的位置关系是( )A. 相交 B . 相切 C. 相离 D. 无法确定【答案】C【解析】解：矩形ABCD中，BC=4，圆心到CD的距离为4AB为直径，AB=6，半径是343直线DC与O相离，故选C测一测1：【中】如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（）A8AB10BAB8C8AB10D8AB10【答案】【解析】当AB与小圆相切时，OCAB，则；当AB过圆心时最长即为大圆的直径10则弦长AB的取值范围是8AB102. 切线的性质：例题4：【易】如图， AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D若，则CDA=_【答案】126°【解析】连接OD 则ODC=90°，COD=72°； OA=OD， CDA=CDO+ODA=90°+36°=126°【易】如图，点,在O上，直线AC是O的切线，OCB，连接AB交于点.AC与CD相等吗？为什么？若AC=2，求OD的长度_.【答案】证明：AC是O切线， OAAC， OAC=90° OAB+CAB=90° OCOB， COB=90° ODB+B=90° OA=OB OAB=B CAB=ODB ODB=ADC CAB=ADC AC=CD解：在RtOAC中，, OD=OC-CD=OC-AC= 3-2=1测一测1：【易】如图，P是O的直径AB延长线上的一点，PC与O相切于点C，若P=20°，则A=_【答案】35°【解析】PC与O相切于点C， OCCP， P=20°， COB=70°， OA=OC， A=35°测一测2：【易】如图所示，AP为圆O的切线，AO交圆O于点B,若,则【答案】25°【解析】如图，连接OP，AP为圆O的切线，P为切点，OPA=90°，O=90°-A=50°，OB=OP，OPB=OBP=（180°-O）÷2=65°APB=90°-OPB=25°故答案为25°3. 切线的判定例题5：【中】如图，AB是O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使ADC=B. 求证：直线CD是O的切线； 过点A作直线AB的垂线BD交BD的延长线于点E，且，BD=2，求线段AE=_【答案】证明：如图，连接OD AB是O的直径， ADB=90°， 1+2=90°； 又OB=OD， 2=B， 而ADC=B， 1+ADC=ADO=90°，即CDOD 又OD是O的半径， 直线CD是O的切线； 解： 在直角ADB中，BD=2， 根据勾股定理知， AEAB， EAB=90° 又ADB=90°， AEDBAD， ，即， 解得，即线段AE的长度是【中】如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DFAC，垂足为F.求证：DF是O的切线；若，DF=2，求O的半径_.【答案】证明：连接OD，如图， AB=AC， C=B， OD=OB， B=1， C=1， ODAC 2=FDO， DFAC， 2=90°， FDO=90°， OD为半径， FD是O的切线； 解：AB是O的直径， ADB=90°，即ADBC， AC=AB， 3=4 而， B=24， B=60°， C=60°，OBD为等边三角形， 在RtCFD中，DF=2，CDF=30°， ，即O的半径为 【易】如图，ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D，求证：AC与O相切【答案】证明：连接OD，过点O作OEAC于E点，则OEC=90°，AB切O于D，ODAB，ODB=90°，ODB=OEC又O是BC的中点，OB=OC，AB=AC，B=C，OBDOCE，OE=OD，即OE是O的半径，测一测1：【中】如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DEAC（1）求证：DE是圆O的切线；（2）若C=30°，CD=10cm，求圆O的半径=_【答案】(1)证明：连接OD,D是BC的中点，O为AB的中点，ODAC又DEAC，ODDE，OD为半径，DE是圆O的切线（2）解：连接AD；AB是圆O的直径，ADB=90°=ADC，ADC是直角三角形C=30°，CD=10，ODAC，OD=OB，B=30°，OAD是等边三角形，圆O的半径为测一测2：【易】 如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、 求证：与相切 若正方形的边长为，求的半径=_【答案】解:(1) 过O作ONCD于N,连接OM,则OMBC.AC是正方形ABCD的对角线,AC是的平分线.OM=ON,即圆心O到CD的距离等于O的半径,CD与O相切;(2) 由(1)易知MOC为等腰直角三角形, OM为半径,OM=MC=1ABC是等腰直角三角形4. 切线长定理及三角形的内切圆例题6：【易】如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA、PB于D、E，已知P到O的切线长为8cm，则PDE的周长为（ ） A.16cm B.14cm C.18cm D.12cm【答案】A【解析】解：PA、PB、DE分别切O于A、B、C， PA=PB，DA=DC，EC=EB； CPDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16； PDE的周长为16 【易】 如图RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，则ABC的内切圆半径r=_【答案】2【解析】解：如图 在RtABC，C=90°，AC=6，BC=8； 根据勾股定理; 四边形OECF中，OE=OF，OEC=OFC=C=90°； 四边形OECF是正方形； 由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF； 即：测一测1：【易】RtABC中，C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为_【答案】12【解析】 解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，O是ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，ODAC，OEAB，OFBC，AD=AE，BE=BF，ODC=OFC=ACB=90°，OD=OF，四边形ODCF是正方形，CD=OD=OF=CF=1，AD=AE，BF=BE，AE+BE=AB=5，AD+BF=5，ABC的周长是：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12三、 圆与圆的位置关系例题7：【易】图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）A.2种 B.3种 C.4种 D.5种【答案】A【解析】由图形可以看出图中的圆有两个交点和有一个交点的两种位置关系，相交和内切故选A 【易】已知与的半径分别是a、b，且a、b满足，圆心距则两圆的位置关系是_.【答案】外切【解析】解： a-2=0，3-b=0 解得：a=2，b=3 圆心距 2+3=5 两圆外切 故答案为：外切 【易】已知：半径分别为3cm和5cm的两圆相切，则两圆圆心距d为（ ）A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.2cm<d<8cm【答案】C【解析】两圆半径分别为3cm、5cm，两圆圆心距为d， d的取值范围为5cm-3cmd5cm+3cm，即2cmd8cm 故选D测一测1：如果半径分别是2cm和3cm的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是（ ）A.1cm B.5cm C.1cm或5cm D.小于1cm或大于5cm【答案】B【解析】解：半径分别为2cm和3cm的两圆外切， 两个圆的圆心距d=3+2=5cm家庭作业：1 “圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2 两个圆的圆心都是O，半径分别为、，且OA，那么点A在（ ）A、内 B、外 C、外，内 D、内，外3 一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）A 2.5 cm或6.5 cm B 2.5 cm C 6.5 cm D 5 cm或13cm4 已知、是的切线，、是切点，点是上异于、的任一点，则 5 如图，已知的直径为，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除外）： ； ； ； 。6 如图，在中，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点D，AD=2，AE=1，求7 如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于，是边上的中点，连结. （1）与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若、的长是方程的两个根，求直角边的长。
