2022年八年级数学希望杯第1-5届试题汇总 .pdf

八年级数学希望杯第1-5 届试题汇总（含答案与提示）希望杯第一届（ 1990）第二试试题一、选择题 : （每题 1分，共 5分）1. 等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成53的两部分，那么这个三角形的底边长是 A 7.5 B12. C 4. D12或4 2. 已知 P=2)1989(11991199019891988，那么 P的值是 A1987 B1988. C1989 D1990 3a bc，xyz，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则 AM PN且M Q N. B NPM 且N Q M CPM Q且PN Q. D Q M P且Q NP 4凸四边形 ABCD 中， DAB= BCD=900, CDA ABC=2 1,ADCB=1 3, 则 BDA= A30B45. C 60. D不能确定5把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割 A是不存在的. B 恰有一种 . C 有有限多种，但不只是一种.D有无穷多种二、填空题 : （每题 1分，共 5分）1 ABC 中，B=90， C的平分线与 AB 交于 L，C的外角平分线与BA 的延长线交于N已知 CL=3，则CN=_ 2 若21(2)0aab, 那么111(1)(1)(1990)(1990)ababab的值是 _. 3 已知 a，b，c满足 a+b+c=0，abc=8，则 c的取值范围是 _4 ABC 中, B=300,AB=5,BC=3, 三个两两互相外切的圆全在ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是 _5 设a,b,c 是非零整数 ,那么abcabacbcabcabcabacbcabc的值等于 _. 三、解答题 : （每题 5分，共 15分）1从自然数 1，2，3， 354中任取 178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页2平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和ABCD，且正方形 ABCD的顶点 A在正方形 ABCD 的中心当正方形ABCD绕 A 转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值这个结论对吗？证明你的判断3用 1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被 7除余数都不为 1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1n2n3n4，试求： n1n2之值答案与提示一、选择题提示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页1若底边长为 12则其他二边之和也是12，矛盾故不可能是(B) 或(D) 又：底为 4时，腰长是 10符合题意故选(C) =19882+3 1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=1988 3只需选 a=1，b=0，c=-1 ，x=1，y=0，z=-1 代入，由于这时M=2 ，N=-2， P=-1，Q=-1从而选 (A) 4由图 6可知：当 BDA=60 时， CDB 5如图 7按同心圆分成面积相等的四部分在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形故选(D) 二、填空题提示：1如图 8： NLC= B+1=CAB-90+1=CAB-3 = N NC=LC=3 5当 a，b，c均为正时，值为7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页当a，b，c不均为正时，值为-1 三、解答题1证法一把1到354的自然数分成177个组： (1，178) ，(2 ，179) ，(3 ， 180)， (177 ，354)这样的组中，任一组内的两个数之差为177从 1354中任取 178个数，即是从这177个组中取出 178个数，因而至少有两个数出自同一个组也即至少有两个数之差是177从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是 177证法二从1到354的自然数中，任取178个数由于任何数被177除，余数只能是0，1，2， 176这177种之一因而 178个数中， 至少有两个数 a，b的余数相同， 也即至少有两个数a，b之差是 177的倍数， 即177又因 1354中，任两数之差小于2177=354所以两个不相等的数a， b之差必为 177即从自然数 1，2，3， 354中任取 178个数，其中必有两个数，它们的差是1772如图 9，重合部分面积SAEBF是一个定值证明：连 A B，AC，由 A 为正方形 ABCD 的中心，知A BE= ACF=45 又，当 AB与 AB重合时，必有 AD与 AC 重合，故知EA B=FAC在 AFC 和 AEB 中，SA EBF=SABC两个正方形的重合部分面积必然是一个定值3可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019， 9190其中 1990=7 284+2，1909=7 272+51099=7 157,9091=7 1298+5,9109=7 1301+2, 9910=7 1415+5，9901=71414+3，9019=7 1288+3，9190=71312+6即它们被 7除的余数分别为2，5， 0，5，2，5，3，3，6即余数只有 0，2，3，5， 6五种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页它们加 1，2，3都可能有余 1的情形出现如0+1 1，6+21，5+3(mod7) 而加 4之后成为： 4，6，7，9， 10，没有一个被7除余 1，所以 4是最小的 n又：加 5，6有： 5+31， 6+21(mod7) 而加 7之后成为 7，9，10，12，13没有一个被 7除余 1所以 7是次小的 n即 n1=4， n2=7 n1 n2=47=28希望杯第二届（1991 年）初中二年级第二试试题一、选择题 : （每题 1分，共 10分）1如图 29，已知 B是线段 AC 上的一点， M 是线段 AB 的中点， N为线段 AC的中点， P为NA 的中点， Q为MA 的中点， 则MN PQ 等于 ( ) A1 ; B 2; C 3; D4 2两个正数 m ，n的比是 t(t 1) 若 m+n=s，则 m ，n中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.1tss; D.1st. 3.y0 时,3x y等于 ( ) A.