2022年初中几何辅助线技巧秘籍讲课教案 .pdf

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流初中几何辅助线技巧大全一 初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线； 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。 下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图 1-1，AOC= BOC ，如取 OE=OF ，并连接 DE 、DF ，则有 OED OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD ，CE平分 BCD ，点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD。图 1-1OABDEFC图1-2ADBCEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段BC上截取 BF=AB ，再证明 CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。 此题的证明也可以延长BE与 CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。例2已知：如图 1-3，AB=2AC ，BAD= CAD ，DA=DB ，求证 DC AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例3已知：如图 1-4，在 ABC中， C=2 B,AD平分 BAC ，求证： AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1已知在 ABC中，AD平分 BAC ，B=2C，求证： AB+BD=AC 2已知：在 ABC中，CAB=2 B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC ，求证： AE=2CE 图1-3ABCDE图1-4ABCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3已知：在 ABC中，ABAC,AD 为BAC的平分线， M为 AD上任一点。求证： BM-CMAB-AC 4已知：D是ABC的BAC 的外角的平分线 AD上的任一点，连接DB 、DC 。求证： BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求证： ADC+ B=180 分析：可由 C 向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 如图 2-2，在 ABC中， A=90 ，AB=AC ，ABD= CBD 。求证： BC=AB+AD 分析：过 D作 DE BC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM 、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。分析：连接 AP ，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P到 AB 、AC的距离相等。练习：1如图 2-4AOP= BOP=15 ，PC/OA ，PD OA，如果 PC=4 ，则 PD= （）图 2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF图2-4BOAPDC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 A 4 B 3 C 2 D 1 2已知在 ABC 中， C=90 ，AD平分 CAB ，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC 。3已知：如图 2-5, BAC= CAD,ABAD，CE AB ，AE=21（AB+AD ）. 求证： D+ B=180 。4. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD 中，E为 CD 的中点，F为 BC 上的点， FAE= DAE 。求证： AF=AD+CF。5已知：如图 2-7，在 RtABC 中， ACB=90 ,CDAB ，垂足为 D，AE平分 CAB交 CD于 F，过 F作 FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH 。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交， 则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图 3-1，BAD= DAC ，ABAC,CD AD于 D，H是 BC中点。求证： DH=21（AB-AC ）分析：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例2 已知：如图 3-2，AB=AC ，BAC=90 ，AD为ABC的平分线， CE BE.求证： BD=2CE 。图2-5ABDCE图2-6EABCDF图2-7FDCBAEH图示 3-1ABCDHE图3-2DABEFC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC中，AD 、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点 B作 BFAD ，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M 。求证： AM=ME。分析：由 AD 、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF ，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4，在ABC中，AD平分 BAC ，AD=AB ，CM AD交 AD延长线于 M 。求证： AM=21（AB+AC ）分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 ABD关于 AD的对称 AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ） ，即 2AM=AB+AC，也可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM ，然后只需证 DF=CF即可。练习：1已知：在 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，D是 BC中点， AE是BAC的平分线，且 CE AE于 E，连接 DE ，求 DE 。2已知 BE 、BF分别是 ABC的ABC的内角与外角的平分线，AF BF于 F，AE BE于 E，连接 EF分别交 AB 、AC于 M 、N ，求证 MN=21BC（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时， 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1 和图 4-2 所示。图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例 4 如图，ABAC, 1=2，求证： AB ACBD CD 。例 5 如图，BCBA ，BD平分 ABC ，且 AD=CD ，求证： A+C=180 。例 6 如图，AB CD ，AE 、DE分别平分 BAD 各ADE ，求证： AD=AB+CD。练习：1. 已知，如图， C=2 A，AC=2BC 。求证： ABC 是直角三角形。1 2 A C D B B D C A A B E C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2已知：如图， AB=2AC ，1=2，DA=DB ，求证： DC AC 3已知 CE 、AD是ABC 的角平分线， B=60，求证： AC=AE+CD 4已知：如图在 ABC 中，A=90 ，AB=AC ，BD是ABC的平分线，求证：BC=AB+AD 三 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点 ,求证:AB+ACBD+DE+CE. 