江苏省南京师大附中2019届高三最后一卷(5月) 数学.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流江苏省南京师大附中2019届高三最后一卷(5月) 数学【精品文档】第 13 页2019届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)20195一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合Ax|x|1，xZ，Bx|0x2，则AB_2. 已知复数z(12i)(ai)，其中i是虚数单位若z的实部与虚部相等，则实数a的值为_3. 某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是_4. 3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是_5. 函数f(x)log2(1x)的定义域为_6. 如图是一个算法流程图，则输出k的值为_(第6题)(第7题)7. 若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，点P为侧棱AA1上任意一点，则四棱锥PBCC1B1的体积为_8. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第四象限内已知曲线C在点P处的切线方程为y2xb，则实数b的值为_9. 已知函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0<<)是定义在R上的奇函数，则f()的值为_10. 如果函数f(x)(m2)x22(n8)x1(m，nR且m2，n0)在区间，2上单调递减，那么mn的最大值为_11. 已知椭圆y21与双曲线1(a>0，b>0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1PF1F2，则双曲线的离心率为_12. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：yx上位于第一象限内的一点已知以AB为直径的圆被直线l所截得的弦长为2，则点B的坐标为_13. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，an2则满足2 019Sm3 000的正整数m的所有取值为_14. 已知等边三角形ABC的边长为2，2，点N，T分别为线段BC，CA上的动点，则···取值的集合为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是.(1) 求cos()的值；(2) 若以x轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为，求的值16. (本小题满分14分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.17. (本小题满分14分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P，Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q.已知AB长为40米，设BOP为2.(上述图形均视作在同一平面内)(1) 记四边形COPQ的周长为f()，求f()的表达式；(2) 要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin 的值18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，F2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x4和直线x1相交于点M，N.试判断是否为定值，并说明理由19. (本小题满分16分)已知数列an满足a1·a2··an2(nN*)，数列bn的前n项和Sn(nN*)，且b11，b22.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求数列bn的通项公式；(3) 设cn，记Tn是数列cn的前n项和，求正整数m，使得对于任意的nN*均有TmTn.20. (本小题满分16分)设a为实数，已知函数f(x)axex，g(x)xln x.(1) 当a<0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 设b为实数，若不等式f(x)2x2bx对任意的a1及任意的x>0恒成立，求b的取值范围；(3) 若函数h(x)f(x)g(x)(x>0，xR)有两个相异的零点，求a的取值范围2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A，二阶矩阵B满足AB.(1) 求矩阵B；(2) 求矩阵B的特征值B. (选修44：坐标系与参数方程)设a为实数，在极坐标系中，已知圆2asin (a>0)与直线cos()1相切，求a的值C. (选修45：不等式选讲)求函数y的最大值【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90°，ADAP4，ABBC2，点M为PC的中点(1) 求异面直线AP与BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求的值23. 在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)这四个点中的任一位置记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L(n)(1) 求L(1)，L(2)，L(3)的值；(2) 求L(n)的表达式2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准1. 0，12. 33. 184. 5. 0，1)6. 37. 8. 139. 10. 1811. 12. (6，3)13. 20，2114. 615. 解：因为锐角的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知sin .从而cos .(3分)(1) cos()cos cos sin sin ×()×.(6分)(2) 因为钝角的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是，所以cos ，从而sin .(8分)于是sin()sin cos cos sin ×()×.(10分)因为为锐角，为钝角，所以(，)，(12分)从而.(14分)16. 证明：(1) 设ACBDO，连结OE，四边形ACEF是矩形， EFAC，EFAC. O是正方形ABCD对角线的交点， O是AC的中点又点M是EF的中点， EMAO，EMAO.四边形AOEM是平行四边形， AMOE.(4分) OE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(7分)(2) 正方形ABCD， BDAC.平面ABCD平面ACEFAC，平面ABCD平面ACEF，BD平面ABCD， BD平面ACEF.(9分) AM平面ACEF， BDAM.(10分)正方形ABCD，AD， OA1.由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形 AF1，四边形AOMF是正方形，(11分) AMOF.(12分)又AMBD，且OFBDO，OF平面BDF，BD平面BDF， AM平面BDF.(14分)17. 解：(1) 连结PC.