-xxy; B.xxy; C.-xxy; D.xxy. 4(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) Aabc. B (a-b)2+(b-c)2=0. C cab. D a=b c 5如图 30，AC=CD=DA=BC=DE则 BAE 是 BAC 的 ( ) A4倍. B3倍. C2倍. D1倍6D是等腰锐角三角形ABC 的底边 BC 上一点，则 AD ，BD ，CD 满足关系式 ( ) A.AD2=BD2+CD2. BAD2 BD2+CD2. C 2AD2=BD2+CD2. D 2AD2BD2+CD2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页 7. 方程2191()1010 xx的实根个数为( )A4 B3. C 2 D1 8. 能使分式33xyyx的值为 1123的x2、y2的值是 ( ) A.x2=1+3，y2=2+3; B. x2=2+3，y2=2-3; C. x2=7+43， y2=7-43; D. x2=1+23，y2=2-3. 9在整数 0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为 u则 x+y+z+u的值为( ) A17 B15. C13 D11 10两个质数 a，b，恰好是 x的整系数方程x2-21x+t=0 的两个根 , 则baab等于 ( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共 10分）1.1989 19911991-1991 19891988=_2. 分解因式 :a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=_3.(a2+ba+bc+ac):(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc) 的平方根是 _4边数为 a，b， c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角, 其和为 1800, 那么111abc=_. 5. 方程组51xayyx有正整数解 , 则正整数 a=_. 6. 从一升酒精中倒出13升, 再加上等量的水, 液体中还有酒精_升; 搅匀后 , 再倒出13升混合液 , 并加入等量的水, 搅匀后 , 再倒出13升混合液 , 并加入等量的水, 这时 , 所得混合液中还有_升酒精 . 7如图 31，在四边形 ABCD 中 AB=6 厘米， BC=8 厘米， CD=24 厘米， DA=26 厘米且 ABC=90 ，则四边形ABCD 的面积是 _8如图 32， 1+2+34+5+6=_9.224 3xx的最小值的整数部分是_. 10已知两数积ab1且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0, 则ab=_. 三、解答题 :（每题 5分，共 10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于22一块四边形的地 （如图 33）(EOFK，OH KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的 （即两边都是直线）但进水口 EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页答案与提示一、选择题提示：3由 y0，可知 x0故选 (C) 4容易看到 a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式故选(B) 5 ACD 是等边三角形, BCA 和 ADE 均为等腰三角形. 故知 BAC=30 , 而 BAE=120 , 所以选 (A) 6以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时， 有 AD2BD2+CD2，当D为BC 边的端点时， 有AD2=BD2+CD2，故有 2AD2BD2+CD2故选 (D) 故选 (C) 选 (C) 9 x=4，y=5，z=4， u=4选 (A) 10由 a+b=21，a，b质数可知 a，b必为 2与19两数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页二、填空题提示：1198919911991-1991 19891988=1989 (1991 104+1991)-1991(1989 104+1988) =19891991-1991 1988=19912原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc =(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c)3原式 =(a+c)(a+b) (b+a)(b+c)(c+a)(c+b) 平方根为(a+c) 4正多边形中，最小内角为60，只有 a，b，c均为 3时，所取的内角和才可能为1805两式相加有(1+a)y=6 ，因为 a，y均为正整数，故a的可能值为 5，这时 y=1，这与 y-x=1 矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时 y=2，y=3与y-x=1 无矛盾a=1或27在直角三角形ABC 中，由勾股定理可知AC=10cm ，在 ADC 中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页可 ADC 为直角三角形从而有面积为8 1+2+ 3+4+5+6，正好是以2， 3， 5为3个内角的四边形的4个内角之和和为 36010由已知条件可知a是方程 2x2+1234567890 x+3=0的一个根， b是方程 3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1设这两个正数为a， b则原题成为已知a3+b3=2，求证 a+b 2证明（反证法）：若a+b2由于 a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为 b1，a，这个不等式两边均为正数，a3(2-b)3a38-12b+6b2-b3a3+b38-12b+6b26b2-12b+60b2-2b+1 0(b-1)20矛盾a+b2即本题的结论是正确的2本题以图 33为准由图 34知OK AB ，延长 EO 和FK，即得所求新渠这时，HG=GM（都等于 OK ），且 OK AB ，故 OHG 的面积和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页KGM 的面积相同即新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了KGM 这么大的一块地我们再看另一种方法，如图35作法：连结EH ，FG 过 O作EH 平行线交 AB 于N，过 K作FG 平行线交于 AB 于M 连结 EN 和FM ，则 EN ， FM 就是新渠的两条边界线又： EHON EOH 面积 =FNH 面积从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多即新渠面积与原渠的面积相等由图 35可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）故应选第一种方法。希望杯第三届（1992 年）初中二年级第二试题一、选择题 （: 每题 1分，共 10分）173282-73252= A47249 B45829. C 43959 D449692长方形如图 43已知 AB=2，BC=1 ，则长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等 A.47; B.1; C.23; D.13. 3当 x=6，y=8时， x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A 1200000-254000. B1020000-250400 C 1200000-250400. D1020000-254000 4等腰三角形的周长为a(cm) 一腰的中线将周长分成5 3，则三角形的底边长为 A.6a; B.35a; C. 6a或85a; D.45a. 5. 适合方程222xxyy+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页 A.230200 xyzxyzxyz;B.3260232xyzxyzxyz; C.32620232xyzxyzxyz;D.00232xyzxyzxyz6.四边形如图 44,AB=32,BC=1, A=B=C=300,则D点到 AB的距离是 A.1; B.12; C.14; D.18. 7在式子 |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的 x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 A1 B2. C 3 D4 8一个等腰三角形如图45顶角为 A,作 A的三等三分线AD ，AE （即 1=2=3），若 BD=x ，DE=y ，EC=z ，则有 A xyz Bx=zy. C x=zy Dx=y=z 9已知方程 (a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是 A 5 B9. C 10 D11 10. 正方形如图 46,AB=1,BD和AC都是以 1为半径的圆弧 , 则无阴影的两部分的面积的差是 A.12; B.14; C.13; D.16. 二、填空题（每题1分，共 10分）1. 方程3361xx的所有根的和的值是_. 2. 已知 a+b=19921991,a-b=19921991, 那么 ab=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页3如图 47，在 ABC 中， ACB=60 ，BAC=75 ，AD BC 于D，BE AC 于E，AD 与BE 交于 H，则 CHD=_ 4. 已知 x=121, 那么32355424xxx+1的值是 _5如图 48，已知边长为 a的正方形 ABCD ，E为AD 的中点， P为CE 的中点，那么BPD 的面积的值是_6. 已知 x+y=4,xy=-4, 那么3333xyxy=_. 7在正 ABC 中（如图 49）， D为AC 上一点， E为AB 上一点，BD ，CE 相交于 P，若四边形 ADPE 与 BPC 的面积相等，那么BPE=_ 8. 已知方程 x2-19x-150=0 的一个正根为a, 那么11aa+112aa+123aa+119992000aa=_. 