高等数学 曲线积分与曲面积分复习.doc
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功变力沿曲线运动取微元，则。平面曲线，空间曲线，性质一、 计算方法1设参数，化定积分2平面闭曲线上积分用格林公式，其中L是D的取正向的边界曲线，D为单连通区域，P，Q与上有连续一阶偏导数。3对于积分与路径无关的可自选路径4积分与路径无关及偏导数于上连续。下列四个命题等价（1）0，对D内任意闭曲线C.（2）积分与路径无关（3）存在使du（4）在D内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分二、 例题1基础题目，设参数，化定积分（1） 计算，如图ABCDEA解 （1）设参数法于上 设，于上 设，于上 以为参数，于上 以诶参数 ，于上 ，以为参数()综上解（2）（用格林公式） （2） 计算 。其中是曲线从轴正向看去，逆时针方向。解（1）令解（2） 由对称性 ，而，由上述参数法 注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好（3） 计算：。交线，从轴正向看去逆时针方向。（令,，）例2 格林公式（加线减线）（1） 计算，从点沿曲线到点的曲线。连接O，A直线段（记为L）2L是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分。解 （1）当L不包围原点时（2）当L包围原点时，做小椭圆(使充分小，从而含于闭曲线内)。则。注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足可微，此时对于任意围奇点的闭曲线积分相等。例3 （积分与路径无关问题） P，Q已知，积分与路径无关，自选路径（1）计算，L：，由至再到弧段解 易验证，积分与路径无关，做段（记为）则原式（2）计算，其中为起于沿到再沿至。解 bP，Q之一未知，已知积分于路径无关问题。（1）设具有连续二阶导数，且，其中L是任一不与轴相交的简单光滑闭曲线，求。解 原积分为零，则，即，令，得，代入得，代入初值得,，则即（2）设函数与xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分路径无关，且恒有求。解 由于积分与路径无关，得，则，为待定函数，则从而 ，对t求导得 ，从而；小注：上述两例由积分与路径无关，和P，Q之一未知而导得微分方程，称为解方程问题。8.2 向量值函数在有向曲面上的积分一、 概念与形式1定义流量，2物理意义：计算流量，通量3性质：4计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分5.高斯公式，或这里是的整个边界曲面的外测,是在点处的法向量的方向余弦.二、 例题例1 求积分，其中，部分外测解 把分成两部分：， 。例2 ，其中被所截部分曲面外测。解：综上，原式。例3 计算，下半球面上侧。解 做面，记，取下侧，则原式例4 计算，其中具有连续偏导数，和所围立体表面外测。解 例5 设为上半球面：，下列积分不为零的是（A）；（B）；（C）；（D） （B）8.3 Stoks公式应用例一、 公式：,与的方向满足右手定则。二、 例题例1 计算，C为曲线其方向为从轴正向看去为反时针方向。解 原式 由，。，。上式。例2 计算，其中L是平面与柱面的交线，从轴正向看去为逆时针方向。解 原式 注意到，上式。注：此类问题命题方式通常都是平面与曲面交线，且总是要化成第一型曲面积分来处理。同时为减少计算量P，Q，R通常为一次函数，充其量不过二次。习题课例1 计算，其中为，取逆时针方向.解 积分路径如图821，利用对称性。将原式分成两部分，即第一个积分，曲线关于轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者，后者)，被积函数是y的偶函数。第二个积分，曲线关于轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图821分的走向相反(前者，后者)，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即0上述结论再一般情况下也成立.对坐标的曲线积分，当平面曲线L是分段光滑的，关于轴对称，L在上半平面与下半平面部分的走向相反时，（1）若（即为的偶函数），则；（2）若（即为的奇函数），则 ，其中为L的上半平面的部分.类似地，对的讨论也有相应的结论.例2 设，在光滑的有向曲线上连续，L为曲线弧的弧长，而，证明证 由两类曲线积分的联系和性质，有例3 计算其中是锥面被平面和所截得的部分的下侧.解 在计算时，可分为两块，即前面一块和后面一块，在yOz平面上的投影为正，在yOz平面上的投影为负，其投影区域相同.见图922.故图822在计算时，可分为两块，即右面一块和左面一块，在zOx平面上的投影为正，在zOx平面上的投影为负，其投影区域相同.故在计算时，注意被积函数中，在xOy平面上的投影为负，投影区域可用极坐标表示为，故例4 计算，其中是平面在第一卦限部分的上侧.解 因为取上侧，因此法向量n与z轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是 ，则有.计算。的方程为，其在xOy平面的投影区域：，又曲面的面积元素所以 例8 计算，其中L是从点到点的上半圆弧，为常数.解 我们补一条直线，得闭曲线，从而可以是呀格林公式 图823其中为半圆又 ，故例9 计算，其中为任一不经过原点的闭曲面的外测.解 因为，所以（1）当不包围原点时，由高斯公式即得0。（2）当包围原点时，取的外测，由高斯公式，得。而即 例10 计算，其中，是锥面 在xOy平面上方的部分，n是的上侧的单位法向量.解 曲面与xOy平面的交线（即其边界）为，并取为逆时针方向.由斯托克斯公式，知，在和所围成的平面上，对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公式，得，其中 例11 设函数有连续的导数，且曲线积分与路径无关，求。 *解 由于积分与路径无关，所以，从而。由一阶线性微分方程的通解公式，有例12 设函数有连续的导数，满足条件，且曲线积分与路径无关，求。并计算 *解 由于积分与路径无关，所以，从而。由一阶线性微分方程的通解公式，有。又，所以c=0,从而。13