由条件得(0，)在POC中，OC10，OP20，POC2，由余弦定理，得PC2OC2OP22OC·OPcos(2)100(54cos 2)(2分)因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQPQ，所以PQ2PC2CQ2400(1cos 2)，所以PQ20cos .(4分)所以四边形COPQ的周长为f()COOPPQQC4020cos ，即f()4020cos ，(0，)(7分)(没写定义域，扣2分)(2) 设四边形COPQ的面积为S()，则S()SOCPSQCP100(cos 2sin cos )，(0，)(10分)所以S()100(sin 2cos22sin2)100(4sin2sin 2)，(0，)(12分)令S(t)0，得sin .列表：sin (0，)(，1)S()0S()增最大值减答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin 的值为.(14分)18. 解：(1) 依题意，2ca2，所以c1，b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 因为直线l分别与直线x4和直线x1相交，所以直线l一定存在斜率(6分)设直线l：ykxm，由得(4k23)x28kmx4(m23)0.由(8km)24×(4k23)×4(m23)0，得4k23m20.(8分)把x4代入ykxm，得M(4，4km)，把x1代入ykxm，得N(1，km)，(10分)所以NF1|km|，MF1，(12分)由式，得3m24k2，把式代入式，得MF12|km|，即为定值.(16分)19. 解：(1) a122；(2分)当n2时，an2n.所以数列an的通项公式为an2n(nN*)(4分)(2) 由Sn，得2Snn(b1bn)，所以2Sn1(n1)(b1bn1)(n2).由，得2bnb1nbn(n1)bn1，n2，即b1(n2)bn(n1)bn10(n2)，所以b1(n3)bn(n2)bn10(n3).由，得(n2)bn2(n2)bn1(n2)bn20，n3，(6分)因为n3，所以n2>0，上式同除以(n2)，得bn2bn1bn20，n3，即bn1bnbnbn1b2b11，所以数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，故bnn，nN*.(8分)(3) 因为cn1，(10分)所以c10，c2>0，c3>0，c4>0，c5<0.记f(n)，当n5时，f(n1)f(n)<0，所以当n5时，数列f(n)为单调递减数列，当n5时，f(n)<f(5)<<1.从而，当n5时，cn1<0.(14分)因此T1<T2<T3<T4，T4>T5>T6>所以对任意的nN*，T4Tn.综上，m4.(16分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当a<0时，因为f(x)a(x1)ex，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0.所以函数f(x)单调减区间为(，1)，单调增区间为(1，)(2分)(2) 由f(x)2x2bx，得axex2x2bx，由于x>0，所以aex2xb对任意的a1及任意的x>0恒成立由于ex>0，所以aexex，所以ex2xb对任意的x>0恒成立(4分)设(x)ex2x，x>0，则(x)ex2，所以函数(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以(x)min(ln 2)22ln 2，所以b22ln 2.(6分)(3) 由h(x)axexxln x，得h(x)a(x1)ex1，其中x>0.若a0时，则h(x)>0，所以函数h(x)在(0，)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)若a<0时，令h(x)0，得xex>0.由第(2)小题知，当x>0时，(x)ex2x22ln 2>0，所以ex>2x，所以xex>2x2，所以当x>0时，函数xex的值域为(0，)所以存在x0>0，使得ax0ex010，即ax0ex01，且当x<x0时，h(x)>0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减因为函数有两个零点x1，x2，所以h(x)maxh(x0)ax0ex0x0ln x01x0ln x0>0.设(x)1xln x，x>0，则(x)1>0，所以函数(x)在(0，)上单调递增由于(1)0，所以当x>1时，(x)>0，所以式中的x0>1.又由式，得x0ex0.由第(1)小题可知，当a<0时，函数f(x)在(0，)上单调递减，所以>e，即a(，0)(11分)当a(，0)时，(i) 由于h()(1)<0，所以h()·h(x0)<0.因为<1<x0，且函数h(x)在(0，x0)上单调递减，函数h(x)的图象在(0，x0)上不间断，所以函数h(x)在(0，x0)上恰有一个零点；(13分)(ii) 由于h()eln()，令t>e，设F(t)ettln t，t>e，由于t>e时，ln t<t，et>2t，所以设F(t)<0，即h()<0.由式，得当x0>1时，x0ex0>x0，且h()·h(x0)<0，同理可得函数h(x)在(x0，)上也恰有一个零点综上，a(，0)(16分)2019届高三模拟考试试卷(南师附中)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得BA1.(5分)(2) 矩阵B的特征多项式f()(1)(1)，(7分)令f()0，解得1或1，(9分)所以矩阵B的特征值为1或1.(10分)B. 解：将圆2asin 化成普通方程为x2y22ay，整理得x2(ya)2a2.(3分)将直线cos()1化成普通方程为xy0.(6分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即a，(9分)解得a2.(10分)C. 解：因为()2(··)2(33x3x2)(1)，(3分)所以y.(5分)当且仅当，即x，1时等号成立(8分)所以y的最大值为.(10分)22. 解：(1) 因为PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.因为BAD90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD2AB2BC4，PA4，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)因为点M为PC的中点，所以M(1，1，2)所以(1，1，2)，(0，0，4)，(2分)所以cos，(4分)所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.(5分)(2) 因为AN，所以N(0，0)(04)，则(1，1，2)，(0，2，0)，(2，0，4)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则即令x2，解得y0，z1，所以m(2，0，1)是平面PBC的一个法向量(7分)因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos，m|，解得10，4，所以的值为1.(10分)23. 解：(1) L(1)2，(1分)L(2)6，(2分)L(3)20.(3分)(2) 设m为沿x轴正方向走的步数(每一步长度为1)，则反方向也需要走m步才能回到y轴上，所以m0，1，2，(其中为不超过的最大整数)，总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的nm步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即C·C·2n2m，