9某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩 20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生_名10n是自然数， 19n+14与 10n+3都是某个不等于1的自然数 d的倍数，则 d=_三、解答题 （写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共 10分）1 若 a，b，c，d0，证明：在方程21202xadxcd,21202xbcxda,21202xabxab21202xdaxbc中, 至少有两个方程有不相等的实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页2(1) 能否把 1，2， 1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明如果能够，请给出一种分组法答案与提示一、选择题提示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页5等式 2x+x2+x2y2+2=-2xy 化简为 (x+1)2+(xy+1)2=0 x+1=0，xy+1=0解之得 x=-1 ，y=1则 x+y=0应选 (B) 6由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得 2(x+y)2+193xy=1993 将 xy=1， x+y=4n+2代入上式得： (4n+2)2=900，即 4n+2=30 n=7应选 (A) 7由 A=36， AB=AC ，可得 B= C=72 ABD= CBD=36 ， BDC=72 AD=BD=BC由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD应选 (B) 8原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即 |x-1|2-5|x-1|+6=0 |x-1|=2，或 |x-1|=3x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4则 x1+x2+x3+x4=4应选 (D) 9连结 CB , AB=BB , SBBC=S ABC=1, 又CC =2BCS BCC =2SBB C=2SBB C=3同理可得 S ACC =8,SABA=6SAB C=3+8+6+1=17应选 (D) 10原方程为 |3x|=ax+1 (1) 若a=3，则 |3x|=3x+1 当x0时， 3x=3x+1，不成立(2) 若a3综上所述， a3时，原方程的根是负数应选 (B) 另解：（图象解法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页设y1=|3x| ，y2=ax+1。分别画出它们的图象从图87中看出，当 a3时， y1=|3x| 的图象直线 y2=ax+1的交点在第二象限二、填空题提示：149=77，所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为 42设a=7m， b=7n，(mn) ，其中 (m，n)=1 由ab=(a ， b) a ， b 7m 7n=7 42， 故mn=6 又(m， n)=1 ， m=2 ， n=3， 故a=14， b=21 经检验，142+212=637 这两个数为 14，212 1993=11993=(-1) (-1993) ，(1993 为质数 ) 而 x1 x2=1993，且 x1，x2为负整数根，x1=-1，x2=-1993 或 x1=-1993 ，x2=-1 则4设 SBOC=S，则 SAOB=6-S，S COD=10-S，SAOD=S-1由于 S(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得 S=4 6 432=184919001936=442，又 1936 19932025=452精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页其他都不合适此时所求方程为14x2-53x+14=0 8过E作EH BC 于HAD BC EH AD 又 ACE= BCE ，EAAC ，EH BC EA=EH ，AEC= HEC EH AD ， HEC= AFE ， AEF= AFE AE=AF ， EH=AF 即可推出AGF EHB AG=EB=AB-AE=14-4=10 BG=AB-AG=14-10=4 10设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1 人 (nm)依题意有3+7n=4+9m ，即 7n=9m+1 由于 503+7n100，504+9m100得n=7，8，9， 10，11，12，13m=6 ， 7，8，9，10但满足式的解为唯一解：n=13，m=10 n+1=14，m+1=11 获奖人数共有14+11=25（人）三、解答题1解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO （或 OCBAO）， OACBO（或 OBCAO）， OBACO（或 OCABO）其中 OABCO 的距离最短记d(OABCO) ，d(OACBO) ，d(OBACO) 分别为三条路线的距离在AC 上截取 AB =AB，连结 OB 则 ABO AB O BO=B O d(OABCO)-d(OACBO) =(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO) =AB+CO-AC-BO =AB+CO-AB BCB O =CO-(BC+B O)0 同理可得， d(OABCO)-d(OBACO) 0所以路线 OABCO的距离最短精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页因此 x与y是关于 t 的方程解二：由已知条件得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页两边加上 a4+1，得显然 0a1，0a21希望杯第四届（1993 年）初中二年级第二试试题一、选择题 : （每题 1分，共 10分）1. 若a0, 则化简22(1)aa得 A 1 B1 CD2a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页 2. 