证明： （法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在 AMN 中，AM+ANMD+DE+NE; （1）在 BDM 中，MB+MDBD ； （2）在 CEN 中，CN+NECE ； （3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （法二：图 1-2）延长 BD 交 AC 于 F， 廷长 CE 交 BF 于 G， 在 ABF和 GFC 和 GDE 中有：AB+AFBD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE （同上） （2）DG+GEDE （同上） （3）由（1）+（2）+（3）得：ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边， 构造三角形， 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D 为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。分析： 因为 BDC 与BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置， BAC 处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是 EDC 的外角，BDC DEC，同理DEC BAC， BDC BAC 证法二 ：连接 AD，并廷长交 BC 于 F，这时BDF 是 ABD 的外角， BDF BAD，同理，CDF CAD， BDF+ CDF BAD+ CAD，即：BDC BAC 。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为ABC 的中线，且1=2,3=4,求证： BE+CFEF 。分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知 1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF 移到同个三角形中。证明： 在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC，ABCDEFN13图12 34名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流在 DBE 和 NDE 中：DN=DB（辅助线作法） 1= 2（已知）ED=ED（公共边）DBE NDE（SAS） BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得： CF=NF 在 EFN 中 EN+FNEF （三角形两边之和大于第三边） BE+CFEF 。注意：当证题有角平分线时， 常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、 截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC ，1=2，P为 AD上任一点求证：AB-ACPB-PC。分析：要证： AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC ，故可在 AB上截取 AN等于 AC ，得 AB-AC=BN ，再连接 PN ，则 PC=PN ，又在 PNB中，PB-PNPB-PC。证明： （截长法）在 AB上截取 AN=AC 连接 PN,在APN和APC中AN=AC （辅助线作法）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1=2（已知）AP=AP （公共边）APN APC （SAS ）, PC=PN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边) AB-ACPB-PC。例 1如图， AC平分 BAD ，CE AB ，且 B+D=180 ，求证： AE=AD+BE。例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AC平分 BAD ，CE AB于 E，AD+AB=2AE，求证： ADC+ B=180 oD A E C B AEBCDABCDNMP16图1 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 3 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC ，A=108 ，BD平分ABC 。求证： BC=AB+DC。例 4 如图，已知 RtABC中， ACB=90 ，AD是CAB的平分线， DM AB于 M ，且 AM=MB。求证： CD=21DB 。1如图， AB CD ，AE 、DE分别平分 BAD各ADE ，求证： AD=AB+CD。2. 如图， ABC中， BAC=90 ，AB=AC ，AE 是过 A 的一条直线，且B，C在 AE的异侧，BD AE于 D，CE AE于 E。求证： BD=DE+CE 四 由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。D C B A M B D C A E D C B A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流在三角形中， 如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质 （直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD是 ABC的中线，则 SABD=SACD=SABC（因为 ABD与 ACD是等底同高的）。例 1如图 2，ABC中，AD是中线，延长 AD到 E，使 DE=AD ，DF是 DCE的中线。已知 ABC的面积为 2，求： CDF的面积。解：因为 AD是 ABC的中线，所以 SACD=SABC=2=1，又因 CD是 ACE的中线，故 SCDE=SACD=1，因 DF是 CDE 的中线，所以 SCDF=SCDE=1=。CDF的面积为。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD ，E、F分别是 BC 、AD的中点， BA 、CD的延长线分别交 EF的延长线 G 、H 。求证： BGE= CHE 。证明：连结 BD ，并取 BD的中点为 M ，连结 ME 、MF ，ME是 BCD 的中位线，MECD ， MEF= CHE ，MF是 ABD 的中位线，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流MFAB ， MFE= BGE ，AB=CD ，ME=MF， MEF= MFE ，从而 BGE= CHE 。（三）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，连 BC上的中线 AD=2 ，求 BC的长。解：延长 AD到 E，使 DE=AD ，则 AE= 2AD=2 2=4。在 ACD 和 EBD中，AD=ED ，ADC= EDB ，CD=BD ，ACD EBD ， AC=BE ，从而 BE=AC=3 。在 ABE中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90 ，BD=，故 BC=2BD=2。例 4如图 5，已知 ABC中，AD是BAC的平分线， AD又是 BC边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到 E，使 DE=AD 。仿例 3 可证：BED CAD ，故 EB=AC ，E=2，又1=2，1=E，AB=EB ，从而 AB=AC ，即 ABC是等腰三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（四）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，AC BC ，AD BD ，求证：AC=BD 。证明：取 AB的中点 E，连结 DE 、CE ，则 DE 、CE分别为 RtABD ，RtABC斜边 AB上的中线，故 DE=CE= AB ，因此 CDE= DCE 。AB/DC，CDE= 1，DCE= 2，1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE ，1=2，AE=BE ，ADE BCE ， AD=BC ，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此AC=BD 。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7，ABC是等腰直角三角形， BAC=90 ， BD平分 ABC交 AC于点 D，CE垂直于 BD ，交 BD的延长线于点 E。求证： BD=2CE 。