《一元二次方程的解法》经典例题精讲.doc

一元二次方程的解法经典例题精讲例1解方程分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好解：，x±5例2解方程分析：如果把x3看作一个字母y，就变成解方程了解：，例3解方程分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好解：整理，注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若，则；若，则例4解方程分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解解法一：，(x2)(x1)0，x20，x10，解法二：a1，b3，c2，注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“”的值，若<0，则方程无解，就不必解了例5解关于x的方程分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x的方程，即x为未知数，m，n为已知数在确定的情况下，利用公式法求解解：把原方程左边展开，整理，得a1，b3m，注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a、b、c和的值，然后求解但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相混淆；(3)在开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，例6用配方法解方程分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住解：，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方例7不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了解：(1)a2，b3，c4，方程有两个不相等的实数根(2)a16，b24，c9，方程有两个相等的实数解(3)将方程化为一般形式，a4，b7，c5，4910051<0方程无实数解注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c的符号例8已知方程的一个根是2，求另一根及k的值分析：根据韦达定理易得另一根和k的值再是根据方程解的意义可知x2时方程成立，即把x2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根但方法不如第一种解：设另一根为，则，k7即方程的另一根为，k的值为7注意：一元二次方程的两根之和为，两根之积为例9利用根与系数的关系，求一元二次方程两根的(1)平方和；(2)倒数和分析：已知要求(1)，(2)，关键是把、转化为含有的式子因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即，所以，由此可求出(1)同样，可用两数和与积表示两数的倒数和解：(1)，；(2)3注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式例10已知方程的两根平方和是34，求m的值分析：已知，求m就要在上面三个式子中设法用来表示，m便可求出解：设方程的两根为，则，30，m30注意：解此题的关键是把式子变成含的式子，从而求得m的值例11求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)的形式如设其根为，根据根与系数的关系，得将p、q的值代入方程中，即得所求方程解：设所求的方程为210p，2×10q，p12，q20所求的方程为注意：以为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个例12已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数解：设这两个数为，以这两个数为根的一元二次方程为，方程为解这个方程得，这两个数为例13如图22-2-1，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m，则两条道路的面积和为题中的等量关系为：草地面积道路面积长方形面积解：设道路的宽度为x m，则，(x2)(x50)0，x20，x500，x50不合题意，取x2答：道路的宽度为2m注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x，则增长一次后的产量为5000(1x)，增长两次后的产量是，增长n次后的产量b是这就是重要的增长率公式解：设平均每月增长的百分率为x则，(不合题意，舍去)答：平均每月增长的百分率是20%注意：解方程时，由1x的值求x，并舍去负值