若一个数的平方是5-26, 则这个数的立方是 A.9 311 2或11 29 3; B.9 311 2或11 29 3; C.9 311 2或11 29 3; D.9 311 2或11 29 3. 3. 在四边形 ABCD 中,AB=1,BC=2,CD=3,DA=2,SABD=1, SBCD=62, 则 ABC+ CDA 等于 A 150 B 180 .C200D2104一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果 a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 A.712; B.812; C.9; D.10. 5如果实数 x，y满足等式 2x+x2+x2y2+2=-2xy ，那么 x+y的值是 A.1. B 0. C 1 .D 26. 设 x=11nnnn,y=11nnnn,n 为正整数 , 如果 2x2+197xy+2y2=1993 成立 ,那么 n的值为 A 7. B8. C9. D.10 7如图 81，在 ABC 中， A=36， AB=AC 、 BD 平分 ABC 若 ABD 的周长比 BCD 的周长多 1厘米，则 BD 的长是 A 0.5 厘米 . B1厘米 . C1.5 厘米 . D 2厘米8方程 x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 A2 . B0. C-2 . D49如图 82，将 ABC 的三边 AB ，BC ，CA分别延长至 B， C， A，且使 BB =AB，CC =2BC ，AA =3AC 若 SABC=1，那么 S ABC 是 A 15. B16. C17. D18. 10如果方程 |3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 A a3. B.a 3. Ca3. Da3. 二、填空题（每题1分，共 10分）1若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是_2设 x1，x2是方程 x2+px+1993=0的两个负整数根, 则221212xxx x=_. 3. 方程111111xxx的解是 _. 4如图 83，四边形 ABCD 的对角线 AC 和BD 相交于 O 点，如果 SABD=5， SABC=6，SBCD=10，那么 SOBC_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页5设二次方程ax2+bx+c=0的两根为 x1， x2，记 S1=x1+1993x2, S2=x12+1993x22, ,Sn=x1n+1993x2n, 则aS1993+bS1992+cS1991=_. 6设 x 表示不大于 x的最大整数，（例如3=3 ，3.14=3）, 那么 1900+1901+1902+ +1992+1993=_. 7已知以 x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0 ，其中 a，b是不超过 10的质数，且 ab，那么两根之和超过3的方程是 _8如图 84，在 ABC 中， BAC=90 ， ADBC 于D， BCA 的平分线交 AD 于 F，交 AB 于 E，FG BC 交AB 于G AE=4 ，AB=14，则 BG=_ 9已知 k为整数，且关于x的方程 (k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=_10某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过 100，那么两个年级获奖学生共有_人三、解答题 :( 写出推理、运算的过程及最后结果每题5分，共 10分）1如图 85，三所学校分别记作A，B，C体育场记作 O ，它是 ABC 的三条角平分线的交点O ，A，B，C 每两地之间有直线道路相连一支长跑队伍从体育场O 点出发，跑遍各校再回到O点指出哪条路线跑的距离最短（已知 AC BC AB ），并说明理由2. 如果 a=11122288, 求a2+41aa的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页希望杯第五届 (1994 年)初中二年级第一试试题一、选择题 : （每小题 3分，共 30分）1. 使等式成立的x的值是 A是正数 B 是负数 . C是 0 D不能确定2对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 A 可能有两个直角. B最少有一个锐角. C 不可能有三个钝角. D 最多有一个锐角3. 如果2 3ab+(a+b-23)2=0,那么ba的值是 A.1; B.-1; C.5-26; D.26-5. 4已知线段 a,b,c 的长度满足 abc，那么以 a,b,c 组成的三角形的条件是 Ab B2ba+c. Ca Db2ac 5有如下命题：负数没有立方根一个实数的立方根不是正数就是负数一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是 0如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0其中错误的是 A B . CD6. 若实数 x、y满足 x2+y2-4x-2y+5=0,则32xyyx的值是 A.1; B.322; C.32 2; D.32 2. 7直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为 A182 B 180. C32 D 30 8已知方程 x2-x-1994=19942，那么它的两根是 A1994,1995 B1994,1995. C1994,1995 D9如图 16，BE是 ABD 的平分线， CF 是 ACD 的平分线， BE 与CF交于 G，若 BDC=140 ，BGC=110 ，则 A的大小是 A70B75. C80D8510n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 A(n+1)2 B (n+1)2-(n-1)2. C(n+1)3.D(n+1)3-n3二、A组填空题（每小题3分，共 30分）1. 