证明：延长 BA ，CE交于点 F，在 BEF和 BEC中，1=2，BE=BE ，BEF= BEC=90 ，BEF BEC ， EF=EC ，从而 CF=2CE 。又1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC ，BAD= CAF=90，ABD ACF ， BD=CF ，BD=2CE 。注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段 ，再将端点连结， 便可得到全等三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例一：如图 4-1：AD为ABC的中线，且 1=2，3=4，求证： BE+CFEF。证明：廷长 ED至 M ，使 DM=DE，连接 CM ，MF 。在BDE 和CDM 中，BD=CD （中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDE CDM （SAS ）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义 ）3+2=90即：EDF=90 FDM= EDF=90 在EDF和MDF 中ED=MD（辅助线作法）EDF= FDM （已证）DF=DF （公共边）EDF MDF （SAS ）EF=MF （全等三角形对应边相等）在CMF 中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF上题也可加倍 FD ，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段， 构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图 5-1：AD为ABC的中线，求证： AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD ，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去14图ABCDEFM1234名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流证明：延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE ，CE AD为ABC的中线（已知）BD=CD （中线定义）在ACD 和EBD中BD=CD （已证）1=2（对顶角相等）AD=ED （辅助线作法）ACD EBD （SAS ）BE=CA （全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。练习：1 如图， AB=6 ，AC=8 ，D为 BC 的中点，求 AD的取值范围。2 如图， AB=CD ，E为 BC的中点， BAC= BCA ，求证： AD=2AE 。3 如图，AB=AC ，AD=AE ，M为 BE中点，BAC= DAE=90 。求证：AM DC 。ABCDE15图D M CEABB A D C 8 6 B E C D A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流4，已知 ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证 EF=2AD 。5已知：如图 AD为ABC 的中线，AE=EF ，求证：BF=AC 五 全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” ABCDEF25图A B D C E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流DCBAEDFCBA2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答（一）、倍长中线（线段）造全等1： （ “希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3 ，则中线 AD的取值范围是 _. 2：如图， ABC 中，E、F 分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小. 3：如图， ABC 中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证： AD平分 BAE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流EDCBA中考应用（09 崇文二模）以ABC的两边 AB 、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰 RtACE，90 ,BADCAE连接 DE ，M 、N分别是 BC 、DE的中点探究：AM与 DE的位置关系及数量关系（1） 如图 当ABC为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是，线段 AM与 DE的数量关系是；（2）将图中的等腰RtABD绕点 A 沿逆时针方向旋转(0AD+AE. EDCBA（四）、借助角平分线造全等1：如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流FEDCBA2： （06 郑州市中考题）如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长. 中考应用（06 北京中考） 如图，OP是MON 的平分线， 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC 中，ACB是直角， B=60，AD 、CE分别是 BAC 、BCA 的平分线，AD 、CE相交于点 F。请你判断并写出 FE与 FD之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在 (1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（五）、旋转1：正方形 ABCD中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 2： D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流NMEFACBA（1）当MDN绕点 D转动时，求证 DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形 DECF 的面积。3. 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA中考应用（07 佳木斯）已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABCo，60MBNo，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（西城 09 年一模）已知 :PA=2,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两侧 . (1) 如图, 当APB=45 时, 求 AB及 PD的长; (2) 当APB变化, 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . （09 崇文一模）在等边ABC的两边 AB 、AC所在直线上分别有两点M 、N，D 为ABCV外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC上移动时， BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q与等边ABC的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3 （I ）如图 1，当点 M 、N边 AB 、AC上，且 DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II ）如图 2，点 M 、N边 AB 、AC上，且当 DM DN时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M 、N分别在边 AB 、CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 40 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流六 梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为和 。平移腰，移对角，两腰延长