反比例函数的性质ppt课件.ppt

北师版九年级数学上册课 件6.2 反比例函数的图象与性质第六章 反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时反比例函数的性质学习目标1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质. (重点)2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点)3. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点)导入新课导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？反比例函数的图象是双曲线复习引入问题1 问题2 反比例函数的性质一讲授新课讲授新课例1 画反比例函数 与 的图象.合作探究6yx12yx提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.解：列表如下：x 6543 2 1123456 6yx12yx1 1.2 1.5 2 3 6 6 32 1.5 1.2 12 2.4 3 4 6643 2.4 2O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点56xy43211 2 3 4 5 6341561234566yx连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象6yx12yx观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？(3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？kyx由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.反比例函数 (k0) 的图象和性质：kyx观察与思考 当 k =2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗？ kyxkyxkyxyxOyxOyxO2yx4yx6yx反比例函数 (k0) 的图象和性质：kyx由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限 它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳： (1) 当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k ”“”或“=”).练一练2yx 例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.271aayax 解：由题意得a2+a7=1，且a10 解得 a=3.反比例函数的图象和性质的初步运用二练一练 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值21038mymx解：由题意得 m210=1，且 3m80 解得 m=3.例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. kyx62k因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 .12yx(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时， y1y2.练一练已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3) (1) 求这个函数的表达式；kyx解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx32k 解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .6yx(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上 (3) 当 3 x 0， 当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3 x 1 时，6 y 2.反比例函数解析式中 k 的几何意义三1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 4yx合作探究5123415xyOPP (2，2) Q (4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P (1，4)Q (2，2)2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为 (a，b)AB点 P (a，b) 在函数 的图象上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B. SASBSCC. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E. 设 POA 的面积为 S1，则 S1= ；梯形CEAD的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.典例精析4yx2S1S2S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 S3FS1S2S3yDBACx例6 如图，点 A 是反比例函数 (x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数 (x0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =_.2yx3yx 325 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 (x0) 和 (x0)的图象交于点P，Q，若POQ 的面积为 8，则k =_.6yxkyxQPOxMy10练一练例7 如图所示，点A (x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线 上，且 x2x1 = 4，y1y2 =2. 分别过点 A，B 向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 C，D，E，F，AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析式为 .kyx解得 k = 6.双曲线的解析式为 .6yx解析： x2x1 = 4，y1y2 =2，BG = 4，AG =5，SABG =452=10.由反比例函数面积的不变性可知，S长方形ACOE = S长方形BDOF = k . S五边形 AEODB = S四边形ACOE +S四边形BDOF S四边形FOCG+ SABG = k + k 2+4=14.6yx 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，ACx 轴于点C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若ABP 的面积为6，则 k = .24练一练kyxE F SABP= S四边形BFCP，= (S四边形BDOFS四边形OCPD)= (k k)= k = 6.k =24.1212121214 1. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是_. 2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (1，12) 和点 (10，1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (填序号).(1)(3)2myxm 212yx 当堂练习当堂练习A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) kyxOBAPxyA4. 已知反比例函数 y = mxm5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值.解：因为反比例函数 y = mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有m25=1，m0，解得 m=2.5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，4). (1) 求 k 的值；kyx解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，4)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx42k 解得 k = 8.(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.(3) 画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4) 点 B (1，8) ，C (3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 .8yx 6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：8yx ，y=x + 2 ， 解得 x = 4， y =2 所以A(2，4)，B(4，2). 或 x = 2， y = 4. 作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2. (2) 求AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.课堂小结课堂小结反比例函数的性质性质反比例函数图象中比例系数k的几何意义当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而减小.当k0时，在每一象限内，y的值随x的增大而增大.见学练优本课时练习课后作业课后作业