设A=62,B=35, 则A、B中数值较小的是_. 2已知实数 a满足 a+323aa=0, 那么丨 a-1 丨+丨a+1丨=_ 3. 一个角的余角比它的补角的17还多 60, 则这个角的度数是_. 4. 对3335425016作化简 , 结果是 _. 5. 某自然数的 5倍等于数 a的立方 , 该自然数的15恰是数 a, 则这个自然数是_. 6在 ABC 中, ABC=90 , 又BD AC 于 D，则在 ABC 中互为余角的角共有_对7如图 17，在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=AE ，BC=BD ，则 ACD+ BCE=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页8. 当x=5-3时, 多项式 x3+5x2-2x-5 的值是 _. 9如图 18，在 ABC 中， B=66， C=54， AD 是角 A 的平分线， DE 平分 ADC 交AC 于E，则 BDE=_ 10. 如果11的小数部分是a, 而1a的小数部分是b, 那么 b=_. 三、B组填空题（每小题4分）1. 设M=112+123+134+119931994, N=1-2+3-4+5-6+ +1993-1994, 则2(1)NM=_. 2在四边形 ABCD 中( 图 19)，ABCD ， D=2B，AD 和CD 的长度分别为 a和b，那么 AB的长为 _3. 设x=1232,y=1232, 则2222xyxy=_. 4如图 20，在 ABC 中， AD 平分 A，BD AD ，DE AC 交AB 于E，若AB=5 ，则 DE 的长是 _5. 计算 :715162 15=_. 6设方程 x2+1993x-1994=0 和(1994x)2-1993 1995x-1=0 的较小根次是 , ，则 =_7. 若2132x, 则22(32)1445xxxx化简为 _. 8. 设M,x,y 均为正整数 , 且28M=xy, 则x+y+M 的值是 _. 9x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是 _10如图 21， ABC 为等腰直角三角形，D为AB 中点， AB=2，扇形 ADG 和BDH 分别是以 A,B为圆心 ,AD,BD为半径的圆的14, 则阴影部分面积为_. 答案提示一、选择题提示：1根式内x0， x0；又等式右端 x0，所以使等式成立的x的值只能是 0选 (C) 2由于三角形的三个内角最多只能有一个钝角或者直角，所以它的三个外角中，不可能有两个直角，可能有三个钝角（此时三角形的三个内角均为锐角）。否定了(A) ， (B) ， (C) 故应选 (D) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页4解一：可用特殊值法，不妨设a=2，b= 4，c=5，显然 abc，且组成三角形分别代入(A) ， (B) ，(C) ，(D) 则仅有 A成立所以选(A) 解二： (A) 满足“三角形两边之和大于第三边”肯定成立，故选(A) 5负数有立方根，0的立方根是 0，又 -1的立方根也是-1 ，所以错误命题是，应选(B) 7设另一条直角边的长度为x，斜边的长度8原方程可化为x2-x-1994(1+1994)=0，即 x2-x-1994 1995=0，于是由韦达定理推知，方程的两根为1995，-1994 ，应选 (B) 9解一：如图22，连接 BC ，设 DBC= ， DCB= ， DBG= 1， DCG= 2，则 +BDC=180 +=180 -140=40在 BGC 中+1+2+BGC=180 1+2=180-110-( +)=30 在 BAC 中 EAF+2(1+2)+=180 EAF=180 -2 30-40 =80应选 (C) 解二：如图 23延长 BD 分别交 FC，AC 于H，K设 GBD= 1， DCG= 2， BDC= ， BGC= ， DHC=r =r+ 2，r= +1 =+1+2得 1+2=140-110 =30同理可推得 =A+1+2 A=80应选 (C) 二、 A组填空题提示：2由条件知 a+|a|+a=0 ，即 2a+|a|=0 ，当 a0时， 2a+a=0，所示 a=0；当 a0时， 2a-a=0 ，得 a=0，矛盾综上知 a=0，于是得 |a-1|+|a+1|=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页6如图 24, 由题设条件可知, 1+2=90， 1+4=90, 2+3=90, 3+4=90，共计 4对7解一：如图25，设 ACD= 1， BCE= 2， DCE= 3 AC=AE ， AEC= 1+3BC=BD ， BDC= 2+3两式相加得 AEC+ BDC=(1+2+3)+3=90+3又在 DCE 中 DEC+ EDC+ 3=180 90+23=180, 3=45， 1+2=45解二： ACE 是等腰 ACE 的底角，9如图 26， B=66， C=54可知BAC=60 ，因为 AD 是角 A的平分线，所以BAD=30 , ADB=180 -66 -30 =84, 三、 B组填空题提示：2如图 27，自 C点作 CEAD 交AB 于E，则四边形 AECD 是平行四边形，AE=CD=b ，EC=AD=a 又 AEC= D=2B=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页B+ ECB ECB= B， ECB 是等腰三角形EB=EC=a ， AB=AE+EB=a+b 解二：由题设知x+y=1 x2-y2=(x+y)(x-y)=x-y代入得，4如图 28，由题设可知：1=2， 2=3， 1=3，AE=ED 又 3+4=90，1+ 5=90， 4=5，BE=DE 6前一个方程即(x+1994)(x-1)=0又后一个方程可化为(199427由题设知 3x+20， 2x-1 0原式 =|3x+2|-|2x-1|+|5x|或原式 =3x+2+2x-1+5xxy=7，又 x y，M=x+y=8